秦愛東

[摘 要] 《法國義務數(shù)學課標》提出的信息的收集整理與探究、建模、表征、推理、計算與交流等六個基本能力與我國的要求一致. 筆者認為，結(jié)合具體實例研究能力培養(yǎng)，是數(shù)學教師的基本任務，初中數(shù)學教學要重視表征能力的培養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學；基本能力；能力培養(yǎng)

近日，有專家比較研究了《法國義務數(shù)學課標》（以下簡稱《法標》），得出的重要結(jié)論之一，就是該課標最有特色的是提出了六個能力目標，這六個目標分別是：信息的收集整理與探究、建模、表征、推理、計算與交流. 將這六個目標與我國《義務教育數(shù)學課程標準》進行比較可以發(fā)現(xiàn)，探究、建模、推理、計算、交流等，與我國數(shù)學課程標準的要求基本上是相同的，而信息的收集整理在我國的數(shù)學建模中也是一個前置性的任務，差異較大的是“表征”這一概念. 而這也引起了筆者的興趣，同時基于他國的課程標準理解，也可以給我們的教學帶來新的啟發(fā)，從而促進自身對數(shù)學教學的理解，基于這樣的思路，筆者進行以下幾點綜合闡述.

數(shù)學視角下的信息收集整理

與探究

法標中對信息的收集整理與探究的目標描述包括這樣的幾個方面：一是能夠從文件（筆者以為這個概念可以擴展，起碼未必是指文本式的文件）中提取有用的信息；能夠參與科學活動，并通過觀察、質(zhì)疑、操作和試驗，以提出假設并進行證明；能夠?qū)⑶榫澈喕蛱卣骰撤N程度上講就應當是數(shù)學化）；能夠?qū)⒋髥栴}細化成小問題，然后探究不同的簡化方案. 這些描述都是基于信息這一核心概念而進行的，法標重視信息應當說是可以理解的，尤其是在與我國的數(shù)學傳統(tǒng)教學進行比較之后可以發(fā)現(xiàn)，我國初中數(shù)學教學在很長的一段時間里，都是就數(shù)學而教，卻忽視了數(shù)學與生活尤其是與學生生活的聯(lián)系，而這種純粹的邏輯推理的學習，使得學生失卻了對信息最基本的敏感，也使得數(shù)學無法真正應用于生活.

當然，今天的初中數(shù)學已經(jīng)強調(diào)對信息的感知、收集與加工，也因而我們應當看到，面對信息尤其是信息中數(shù)學因素的提取，應當成為當下初中數(shù)學教學的重要取向.

例如，在“軸對稱”的教學中，在建立軸對稱概念之前，筆者嘗試呈現(xiàn)一組關(guān)于建筑的主題圖片，從天安門城樓到故宮博物院，從人民大會堂到英國的白金漢宮，從埃菲爾鐵塔到凱旋門. 在呈現(xiàn)這些素材的時候，筆者盡量不提供任何指引性的語言，而是讓學生去直接感知. 而為了讓學生的思維向軸對稱聚焦，筆者還借助于現(xiàn)代教學手段，將這些彩色圖片進行黑白化處理，然后進行虛化直到呈現(xiàn)建筑的輪廓，在這樣的圖片演化過程中，學生能夠明顯感覺到所有的建筑物都具有一個共同特征，那就是“左右是相同的”（這是學生初步描述的語言），而一旦學生意識到這一點，那建立軸對稱概念并探究其性質(zhì)，就有了堅實的認知基礎.

再如，在學習了軸對稱之后，可以讓學生去舉出身邊對稱建筑物的例子，這樣學生的思維所加工的對象，就是身邊的事物，學生所運用的思維就是帶著軸對稱知識對身邊的事物進行判斷的思維. 這個過程中還可以讓學生對一些對象進行精細研究，比如說一張桌子或一本書，看可以找出多少條對稱軸等. 這種從生活事物中獲取信息并從中提取所學的數(shù)學知識的過程，就是一個信息收集整理加工的過程，其可以促進數(shù)學知識的深刻理解，進而形成卓有成效的數(shù)學視角與數(shù)學能力. 有意思的是，在上述教學環(huán)節(jié)中，還有學生別出心裁地去研究漢字的結(jié)構(gòu)，然后找出了一些近似軸對稱的漢字，筆者以為這也是一種很好的軸對稱知識運用的意識.

這樣來看法標中的信息收集整理與探究，可以發(fā)現(xiàn)這是學生數(shù)學能力的一種重要展現(xiàn). 其與數(shù)學學科核心素養(yǎng)中所提出的數(shù)學抽象其實也是密切相關(guān)的，因為一個信息是否能夠納入學生的數(shù)學視角，學生又能否從紛繁的信息中進行有效整理與探究，本質(zhì)上就是一個數(shù)學抽象的過程. 故而從這個角度來看，培養(yǎng)學生信息收集整理與探究的能力，與核心素養(yǎng)是一脈相承的.

數(shù)學建模及其相關(guān)的其他能

力培養(yǎng)

數(shù)學建模是數(shù)學學習中必須形成的一個基本能力，盡管在《法標》中數(shù)學建模與其他相關(guān)的能力是分開討論的，但筆者以為數(shù)學建模實際上是一個相對綜合的過程，邏輯推理、計算和交流等能力往往都存在其中. 所以說從綜合能力培養(yǎng)的角度來思考數(shù)學建模及其他能力的培養(yǎng)，對于初中數(shù)學教學來說也是可行的.

《法標》在闡述建模能力的學習目標時是這樣確立的：能判斷成比例的問題情境，并能夠解決相應的問題；能把實際問題用數(shù)學語言表述（這實際上也與數(shù)學抽象有關(guān)）；理解并能夠運用數(shù)或幾何來模擬實際情況（這實際上是數(shù)學運用）；能判斷一個數(shù)學模型是否正確（這是初中數(shù)學教學中比較缺失的）等. 仔細研究這些表述，可以發(fā)現(xiàn)這其中有一個明確的思路，那就是《法標》中的數(shù)學建模是特別強調(diào)與實際問題進行聯(lián)系的，而這也是我們初中數(shù)學教學中一個被忽視的地方，我們在強調(diào)數(shù)學模型的時候，更多的是希望其能夠為解決一些習題提供幫助，而不是為了在學生的思維中建立一個豐滿、立體的數(shù)學形象.

在蘇教版八年級上冊的“整式的乘法”中有這樣一個引入性的問題：一種電子計算機每秒可以進行一千萬億（1015）次運算，那它工作103秒可以進行多少次運算？實際教學中，這個問題的解決所得到的表達式是am·an=am+n（m，n都是正整數(shù)），這里，這個表達式就可以視作一個數(shù)學模型，一個用于解決同底數(shù)冪的乘法的模型. 這個模型的形成過程，通常是通過數(shù)學探究來實現(xiàn)的. 教材上給出的探究過程實際上是一個不完全歸納法的運用：25×22=2（ ）；a3×a2=a（ ）；5m×5n=5（ ）（m，n都是正整數(shù)）. 雖然這里只有三個式子，但卻各具挖根生，第一個式子是純粹的數(shù)字表達，適合學生的思維特點；第二個式子的底數(shù)是字母表達；第三個式子的冪是字母表達. 學生經(jīng)由這三步的演算，思維就逐步向最終的同底數(shù)冪表達式靠近，實際上也就完成了一個邏輯推理的過程，進而也就培養(yǎng)了邏輯推理的能力. 這其中自然也涉及了計算，于是計算能力的培養(yǎng)是自然而然的. 至于交流能力的培養(yǎng)，更多的是在具體的學習過程中形成，這與教師組織學習的方式有關(guān). 當前我國課程標準中所強調(diào)的小組合作學習已經(jīng)成為主流學習的方式之一，其對學生交流合作能力的培養(yǎng)非常有用.

其實這個教學過程中還是有潛力可挖的，比如說在最初解決計算機那個問題的時候，可以放大一下學生數(shù)指數(shù)上0的個數(shù)的過程，如果不出意外，學生會感覺到0的個數(shù)太多，數(shù)起來太累. 這個時候教師可以“霸道”一點，堅持讓學生迅速地數(shù)且要數(shù)對，這樣做的主要目的，就是讓學生感覺到憤或悱，以為后面同底數(shù)冪的乘法公式這一模型的出現(xiàn)奠定啟發(fā)式的心理基礎. 這樣學生會對所得到的數(shù)學模型印象深刻，從而也就提升了模型運用的能力. 又如推理能力與數(shù)學建模關(guān)系的確定，也可以為兩個能力的培養(yǎng)尋找新的契機，前者既存在于數(shù)學模型的建立過程中，又存在于數(shù)學模型的運用過程中，強化數(shù)學模型建立與運用過程中的推理，對于邏輯推理能力乃至于直覺（合情）推理能力都有好處.

初中生數(shù)學學習中表征能力

的培養(yǎng)

關(guān)于表征能力的培養(yǎng)，在我國數(shù)學教學研究的視域里，表征這個概念并不多見，即使有也通常是作為描述其他數(shù)學教學理念的輔助性概念，因此其在《法標》中出現(xiàn)，確實引發(fā)了筆者很大的興趣.

表征本是一個心理學的概念，其指對客觀事物的反映. 數(shù)學學習中的表征，主要是指利用數(shù)學概念或規(guī)律去準確地描述一個事物，于是數(shù)學表征能力也就是學生運用數(shù)學概念的能力，這個能力是由學生對數(shù)學概念、規(guī)律的理解來支撐的. 《法標》中對表征能力的目標描述是：能夠選擇合適的內(nèi)容模塊來闡述一個問題或?qū)W習一個數(shù)學知識（其余的在此不贅述）. 這樣的表述與我們的理解一致，也需要在今年的數(shù)學教學中加以強調(diào).

表征實際上是一個復雜的過程，不同學生的個體，由于擅長的思維方式不同，因而即使學習同一個知識，其所采用的表征方式有可能不同，這也是造成學習結(jié)果差異的重要原因（有的教師抱怨“我一樣上課的，不知道為什么有些學生就是學不會”，這個抱怨的答案可能就與數(shù)學知識的表征相關(guān)）. 比如說上面所舉的軸對稱的例子，有的學生習慣于形象思維，因此他大腦中可能留存的就只是對稱圖形的表象，而沒有利用對稱軸等構(gòu)建出來的數(shù)學概念，因此這類學生對軸對稱圖形敏感，而對相應的數(shù)學語言的運用存在困難，因而這類學生在試卷上出錯的往往也就是對數(shù)學語言運用要求較高的題目.

通過這個例子可以看出，表征能力的培養(yǎng)確實是比較重要的，某種程度上講，其是當前提高教學效益最有價值的切入口.