朱冬新

[摘 要] 初中數(shù)學學科核心能力的培育，面臨著“可操作性”的挑戰(zhàn). 基于基本的理論，構(gòu)建“三棱柱”模型，可以清晰地表達數(shù)學學科核心能力的六個基本素養(yǎng)的關(guān)系，并在具體教學中予以體現(xiàn).

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學；學科核心能力；模型；應用

一線數(shù)學教師對于核心能力的培育最關(guān)注的問題是“可操作性”的問題，如果核心能力易于理解、容易上手，那核心能力的培育自然就不是問題，反之如果對其理解生澀，到了課堂上不知道如何著力，那核心能力的培育自然也就是一句空話. 初中數(shù)學是一門基礎(chǔ)性學科，數(shù)學課程在基礎(chǔ)教育課程中也有著較高的被關(guān)注度，某種程度上數(shù)學學科核心能力的培育影響著超越數(shù)學課程范圍的更多學科，甚至還會影響到整個基礎(chǔ)教育的核心能力的推進情況——此前一輪課改中關(guān)于數(shù)學課程標準的爭論，或可說明這一點.

基于這個思路，筆者作為一個普通的數(shù)學教師，也在探究核心能力培育的可操作性，以盡一位普通教師的綿薄之力. 筆者探究的思路就是基于模型建立對數(shù)學學科核心能力的概括性認識，基于模型探究核心能力培育的基本途徑. 本文即對此兩個話題展開討論，并談?wù)劰P者的實踐反思.

數(shù)學學科核心能力的模型建構(gòu)

數(shù)學學科核心能力是核心素養(yǎng)的下位概念，當前關(guān)于數(shù)學學科核心能力的理解是從其六個基本要素來進行的. 這六個基本要素是：運算求解、推理論證、空間想象、數(shù)學表達、數(shù)學建模與數(shù)據(jù)處理（又稱六項基本素養(yǎng)）. 在初中數(shù)學教學中要實現(xiàn)這六個基本能力的培育，首先要弄清這六者之間的關(guān)系，及其在具體的教學中是如何體現(xiàn)的. 這里筆者以“勾股定理及逆定理”的教學為例，先來進行一個分析.

勾股定理描述的是直角三角形的邊長之間的關(guān)系，這本身是數(shù)形結(jié)合、以數(shù)述形的典型例子，有數(shù)形結(jié)合的思想蘊含其中. 在實際教學中，教師會通過情境的創(chuàng)設(shè)，如畢達哥拉斯研究朋友家地面磚的圖形等，來讓學生對這些地磚進行抽象——這里有一個簡單的數(shù)學建模和數(shù)學表達過程（相應的在利用勾股定理解決實際問題的時候，也有將實際問題抽象成直角三角形的過程，也是數(shù)學表達）；在得出勾股定理的過程中，首先面臨著推理工具的選擇問題，通常情況下首次證明會利用與直角三角形三邊相關(guān)的正方形的面積關(guān)系去證明，而這本身并非最直接的工具，能否想到用面積關(guān)系來證明，考驗著核心能力的另一個因素——空間想象（準確地說，這里主要體現(xiàn)的是對數(shù)學解題工具選擇的直覺能力，可以認為是數(shù)學直觀）；而在尋找到面積這一工具之后，證明得出三邊關(guān)系的過程，就是一個推理論證過程，顯然體現(xiàn)的是推理論證能力. 當然，由勾股定理得出勾股定理逆定理的過程，更是體現(xiàn)著推理論證的重要過程，在該知識的教學中，教師的重心就應當落在推理論證這個層面之上；利用勾股定理及其逆定理解題的過程中，無論是數(shù)學習題還是實際問題，都會涉及數(shù)學處理與運算求解，這是這兩個要素的體現(xiàn)，尤其值得一提的是，數(shù)學處理在勾股定理及逆定理的運用中非常明顯，“3，4，5”“5，12，13”等勾股數(shù)必須能夠成為學生的一種數(shù)學直覺，看到它們就能夠想到與之對應的三角形是直角三角形，這是數(shù)學處理變成一種直覺的體現(xiàn).

根據(jù)以上分析，在勾股定理及逆定理的教學與應用中，可以說完全體現(xiàn)了數(shù)學學科核心能力的六個要素，而再從這六個要素的體現(xiàn)來看，顯然數(shù)學表達、推理論證與數(shù)學建模在其中起著支撐作用，而另外三個要素則在這個層面的基礎(chǔ)上起著完善學生思維、體現(xiàn)數(shù)學學科特征的作用. 因此，筆者以為初中數(shù)學學科核心能力的模型可以是這樣的（如圖1）：數(shù)學表達、推理論證與數(shù)學建模形成了代表核心能力的三棱柱的三個支點，對于初中數(shù)學教學而言，構(gòu)建出了這三個支點，核心能力的培育基本上也就全面了（根據(jù)史寧中教授的研究，這三者其實是可以包括另外三個要素的）.

在這個模型中，一共9條邊意味著任意兩個核心之間都存在聯(lián)系，而在具體知識的教學中，核心能力的培育有可能是以“點”的形式存在的，即只有一個基本素養(yǎng)得到了培育；有可能是以“線”的形式存在的，還有可能是以“面”或“體”的形式存在的. 考慮到數(shù)學知識的教學為核心能力的培育提供了基礎(chǔ)與情境，在實際教學不可為了追求核心能力的培育，而刻意地將“點”拓成“線”，將“線”拓成“面”.

基于核心能力模型的教學實踐

通過以上模型，可以比較清晰地知道數(shù)學學科核心能力的六個基本素養(yǎng)之間的關(guān)系，那到了具體的實踐過程中，實際教學如何保證核心能力的培育得以實現(xiàn)呢？這里不妨將上面所舉的“勾股定理的逆定理”的教學為例來詳細說明.

首先，讓學生回憶勾股定理的題設(shè)與結(jié)論，強化學生對勾股定理描述直角三角形作為“形”的數(shù)量關(guān)系的認識，同時回顧從題設(shè)到結(jié)論的推理論證過程. 然后提出問題：如果一個三角形的三邊a，b，c滿足a2+b2=c2的關(guān)系，那么這個三角形是不是就是直角三角形呢？為了強化學生對此問題的認識，教師可以借助于古埃及人畫直角三角形的方法——將一根長繩打上等距的12個結(jié)，然后構(gòu)成三邊分別是3，4，5個結(jié)的三角形. 這個具體情境實際上呼應了上面的問題，同時借助于具體的數(shù)據(jù)，利用學生對勾股數(shù)的直覺來更好地認識勾股定理逆定理證明的題設(shè)與條件.

其次，證明勾股定理的逆定理. 具體過程交給學生，要求學生根據(jù)問題，在自己的草稿紙上畫出圖形，寫出題設(shè)和結(jié)論. 這個過程對于優(yōu)生而言通常問題不大，但對于中等生及其學困生而言，會存在一些問題，而解決這些問題的過程，就是數(shù)學學科核心能力的基本素養(yǎng)得以體現(xiàn)的過程（實際教學中可以將這些過程呈現(xiàn)給所有的學生，以讓優(yōu)生也能看到其中可能存在的思維不足）. 如，有學生的思路先是根據(jù)具體數(shù)值來畫三角形的，但他畫的是任意三角形，然后也在三邊上標了3，4，5，這顯然是數(shù)據(jù)處理能力存在問題，或者說沒有良好的空間想象，甚至可以說是缺乏基本的推理能力（當然這里的推理是合情推理）——都已經(jīng)指明了要證實直角三角形，為什么還畫一個一般三角形呢？又比如說有學生在畫圖的時候在三角形的實際直角處標了一個直角符號，這個細節(jié)是否值得研究呢？顯然是搞亂了題設(shè)與結(jié)論的關(guān)系，是需要強調(diào)的. 當然，這個環(huán)節(jié)中的核心是構(gòu)造一個直角邊分別是a和b的直角三角形，然后先用勾股定理證實其斜邊長為c，然后再利用三角形全等證出其為直角三角形.

最后，引導學生反思這一學習過程，包括從題設(shè)與結(jié)論的描述，到利用全等三角形來作為證明工具，再到逆定理的具體表述. 在反思的過程中，教師可以基本核心能力為主線，比如說題設(shè)與結(jié)論的描述運用了推理論證；對細節(jié)的強調(diào)幫學生理清了邏輯關(guān)系，從而也就強調(diào)了數(shù)學處理與數(shù)學直觀的必要性；對全等三角形證明工具的選擇來構(gòu)造一個直角三角形，這是證明的核心過程，也是勾股定理描述的直角三角形關(guān)系模型與空間想象共同作用的產(chǎn)物. 總之，這個過程中，核心能力的體現(xiàn)是充分的，同時又是不突兀的，可以視作是一個有效的核心能力培育過程.

數(shù)學學科核心能力培育的反思

數(shù)學學科核心能力的培育尚處于起步階段，迅速上手、高效實施是核心能力培育的基本要求. 根據(jù)有限的實踐去反思數(shù)學學科核心能力的培育，筆者以為還是要遵循兩個基本原則：一是要保證自己對核心能力的理解是清晰的. 坦率地說，完全從理論層面建立起復雜的理解，對于一線教師來說是有困難的，是很難實現(xiàn)的. 但要保證自己所懂的是正確的，譬如數(shù)學學科核心能力的六個基本能力，這個理解不能有偏差. 而基于已有的理解去構(gòu)建新的理解，需要從理論邏輯與實踐兩個方面去進行. 筆者所構(gòu)造的正三棱柱模型固然粗糙，但其可以基本上明晰六個核心能力之間的關(guān)系，可以反映六個核心能力之間的不同的重要性及互相影響，因此至少是具有初步的應用價值的. 二是要在實踐當中總結(jié)核心能力培育思路. 事實證明，只有在教學中對核心能力進行連續(xù)不斷的思考，才能有新的認識生成，這意味著在教學中，教師要關(guān)注數(shù)學知識的構(gòu)建，要關(guān)注學生的考試成績，同時也要關(guān)注知識構(gòu)建、問題解決、教學評價過程中學生的核心能力是否得到有效培育的問題，又或者說需要思考如何更好地解決這些問題.

總之，在數(shù)學教學中，只有通過持續(xù)不斷的反思，才能讓反思具有深刻性，才能讓核心能力成為教師教學研究的一條主線. 而反思的結(jié)果，必然是讓教師心中的關(guān)于學科核心能力的模型更加清晰，從而在增強了操作性的前提下，更好地實現(xiàn)數(shù)學學科核心能力的培育.