邵廣明

[摘? 要] 新課標指出，在高中階段的數(shù)學教學活動中，在教授文化課知識的同時，需要以學生為基礎進行數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，這是推進素質教育的不可忽視的一環(huán)，因此，對數(shù)學核心素養(yǎng)進行深入探討具有十分重要的實踐價值. 文章從高中數(shù)學中的重點內容“三角函數(shù)”中抽取具體教學實例，從培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的角度入手，在不同層面、多個角度進行深入剖析，旨在促進高中階段數(shù)學教學水平的進步，以向學生提供更具價值的教學思路.

[關鍵詞] 數(shù)學核心素養(yǎng);高中數(shù)學教學;素質教育

一直以來，素質教育都是我國教育事業(yè)的核心內容，在教育行業(yè)高速發(fā)展的今日，對學生的培養(yǎng)不僅僅是在知識的掌握上，更是在思維模式上，因此，如何進行核心素養(yǎng)的培養(yǎng)引起了教育界的廣泛關注，也引起了教育工作者的高度重視. 眾所周知，數(shù)學核心素養(yǎng)包含六項基本內容，數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據分析，那么，在高中階段，教學占據了學生大半時間的情況下，如何在教學實踐中成功地培養(yǎng)學生應有的素養(yǎng)成為教師思考的重點，也為日常的教學任務提出了更高的標準和要求.

高中數(shù)學教學離不開問題的講解，在進行數(shù)學題目的求解時，一般需要進行如下幾步：首先是分析問題，建立已知條件與所求問題之間的邏輯關系;其次是思考問題，應該使用什么樣的方法進行問題的求解，是否存在更加高效的數(shù)學方法得出同樣的答案;最后是解決問題，整理好邏輯思路并運用恰當?shù)臄?shù)學方法完成題目的求解過程. 除此之外，在完成一道題目之后還需要再進行題目的反思，是否讓一道題目發(fā)揮了它最大的價值在于對它的類比思考，只有將其真正納入自己的知識體系中，這道題目才是真正的完成了. 文章將按照解決問題的思路，從具體的教學案例入手，進行數(shù)學素養(yǎng)的解讀，給出筆者的思考.

為什么需要培養(yǎng)數(shù)學素養(yǎng)呢？因為在很多情境中，學生形成了固定的思維模式，只知道在一個題目中就必須按照該題目所給出的條件一步一步地尋找問題的答案，但是，很多的問題并不是這樣的，它需要聯(lián)系所學過的知識，將其作為隱含條件帶入這道題目中，才能找到正確結果. 如果只是一味地按照傳統(tǒng)的思維模式進行解題，就必然會陷入題目的陷阱中去. 首先，通過例1進行案例呈現(xiàn).

因為方程存在著兩個根，那么運用根的判別式條件可以得出Δ=-4a≥0，然后求解不等式可以得到a的取值范圍應該如答案B所示.

分析學生的錯誤原因，事實上，存在著一個隱含條件，f（x）=sinx這個正弦函數(shù)是有界函數(shù)，當定義域為全體實數(shù)時它的值域限定在了[-1，1]之間. 因此，出錯的學生會被題目條件所迷惑，僅從所給出的條件出發(fā)，進行計算，勢必會造成錯誤. 究其根源，是由于學生在回答題目的過程中沒有進行嚴密的思考，以至于造成求解思路的錯誤. 正確的求解過程應如下步驟所示：

問題評析：出錯的學生在開始思考問題的過程中沒有將問題需要的所有條件考慮全面，因此，沒有對sinα和sinβ的取值進行條件限制，因此在得到sinα與sinβ的和為這一條件時沒有思考條件存在的可能性，只有聯(lián)系到函數(shù)的有界性質，才能得出正確的結果. 當忽略掉題目當中的隱含條件即“方程僅可能在（0，1]之內存在2個正根”的時候，就必然會導致錯誤的計算結果.

數(shù)學素養(yǎng)正是在一次次的習題解答中建立起來的，但是解決問題并不是盲目地進行機械化的訓練，而是通過相關技巧進行高效的練習. 在進行閱讀題目的過程中，需要學會對已知條件進行有效的分析，找到已知條件和最后結果之間存在的邏輯關系，通過適當?shù)臄?shù)學思維來體驗數(shù)學的樂趣，在解決問題的過程中落實數(shù)學素養(yǎng).

下面通過例2和例3進行分析.

例2：已知sinθ-cosθ=，求sin3θ-cos3θ的值.

解析：在這個問題之中，條件只有sinθ-cosθ的差值，但是無法直接與要求的結果聯(lián)系起來. 那么就出現(xiàn)了一個思路，是否是需要將sinθ和cosθ的值分別求出之后再進行所求式子的計算？如果按照這個思路進行下去，由于沒有對θ的范圍進行詳細的規(guī)定，因此只能通過平方布列，聯(lián)立式子求解，這種解題思路容易思考，但是計算較為復雜，很容易就在求解過程中出現(xiàn)一些小問題導致錯誤的結果. 考慮一下出題人的意圖，是否是通過三角函數(shù)的形式簡單地考查數(shù)學計算能力呢？如果不是以耗費時間進行冗長的計算為目的，那么應該存在更為巧妙的計算方式. 將所求式子進行變形可以得到sin3θ-cos3θ=（sinθ-cosθ）·（sin2θ+sinθcosθ+cos2θ）=（sinθ-cosθ）（1+sinθcosθ），那么只需求得sinθcosθ的值即可. 將已知兩邊平方得sinθcosθ=，再將整體代入所求式子的變形中去即可求得結果為.

這個例子就是典型的“知二求一”的問題，通過歸納求解方法可知，對于sinθ±cosθ，sinθcosθ（或sin2θ）這3個式子，利用（sinθ±cosθ）2=1±2sinθcosθ即可獲得簡便的求解方法.

例3：（人教A版數(shù)學必修4第146頁復習參考題A組第7題）已知cos（α+β）=，cos（α-β）=，求tanαtanβ的值.

解析：此題需要從結果入手進行式子的變形，通過逆向思維找到需要的求解條件.將求解式子變形可得tanαtanβ=，因此所需求的式子變?yōu)榱藄inαsinβ和cosαcosβ，聯(lián)系已知條件可直接使用C（α+β）與C（α-β）公式，得到以sinαsinβ和cosαcosβ為整體未知數(shù)的二元一次方程組，求解后整體代入即可求得最后的結果.

按照傳統(tǒng)的邏輯思路來說，正是需要從條件出發(fā)尋求問題的結果，但是從結果入手簡化所求條件可以使得問題變得更為簡單明了，這種解法源于逆向思維需要以所求條件為切入角度，通過反向追溯的方式得到更為簡便的解題思路. 因此，如何建立條件與結果之間的內在聯(lián)系，這需要扎實的數(shù)學理論知識和靈活的思維方式，逐漸培養(yǎng)起這樣的內在感知聯(lián)系，也逐漸培養(yǎng)起學生的數(shù)學素養(yǎng).

在教學環(huán)節(jié)中，習題通常作為一種有效的手段用于學生數(shù)學素養(yǎng)的提升，它的重要性不言而喻. 但是司空見慣的題海戰(zhàn)術是否有效還有待商榷，真正需要的是更加高效的練習方式. 教材中的習題作為經典題目，需要在深入透徹學習的同時發(fā)揮其獨特的輻射作用，將相似度高的題目進行類比總結，找出相似性和相異性，一題多變，反復練習，只有做到舉一反三才是真正做到了對題型的掌握. 通過對題目的相似性練習，能夠讓學生在培養(yǎng)熟練度的同時找到更多的靈活思維方法，熟能生巧，在教師的積極引導下形成專業(yè)的數(shù)學素養(yǎng). 下面通過例4及其變形來進行講解.

在上述的題目中，可以看到一個規(guī)律是，自變量的定義域在不斷地變化，從最初的全體實數(shù)到逐步限定區(qū)間，同時正弦項和余弦項的次數(shù)在不斷地升高，導致函數(shù)的最值也在不斷地發(fā)生變化. 通過仔細地分析題目和細致地運算，可以很容易得到正確的結果. 因此，將經典題目加以變化，可以得到舉一反三的效果，不斷地訓練學生的思考方式和探索興趣. 在這樣的實際訓練中，學生的思維可以得到擴展，最終提升自身解決問題的能力.

在解決數(shù)學題目的時候，運用的就是一個學生的綜合的數(shù)學能力，包括分析問題的邏輯推理能力，思考問題時的數(shù)學思維方式和計算問題時的綜合計算能力等. 通常情況下，一個學生的邏輯推理能力是解決題目最為重要的地方，這種能力的正確建立會使得學生在進行數(shù)學學習的時候起到事半功倍的效果，對于遇到的任何數(shù)學題目都能夠建立起自己獨特的思考模式，那么在接下來尋找切入點進行問題解答時會更加的得心應手.

數(shù)學課程當中雖然邏輯推理比較重要，但是常識道理也不容忽視. 通過分析一些比較典型的例子和學習進行自主性的探究，能夠讓學生加深對數(shù)學概念的理解程度，逐步分析出題目隱藏的思想方式. 對數(shù)學發(fā)展的歷史進行分析，將數(shù)學的學術知識轉換成學生最容易接受的文本知識直觀重要. 近些年來，在高考題目當中，探索性的問題屢見不鮮，其解決就是先對結論進行肯定，然后以此為基礎，與當前的知識進行結合，通過給出的信息來進行反向的推理和計算，最終解決問題. 若相符合，則結果得到論證;若不符合，則假設不成立. 這類問題，是讓學生通過“找問題”來進行分析和推理，從而形成懷疑和批判的態(tài)度和意識，在自主探究的活動當中找出有效的方式，提升學生的邏輯思維的嚴密性.

例5：函數(shù)f（x）=2cos2x+2sinx·cosx+m，x∈R.

問題評析：這樣的問題在高中數(shù)學習題中是較為常見的一種類型，這種問題明顯屬于“存在性”問題的討論，首先對f（x）中的高次冪三角函數(shù)進行降次處理，通過高次冪三角函數(shù)和二倍角公式的相互轉化關系，最終將函數(shù)等價轉化成單個三角函數(shù)的形式，進而求得函數(shù)周期、最大值和最小值等問題，在這種類型的問題中，函數(shù)的等價轉化是解決問題的重點與難點.

[?]在反思問題時提升數(shù)學素養(yǎng)

“學而不思則罔，思而不學則殆”是孔夫子的至理名言，其目的是教育我們要通過反省反思的方式從問題中獲取價值來達到完善自己的目的. 在數(shù)學的實踐教學環(huán)節(jié)當中，學生不但要努力地發(fā)現(xiàn)和探索新的問題，而且也需要對出現(xiàn)的問題進行獨立的思考、回顧和分析，在反思中找出思維存在的錯誤的地方進行細細琢磨以進行及時糾正. 在推導的過程之中，邏輯關系可能是引起錯誤的關鍵點，因此，及時對邏輯思考過程進行嚴格的審查，找出問題潛在的地方并給予恰當?shù)臅r間和精力進行思考和調整，這樣可以鍛煉學生精準把控問題的能力，對解決問題的準確度也有了大幅度的提高，這是培養(yǎng)學生數(shù)學素養(yǎng)最為有效和最具價值的方式.

首先，需要在得出計算結果的時候對結果是否正確給予恰當?shù)姆此?，下面通過例6進行說明.

例6：（人教A版數(shù)學必修4第22頁B組第2題）對式子-進行適當?shù)幕啿僮?，其中α為第二象限?

解析：學生作業(yè)出現(xiàn)如下錯解：原式= -=-==2tanα.

因為α為第二象限角，所以可以確定結果的符號，得到最終答案為2tanα.

問題評析：出現(xiàn)這個問題是由于在審題時比較粗心和大意，題目中α為第二象限角是已知條件，學生在運算的過程中并沒有將這一條件考慮進去，導致結果為2tanα，默認為cosα>0. 如果學生的計算結果是正確的，那么2tanα=-2tanα推導出2=-2，這是絕對不可能的. 通過利用一些有誤的資源來對學生的認知產生沖突，能夠讓學生及時糾正錯誤，提升自身思維的嚴謹性.

其次，需要對方法的有效性進行反思，下面通過例7來進行說明.

問題評析：通過兩種解法解答題目后我們來進行一下反思，雖然解答的思路并不相同，但是得到的最后的答案是相同的，那么，兩種解答相比而言，哪種方式更加合理呢？學生通過自身思考都認為解法1優(yōu)于解法2，這是由于在解法1中，對分母的計算操作不是盲目的，而是在朝向既定目標而進行努力，在這里分母有理化是為了能夠將分母變形為cosα的單項式，那么，在接下來的操作過程中，就可以省略掉通分的計算過程使計算變得更為簡便;而解法2當中，相比于解法1更為煩瑣. 在對習題作業(yè)進行講解和評述的過程當中，通過分析和比較，讓學生能夠對題目進行分析，從而找出更加合適和優(yōu)秀的解題思路和方法，提升學生的解題能力. 在對結果是否正確進行檢驗反思的時候，可以進行解題思路的重新思考，尋找是否有更為簡便高效的解題思路，可以對思考過程進行有效的鍛煉，通過對一道題目反復剖析，多次解答，可以有效地提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

最后，還需要對題目的正確性進行分析和反思. 在分析和反思的過程中，如果發(fā)現(xiàn)了問題要勇于質疑和發(fā)聲，找出錯誤的源頭. 在糾正錯誤的過程當中引起更多思考，加強理解和認知. 這樣在以后的學習當中才不會犯同樣類型的錯誤，才能夠不斷地提升自我. 下面通過例8來進行說明.

例8：已知sinα=，cos（α+β）=，且α和β為銳角，求cosβ的值.

解析：這道習題一直在眾多的教學資料中作為經典例題被廣泛使用，然而沿用多年卻是一道錯題. 事實上，因為cosα==<，所以cos（α+β）≥cosα. 據α，β為銳角，得0<α+β<π，所以α+β亦為銳角. 在（0，π）內余弦函數(shù)為減函數(shù)，所以α+β<α，β≤0，這與α，β為銳角矛盾，故通過本題所給的條件會推導得出自相矛盾的結果. 因此，原題的邏輯存在問題，是一道錯誤的題目.

問題評析：如果題目當中角α+β更換為α-β，其余的條件并不改變，通過替換原有條件可以將一道無邏輯的題目改換為一道經典題目，解決原有的矛盾問題. 學會提出問題、自主尋找問題要比埋頭苦做更能鍛煉學生的思考能力，這需要嚴密的邏輯思維能力和敢于質疑的勇氣，找到問題產生的源頭并予以糾正，對合理的地方進行分析加以完善，這樣學生再解決問題時思路才能夠更加清晰和明確，對于書本不迷信和盲從，學生獨立思考的意識得到強化才能夠進一步升華學生的核心素養(yǎng).

解析：首先，我們來將題目分析一下. 第（1）問是常見的函數(shù)變形問題，在這類題目中，對函數(shù)進行有預見的處理會大大提高解題效率. 函數(shù)的變形并不是盲目的，如果單憑運氣去湊相似形式將會耗費許多的時間和精力. 下面我們來具體分析例題，在這道題目中，嘗試發(fā)現(xiàn)，如果將f（sinx），f（cosx）分別化簡為和，之后通過已知條件對絕對值符號進行簡化操作可以使得后續(xù)計算流程變得簡易明了，也為最后把g（x）化簡成為單角三角函數(shù)變式的形式打下基礎. 這樣的思維方式是通過多次練習后反思總結規(guī)律得來的，因此，要在解題的過程中不斷地總結經驗教訓，并加以適當?shù)倪壿嬎伎?，最終形成自己的解題思路，在之后的問題解答中靈活運用，這樣才能成為學生自己的素養(yǎng)和能力.

數(shù)學學習中，錯題和做題一樣常見. 因此，作為數(shù)學學習中的重要一環(huán)，錯誤的有效利用就顯得尤為重要了. 其實，在教學中，教師比起學生擁有天然的優(yōu)勢，他們可以接觸到更多的學生，因此可以獲得到更多的錯題資源，在數(shù)量和質量達到一定程度后，教師可以將這些典型錯題向更多的學生進行展示. 通過分析，指出解題過程當中正確的部分，通過對學生工作進行肯定的方式激發(fā)學生的創(chuàng)造力和積極性，同時，讓學生在錯題中獲得自我反思的機會. 教師應該學會在辯證中看待學生的錯誤問題，需要將學生的錯誤看作在曲折中成長時不可缺少的重要環(huán)節(jié). 一方面，學生需要在錯誤中得到成長，只有犯過錯誤才能不斷地提升和完善自己;另一方面，教師需要對這些教學資源進行有效的利用，可以讓一個學生的錯誤為更多的學生創(chuàng)造價值. 因此，教師在幫助學生改正錯誤的同時，也要建立起自己的錯題資源體系，因為，教師的提升是更多學生素養(yǎng)提升的強效辦法. 下面，通過例10來進行講解.

但是，在批改試卷的過程中，曾經有一位老師對這樣的解答哭笑不得，該學生的解題方法復雜不說，最后還得出了一個錯誤結果，這就是費力不討好的典型寫照.

在第（2）問之中，通常經過適當?shù)姆治隹芍袃煞N解題思路：一是求單角的值，將式子等價轉化為單角形式代入求值;二是求二倍角的值，將式子等價轉化為二倍角的形式帶入求值. 但是通過單角的切值很容易求得二倍角的切值，即由tanα=2容易得到tan2α=-，那么可知第二種思路可能更為簡單，最終將式子統(tǒng)一轉化為二倍角的形式. 但是，同學的解題思路中忽略了一點，求解聯(lián)立方程組的時候，還可能存在另一組解sin2α=-，cos2α=，這組解需要通過tanα=2>0這一條件判斷后進行取舍. 當然，上述學生的解題過程中還存在著其他錯誤，如代值錯誤、符號錯誤等. 事實上，正確的答案是原式===1.

這樣同樣能夠得出最終的正確結果，在三角變換當中，角的轉換是最為核心的內容，需要注意角之間存在的結構差異，而三角公式就能夠將這些結構差異理清楚. 在錯誤當中尋求正確的答案，在正確答案當中尋求最佳的解題思路和方法，這是探索的體驗. 利用辯證唯物主義當中的觀點來對學生整個解題的過程進行評價，能夠打破僵化的固定思維模式開拓出新的思路，讓學生的邏輯思考能力和綜合思維能力在訓練中得到提升，而我們的最終目的——學生的數(shù)學素養(yǎng)，也正是在這樣反復訓練的過程中逐漸得到培養(yǎng)的.

事實上，一切的學習過程都是以應用為最終目的的，“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”，只有真正能解決問題的知識和能力才是有價值的學習. 在數(shù)學的學習活動中，數(shù)學建模就是聯(lián)通知識學習與解決問題的一道橋梁，也是數(shù)學的重點與難點. 學生在數(shù)學建?；顒又?，能夠運用知識學會如何解決實際問題并鍛煉自己的數(shù)學思維能力，不僅如此，數(shù)學建模作為一項聯(lián)系實際的手段，它還與其他學科存在著千絲萬縷的聯(lián)系，在我們的生活中有著廣泛的應用前景. 除此之外，數(shù)學建模還有著自己獨特的優(yōu)勢，作為少數(shù)能與生活場景產生相關性的學科，數(shù)學建模以深入生活的方式引發(fā)了學生的廣泛興趣并激發(fā)了學生潛在的創(chuàng)造力，讓同學們真真切切地感受到生活中數(shù)學應有的魅力所在.

為什么需要在數(shù)學建模中反思呢？

這的確是數(shù)學建模中不可缺少的一步. 畢竟是與生活息息相關的工作方法，在理論上來說，數(shù)學建模是應用數(shù)學模型去擬合實際問題建立數(shù)學思維方式. 那么，擬合這一步就存在著產生誤差的可能性，需要去不斷地完善，讓數(shù)學模型無限地趨近于實際問題，這樣的過程就需要不斷地反思來完成. 這樣的過程才是真正提升學生解決問題的強效手段，能夠在反思中提升，在提升中獲得解決問題的樂趣，可以極大地提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

經過前面的數(shù)項分析，我們得出在高中階段的數(shù)學教學活動中，數(shù)學核心素養(yǎng)的養(yǎng)成是教育的根本目標. 學習需要以興趣為導向這就引發(fā)教師廣泛思考如何將學習變得更為生動這一議題，在高效學習的同時，還提出了趣味學習的更高要求. 數(shù)學教師們除了形成靈活高效的數(shù)學課堂教學體系外，還需要綜合利用各種可得的教學資源，調動學生學習積極性的同時，提升學習的效率、提高學生的能力、提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).