袁曉琳

摘 要 中學數(shù)學教師在進行教學設(shè)計時需圍繞“為什么要教”和“如何有效地教”兩個問題展開，而數(shù)學史能很好地回答這兩個問題。從數(shù)學知識的產(chǎn)生與發(fā)展角度重新解讀教材內(nèi)容，利用“現(xiàn)實的數(shù)學”和“再創(chuàng)造”的教學原則組織教學過程，有助于說明教學內(nèi)容的重要性和促進課堂教學的有效性。

關(guān)鍵詞 教學設(shè)計 問題驅(qū)動 數(shù)學史 再創(chuàng)造

數(shù)學史家莫里斯·克萊因（M.Kline）指出“數(shù)學史是教學的指南”，因為個體知識的發(fā)生過程遵循人類知識的發(fā)展過程[1]。弗賴登塔爾（H.Freudenthal）認為“年輕的學習者重蹈人類的學習過程，盡管方式改變了”，同時也指出“我們不應(yīng)該完全遵循發(fā)明者的歷史足跡，而是經(jīng)過改良的有更好引導(dǎo)的歷史過程”[2]。在此基礎(chǔ)上他提出了兩個重要的數(shù)學教學原則——“現(xiàn)實的數(shù)學”和“再創(chuàng)造”。即應(yīng)依據(jù)數(shù)學史和學生實際對教材內(nèi)容重組再創(chuàng)造，設(shè)置恰當?shù)膯栴}情境讓學生經(jīng)歷數(shù)學知識的再發(fā)現(xiàn)過程和體驗所涉及的思想方法。

數(shù)學史是一種文化，記載著數(shù)學思想的發(fā)生與形成過程。初等數(shù)學內(nèi)容大都是為解決某個實際問題在歷史長河中慢慢形成的，因此，了解數(shù)學史有助于教師更好地理解相關(guān)教學內(nèi)容產(chǎn)生的背景及其在生產(chǎn)生活中的應(yīng)用。這既能回答“為什么要教”，又能解決“如何有效地教”，為情景創(chuàng)設(shè)提供依據(jù)和參考。該如何有效地運用數(shù)學史進行教學設(shè)計？下面嘗試對高中“正弦定理”和“余弦定理”的教學內(nèi)容進行分析，提出相應(yīng)的教學建議。

一、對“正、余弦定理”教材編寫的思考

以人教版教材必修5為例，“正弦定理”和“余弦定理”的教學內(nèi)容獨立介紹，并以不同的方式引入[3]。

（1）已知兩邊及其所夾的角；（2）已知三邊。最后還探討了余弦定理和勾股定理的關(guān)系。

一節(jié)課的開端非常重要，教師進行教學設(shè)計時常會審視教材：為什么要這樣引入和展開新知？有沒有更好的處理方式？首先一個疑慮是，教材對兩個定理的引入是否有些突兀？為什么會想到對直角三角形兩個銳角的正弦作變形得到特殊情形的正弦定理？為什么會考慮到用向量的數(shù)量積處理三角形的邊長問題？教材沒能很好地展現(xiàn)知識的發(fā)現(xiàn)過程，更多的是在已經(jīng)知道結(jié)論的情況下反過來尋找各種驗證和證明方法。此外，正弦定理和余弦定理同是對于三角形邊角關(guān)系的探討結(jié)果，在教學中是否可以通過同一個生活或數(shù)學情境引入以體現(xiàn)課堂教學的高效性，同時體現(xiàn)知識間一脈相承的關(guān)系？

二、對常見教學設(shè)計的思考

從查找的相關(guān)文獻看，教學設(shè)計思路都能體現(xiàn)新課程標準的理念，注重數(shù)學與現(xiàn)實的聯(lián)系，以探究推動教學，強調(diào)對學生數(shù)學應(yīng)用意識的培養(yǎng)[4-6]。以正弦定理為例，教學設(shè)計基本遵循：1.創(chuàng)設(shè)一個現(xiàn)實的問題情境體現(xiàn)數(shù)學知識的產(chǎn)生和形成過程；2.啟發(fā)、引導(dǎo)學生將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化、抽象為數(shù)學問題；3.新問題與學生已有的知識儲備形成認知沖突，引導(dǎo)學生嘗試從特殊的直角三角形入手猜想結(jié)論再推廣至一般三角形并證明；4.利用正弦定理去解決2中所提出的問題[5]。

但上面所創(chuàng)設(shè)的情景較為繁雜，需花不少的時間完成1和2環(huán)節(jié)才能進入到新知的探索。且將現(xiàn)實情景抽象為數(shù)學問題后就放置一邊，然后脫離情境探討正弦定理后才回頭解決提出的問題。這樣的情境設(shè)計忽視了情境創(chuàng)設(shè)的目的性和實效性。從認知心理學的角度看，原來活動的吸引力和新活動的特點是影響注意轉(zhuǎn)移的主要因素[7]。如果創(chuàng)設(shè)的情境對學生有很大的吸引力且提出的問題學生自信能找到解決的辦法，那教師就很難轉(zhuǎn)移學生的學習注意，引到下一個任務(wù)的學習，從而導(dǎo)致教學設(shè)計環(huán)節(jié)的失敗。

三、從數(shù)學的歷史發(fā)展看平面中的“正、余弦定理”

遠在公元前3000年，人們已經(jīng)在實際測量中發(fā)現(xiàn)三邊比例為3∶4∶5的三角形一定是直角三角形，后來發(fā)展為現(xiàn)在所熟知的畢達哥拉斯定理或稱勾股定理。勾股定理可以看作是余弦定理的特殊情況，但兩個定理的發(fā)現(xiàn)完全在不同的歷史時代。歐幾里得（Euclid）最早給出了正弦與余弦的定義，提供了邊與角的關(guān)系。歷法和航海的發(fā)展要求人們對球面進行研究，所以從歷史發(fā)展順序看，球面三角的發(fā)展先于平面三角[8]。直到1450年后，由于平面三角在測量中的重要性，它才被突顯出來受到重視。韋達（Vieta）在1593年給出了普遍采用的平面三角形余弦定理公式：=。而平面三角形的正弦定理由波斯的歷史學家阿爾比魯尼（al-B？觘rūn？觘）給出并作了證明，后由雷格蒙塔努斯（Regiomontanus）在1463年到1464年寫的《論三角》中對平面三角形正弦定理和球面三角形正弦定理加以清晰的表達。隨著數(shù)學自身的發(fā)展，平面中的正、余弦定理被推廣到n維歐氏空間中，得到n維正、余弦定理[9]。

從歷史的發(fā)展看，由于實際測量的需要在討論三角形邊角問題時產(chǎn)生了正弦定理和余弦定理。而由于數(shù)學自身發(fā)展的需要，數(shù)學家將這兩個結(jié)論推廣到了n維空間。這為教學的開展和探究提供了依據(jù)。

四、數(shù)學史視角下“正弦定理”和“正弦定理”的教學設(shè)想

根據(jù)教材內(nèi)容的安排，正弦定理（第1課時）和余弦定理（第1課時）的教學目標主要是：掌握定理的公式結(jié)構(gòu)并能進行簡單的計算；在探究發(fā)現(xiàn)定理及其證明的過程中豐富知識間的聯(lián)系，體會定理的應(yīng)用價值和蘊含的數(shù)學思想方法。由于正、余弦定理的內(nèi)在聯(lián)系，可利用同一個問題情景引入新課，使用相似的探究方式展開教學。目的是體現(xiàn)教學的連貫性，提高課堂的有效性和高效性。據(jù)此下面給出正弦定理（第1課時）的教學思路。

1.回顧直角三角形中的邊與角關(guān)系

復(fù)習勾股定理的內(nèi)容、正弦和余弦的定義，以及它們的作用。

【意圖】為后面提出問題引入新知做鋪墊，緊扣勾股定理進行新知探究。

2.設(shè)置問題、引發(fā)思考

三角形按角分類，除直角三角形還有銳角和鈍角三角形。在生活中更多涉及到后面兩類三角形的邊長、角度及面積的測量和計算。而面積由邊長和角度確定，所以對一般三角形邊角關(guān)系的討論就顯得尤為重要。endprint

問題：某市在江的兩側(cè)A，B處有一座跨江大橋，橋長AB已知。為緩解交通壓力，市政公司要在A處及與B同側(cè)的C處之間規(guī)劃一條過江隧道。為估算隧道的造價成本，工作人員用測角儀測出了∠ABC，∠ACB的度數(shù)。由此能確定AC的距離嗎？

將上述的實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題：如圖3，∠A，∠B，∠C對應(yīng)的邊分別是a，b，c.若∠B，∠C的度數(shù)和邊長c的長度已知，如何求邊長b？

【意圖】通過創(chuàng)設(shè)實際情境，讓學生體會到新知識與生活的聯(lián)系及應(yīng)用價值，激發(fā)求知欲；引導(dǎo)學生將現(xiàn)實情境轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型與問題，通過“橫向數(shù)學化”[2]培養(yǎng)學生簡單的數(shù)學建模思想。

3.解決問題、探究定理

啟發(fā)提問1：大家已經(jīng)知道直角三角形中的邊角關(guān)系，能否利用它們來解決這個問題？假定圖3是銳角三角形，能否將其轉(zhuǎn)化為直角三角形來處理呢？

【意圖】為了解決本節(jié)課的核心問題，通過啟發(fā)提問學生自然地想到作高引入輔助線構(gòu)造直角三角形，解決了為什么要作和如何作輔助線的難點。同時也引導(dǎo)學生嘗試使用和體驗化未知為已知、化陌生為熟悉的化歸思想，以及轉(zhuǎn)化和“一般—特殊”的數(shù)學思想。

在探究過程中，教師需引導(dǎo)學生規(guī)范表述出正、余弦定理，并引領(lǐng)他們體會所涉及的數(shù)學思想、欣賞蘊含的數(shù)學美。

4.聯(lián)系舊知，形成新的認知結(jié)構(gòu)

啟發(fā)提問2：結(jié)合之前學過的知識，還有沒有其它的方法證明正弦定理呢？（學生可能運用向量法、等積法或建立坐標系等方法[4-6]。）

【意圖】在已知定理結(jié)論的情況下，啟發(fā)學生從不同的角度去證明定理，尋找與已有知識間的聯(lián)系，有助于培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力和反思能力。且新知必須與學生已有的舊知緊密聯(lián)系形成新的認知結(jié)構(gòu)，才能使新知識得以鞏固和運用

5.鞏固練習、小結(jié)

通過簡單的練習加深對定理的理解和運用；明確正弦定理在三角學中的重要地位及其在解三角形問題中的作用；回顧定理的證明方法和涉及的數(shù)學思想。

6.課后引申

思考：在平面中，從直角三角形出發(fā)轉(zhuǎn)而對一般三角形的探討得到正弦定理。那么，從平面類比到空間，在空間多面體中（以斜三棱柱為例）是否也存在類似的結(jié)論呢？

三角形中邊與角的關(guān)系，類比到三棱柱中則對應(yīng)于面與二面角的關(guān)系.如圖4，斜三棱柱ABC-DEF中，記側(cè)面BEFC，ADFC，ADEB的面積分別為S1，S2，S3。作三棱柱的直截面GHI，記的三個內(nèi)角分別為∠1，∠2，∠3。容易得到∠1，∠2，∠3分別是所在兩個側(cè)面構(gòu)成的二面角的平面角。

【意圖】將正、余弦定理推廣到三維空間，目的是為開闊少數(shù)學有余力學生的數(shù)學視野，體會到類比思想在數(shù)學研究中的重要作用。解決這個問題又需利用新學的正、余弦定理，再次用到轉(zhuǎn)化的思想。

數(shù)學教材給教學提供了一個藍本，教師需結(jié)合數(shù)學史對教學內(nèi)容進行再創(chuàng)造。讓學生在探究學習中親身經(jīng)歷數(shù)學知識的再發(fā)現(xiàn)過程，同時也為學有余力的學生提供更多的思考。數(shù)學教學的主要目的是讓學生習得具體知識的同時掌握承載在知識之上的數(shù)學思想方法和解決問題的策略，所以教學過程中應(yīng)重視數(shù)學思想方法的滲透，讓學生學會“數(shù)學地”思考。

參考文獻

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[9] 沈文選.單形論導(dǎo)引[M].長沙：湖南師范大學出版社，2000.

【責任編輯 郭振玲】endprint