周柯全

【摘要】《平行四邊形的面積》可以說是各類公開課、示范課的“常客”，對于這一內(nèi)容的設計方案和思考研究也常見于各種教學類雜志。在較為充分地學習和研讀這些經(jīng)驗之后筆者意識到：從特定角度而言，對教學內(nèi)容的理解和定位不同，是造成設計思路及課堂形式上各種差別的主要原因。

【關(guān)鍵詞】教學內(nèi)容 定位 凸顯 數(shù)學思想

《平行四邊形的面積》可以說是小學數(shù)學“圖形與幾何”中極具代表性的內(nèi)容之一，在進行教學設計之前如何找準并確立對本課內(nèi)容的精準定位，進而以此為基礎(chǔ)組織開展課堂教學呢？帶著這樣的問題，筆者進行了以下探索與實踐。

一、設計思考——定位于“生長過渡”

從下圖可以看出，在關(guān)于小學數(shù)學平面圖形面積的知識體系中，《平行四邊形的面積》處在承上啟下的重要環(huán)節(jié)，這種過渡作用主要體現(xiàn)在兩個方面：

首先，這種過渡作用現(xiàn)在對“轉(zhuǎn)化”這種思想方法的理解。學生在學習長方形的面積時，通過數(shù)格子的方法得出計算公式，而事實上，這個推導過程也可以看做是通過轉(zhuǎn)化的方法進行的，即把長方形面積轉(zhuǎn)化成一定數(shù)量的面積單位來表示。這是一種直觀表示方法上的轉(zhuǎn)換，符合三年級年齡段學生的認知特點。而對于五年級學生的認知水平，他們已經(jīng)具備一定的轉(zhuǎn)化意識，掌握了一些基本的方法，因此，開展《平行四邊形的面積》教學的首要任務是喚醒學生已有知識基礎(chǔ)和初始經(jīng)驗。

具體到平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形的方法，這種轉(zhuǎn)化表現(xiàn)出“形狀改變而面積不變”的特點，既可以看做是在已有基礎(chǔ)上實現(xiàn)的“生長”，也體現(xiàn)了對數(shù)學思想方法的提升和發(fā)展，這種方法的提升如果能很好的作用于學生數(shù)學思維的發(fā)展，對后續(xù)學習三角形、梯形（兩個完全相同的三角形、梯形拼成平行四邊形的一般方法），乃至圓形的面積（剪拼成平行四邊形）計算公式都有著極為重要的作用。

其次，這種過渡作用還體現(xiàn)在面積計算公式間的關(guān)系上。下圖可以直觀地解讀為由長方形面積計算公式推導出了平行四邊形的面積計算公式，再由平行四邊形面積計算公式分別推導出三角形、梯形的面積計算公式。

從中不難發(fā)現(xiàn)，平行四邊形的面積是引入平面圖形中的“高”進行計算的，而長方形面積計算的“長×寬”過渡到平行四邊形面積計算中的“底×高”，這是實現(xiàn)圖形之間面積轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵點，也是課堂中需要特別重視的教學環(huán)節(jié)。在此，不得不提到很多設計和實施中出現(xiàn)的用“鄰邊相乘”的方法進行“試誤”的過程處理。從知識源頭分析，這是由平行四邊形容易變形的特性造成的，也可以認為是一種“周長不變而面積改變”的轉(zhuǎn)化，這種面積的變化正是因為“高”的改變而引起的。筆者結(jié)合個人的教學實際認為，在四年級上冊《平行四邊形的認識》中，在學生建立平行四邊形“高”的概念以及之后進行的關(guān)于特性的教學中，就應該使學生充分理解“平行四邊形的大小（面積）會隨著高的改變而改變”這一知識要點。這樣，在本課教學中，就能完全遵照教育心理學所倡導的從“正面強化”入手，以正確的轉(zhuǎn)化方式系統(tǒng)地完成對新知的建構(gòu)。

基于以上的思考，《平行四邊形面積》一課的設計思路應明確地定位于“概念的生長”和“方法的過渡”，并以此為指導進行教學實踐。

二、教學實施——貫穿以“轉(zhuǎn)化思想”

（一）課前導學，復習舊知

師：你還記得平行四邊形的哪些知識？同桌之間互相交流一下。

根據(jù)學生回答，課件出示：

兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。

從平行四邊形一條邊上的一點到對邊作一條垂線，這點和垂足之間的線段叫做平行四邊形的高，垂足所在的邊叫做平行四邊形的底。

師：平行四邊形有幾組相對應的底和高？

生：兩組。

師：為什么？

生：有兩組平行的對邊。在一組對邊上有多少條高？

生：無數(shù)條。

師：平行四邊形具有容易變形的特征，（教具演示）在形狀改變的過程中誰也發(fā)生了改變？

生：高。還有嗎？

生：圖形的大小。

設計意圖：作為單元內(nèi)容的起始課，導學環(huán)節(jié)起著復習舊知、找準學生認知起點的作用，可以結(jié)合單元主題圖開展教學，或者創(chuàng)設一定的情境，其中具有針對性的問題設計，在強化基礎(chǔ)概念理解的同時，為更好地開展新知探索做鋪墊。

（二）課堂導入，初識轉(zhuǎn)化

師：（課件出示第（1）題）比較下面圖中陰影部分面積的大小。每個小方格的面積為1cm2。

生1：相等。因為第一個圖的面積是6格，第二個圖的面積也是6格。

師：追問：也就是說你是用什么方法進行比較的？

生1：數(shù)格子。

生2：還可以把第二幅圖中的最右邊的小正方形移到左邊，這樣也是一個長方形。

師：（課件演示方法并引導歸納）也就是說，把這個圖形轉(zhuǎn)化成了長方形。（繼續(xù)出示第（2）題）

現(xiàn)在怎么比較？

生：把第二個圖形右邊的三角形剪下了拼到左邊，這樣可以轉(zhuǎn)化成同樣的長方形，所以它們是相等的。

師：你聽懂他的方法了嗎？是一種什么方法？

生：轉(zhuǎn)化。

師：把什么轉(zhuǎn)化成了什么？

生：把不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化成了長方形。

設計意圖：第（1）小題有格子作為輔助，一方面是與長方形面積公式的推導過程建立聯(lián)系，另一方面學生能夠根據(jù)自己的經(jīng)驗聯(lián)想到“割補平移”的方法，直觀感知轉(zhuǎn)化的方法。第（2）小題脫離了格子圖，使學生更為清晰地感受到轉(zhuǎn)化方法的作用，為后續(xù)教學埋下伏筆。

（三）探究新知，運用轉(zhuǎn)化

1.創(chuàng)設情境，導入新知。（課件出示）學校的大門前有兩個花壇，哪一個面積大？

師：需要解決什么問題？我把兩個草坪搬到了你們的面前。（請學生拿出長方形和平行四邊形紙片）你覺得那張紙片的面積大？endprint

請你結(jié)合老師為你準備的學具（透明方格紙，剪刀）先想一想，可以用怎么的方法驗證你的猜想？然后動手試一試。

2.實踐操作，匯報交流。（師巡視過程中適當指導，并提出要求）邊做邊說，把操作的過程先對著自己說一遍。

（學生操作結(jié)束）以四人小組為單位交流方法，再指名回答（邊演示邊講解）。

生1：用透明的方格紙放在這兩個圖形的上面，發(fā)現(xiàn)長方形占了24格，平行四邊形中的這個部分如果能夠拼到這里，剛好也占了24格，所以他們的面積相等。

師：這位同學的方法中，其實已經(jīng)把平行四邊形怎么樣了？（轉(zhuǎn)化成了長方形）再通過數(shù)格子的方式得出結(jié)論。如果只采用數(shù)格子的方法能夠得出平行四邊形的面積嗎？（和學生一起嘗試后追問）為什么這里的不滿一格都可以按半格數(shù)？（引導得出：左邊的每個不滿一格的部分都可以拼到右邊使它們成為完整的一格。）也運用了什么方法？（轉(zhuǎn)化）

生2：用剪刀剪下平行四邊形的中的一個三角形，（師追問：是隨便剪的嗎？）沿著它的高剪。（師繼續(xù)追問：只能沿著高剪嗎？）只能沿著高剪。然后把沿著高剪下的三角形拼到左邊，再和長方形重疊比較出它們的大小是相等的。

師：有多少同學采用了這樣的方法？通過剪拼的方法，把什么圖形（平行四邊形）轉(zhuǎn)化成了（長方形）。

設計意圖：從解決實際問題的需求引發(fā)探索的熱情，驗證猜想的環(huán)節(jié)，要求學生先思考，再選擇教師提供的學具進行操作，采用“思考+實踐”的方式，放手讓學生去嘗試。教學過程中通過自己敘述、小組交流、指名學生回答的方式突出體現(xiàn)對學生表達能力的培養(yǎng)，在學生介紹之后，采用課件輔助的方式，引導學生由“模糊感覺”逐步走向?qū)Α稗D(zhuǎn)化”這一數(shù)學思想方法有較為精確的認知。

（四）自主建構(gòu)，理解轉(zhuǎn)化

3.引導歸納，建構(gòu)新知。轉(zhuǎn)化以后，圖形的什么沒有發(fā)生改變？（面積）改變的是什么？（形狀）仔細觀察一下，還有什么也發(fā)生了改變？

生：我發(fā)現(xiàn)平行四邊形的底轉(zhuǎn)化成了長方形中的長，平行四邊形的高轉(zhuǎn)化成了長方形的寬。

師：（結(jié)合回答板書）這個轉(zhuǎn)化過程中，什么變了，什么沒變（只是名稱變了，而長度沒變。）這也正是為什么這兩個圖形的形狀改變，而面積不變的原因。

看著這個板書，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生：長方形的面積等于長乘以寬。轉(zhuǎn)化成平行四邊形后，它的面積等于底乘以高。

師：回答得真好，我們一起來說一說，閉上眼睛回顧一下這個過程，教師輕聲引導，你理解轉(zhuǎn)化的方法了嗎？感受到這種知識生長的力量了嗎？

4.破解定勢，發(fā)展思維。老師這里還有幾個問題。（課件逐個出示）

（1）想一想：是不是只有剪成直角三角形和直角梯形，才能轉(zhuǎn)化成長方形？

學生思考，結(jié)合教師的直觀演示得出：只要沿著平行四邊形的高剪開，都可以轉(zhuǎn)化成長方形，因為平行四邊形一組對邊上有無數(shù)條高，所以有無數(shù)種剪法。

（2）試一試：在平行四邊形的另一組底和高上，能實現(xiàn)這樣的轉(zhuǎn)化嗎？

引導學生利用學具進行操作，沿著另一組對邊上的高剪下，轉(zhuǎn)化成長方形。

（3）說一說：（結(jié)合板書）在這些轉(zhuǎn)化過程中，平行四邊形的底轉(zhuǎn)化成了長方形的長，高轉(zhuǎn)化成了長方形的寬，這種轉(zhuǎn)化只是名稱改變而長度不變，所以，雖然圖形的形狀發(fā)生了改變，但是面積不變。

設計意圖：以上一環(huán)節(jié)中的充分表述和理解為基礎(chǔ)，使學生完整經(jīng)歷對新知自主建構(gòu)的過程。教師通過有針對性的提問，既溝通了知識的內(nèi)在聯(lián)系，又揭示了其中蘊含的本質(zhì)屬性，達成“知其然，知其所以然”的教學目的。

為破除認知心理學中不良思維定勢的影響，適時拋出三個問題，通過對前兩個問題的思考和嘗試發(fā)散學生的思維，再利用“說一說”的環(huán)節(jié)恰到好處的聚攏思維，使學生獲得了“立得牢固，破得充分，收得徹底”的過程體驗。

（五）課堂練習，強調(diào)轉(zhuǎn)化

師：用學到的轉(zhuǎn)化方法計算這些圖形的面積。

學生口答，說一說思考的過程：第一個圖形可以轉(zhuǎn)化成長5厘米，寬3厘米的長方形；第二個圖形可以轉(zhuǎn)化成長12分米，寬2.5分米的長方形。（課件分別演示）

師：計算平行四邊形面積需要知道什么條件？（底和高）出示第2題，如何計算這個圖形的面積？

指名回答：1.2×0.8=0.96（平方米）。（為什么這樣算？）這個平行四邊形可以轉(zhuǎn)化成一個長0.8米，寬1.2米的長方形。（在1.6米的這條底上能不能實現(xiàn)轉(zhuǎn)化？）不能。

小結(jié)：也就是說，在轉(zhuǎn)化的過程中，底和高必須互相對應。

（指向板書）利用學過的知識，你能把平行四邊形的面積計算公式轉(zhuǎn)化成不同的形式嗎？

生：底=平行四邊形的面積÷高，高=平行四邊形的面積÷底。

真厲害，把一個乘法算式轉(zhuǎn)化成了兩個（除法算式），課件出示圖中紅色的高并追問：你能利用轉(zhuǎn)化的結(jié)果計算出這條底上的高是多少嗎？（學生計算，分析校對）

（課件出示）比一比，在方格紙（學具）上畫一個底是4厘米，高是3厘米的平行四邊形。（先明確題目的要求，再思考，怎么畫才能又快又多？）學生嘗試練習。

展示學生作品后，課件動態(tài)演示。引導發(fā)現(xiàn)：在方格紙上，可以畫出無數(shù)個這樣的平行四邊形，而這些平行四邊形都可以轉(zhuǎn)化成長是4厘米，寬是3厘米的長方形。

（六）全課小結(jié)，突出轉(zhuǎn)化

這節(jié)課我們學習了什么知識？你理解了怎樣的方法？

（課件出示）：轉(zhuǎn)化是數(shù)學學習中非常重要的思想方法。

【設計意圖】課堂練習體現(xiàn)“基礎(chǔ)——變式——拓展”的設計層次，在兼顧基本知識和技能訓練的同時，重點突出對“轉(zhuǎn)化”這一思想方法的理解和鞏固。其中變式練習中涉及的對公式的轉(zhuǎn)化并以此解決實際問題，以及拓展練習中“思考+實踐”的探索方法對于學生思維能力的發(fā)展起著非常重要的促進作用。

縱觀以上教學實施，可以看做是在前期思考，即明確對本課教學內(nèi)容定位的基礎(chǔ)上實現(xiàn)“生長”的一個過程。小學數(shù)學的學科特征，以及知識的內(nèi)在聯(lián)系處處表現(xiàn)著這種“生長”的姿勢和形態(tài)，而如何以數(shù)學的思想方法將之聯(lián)系貫穿，這需要一線教師結(jié)合各方面教學因素進行深入思考與實踐研究。

【參考資料】

[1]中華人民共和國教育部.《全日制義務教育數(shù)學課程標準（2011版）》北京：北京師范大學出版，2011.

[2]教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會.《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）解讀》北京：北京師范大學出版社，2012.endprint