摘要：以史為鑒可知得失，數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)教育的根基和學(xué)科課程設(shè)計(jì)的重要依據(jù)。本文從教材設(shè)計(jì)、教學(xué)實(shí)施的視角，分析了數(shù)學(xué)史對于小學(xué)數(shù)學(xué)教育的價(jià)值，并進(jìn)一步探討了小學(xué)數(shù)學(xué)滲透數(shù)學(xué)史的基本原則是什么，最后結(jié)合教學(xué)實(shí)踐中鮮活的課例，總結(jié)梳理了小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史的實(shí)踐策略和需要注意的問題。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)史;策略;實(shí)踐研究

d01：10.1608 3/j.cnki.16 71-15 80.2019.11.0034

中圖分類號：G623

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1671-1580（2019）11-0142-04

一、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史的現(xiàn)狀

（一）數(shù)學(xué)史在教材中的呈現(xiàn)。數(shù)學(xué)史在教材中的呈現(xiàn)方式主要有以下幾種：

1.作為某個知識點(diǎn)的補(bǔ)充和拓展，豐富學(xué)生對這個知識的理解。

2.介紹相關(guān)的人物事件，拓展知識、豐富情感。

3.加入一些小實(shí)踐、小調(diào)查板塊，使學(xué)生經(jīng)歷概念產(chǎn)生的沖突點(diǎn)，加深學(xué)生對知識的理解。

4.按照數(shù)學(xué)概念發(fā)展的歷程，呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容。前三個層次都是數(shù)學(xué)史的顯性呈現(xiàn)，而按照數(shù)學(xué)史編寫教學(xué)內(nèi)容，則是隱形的呈現(xiàn)，但卻是意義重大的。通常教學(xué)中一些關(guān)鍵性的知識點(diǎn)都會以這種形成呈現(xiàn)，例如：l°角的認(rèn)識、1米的認(rèn)識、圓周率的認(rèn)識、比的認(rèn)識等等。

（二）教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)史的現(xiàn)狀

究竟怎樣才能把數(shù)學(xué)史融人教學(xué)之中，更好地發(fā)揮數(shù)學(xué)史的作用？教師在對教材中呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)史的使用，有這樣的一些現(xiàn)象：

對于一些顯性的內(nèi)容，如：小閱讀、你知道嗎？通常都能夠帶領(lǐng)學(xué)生閱讀分析，豐富學(xué)生的情感體驗(yàn)、加深學(xué)生的認(rèn)識。但對于一些小調(diào)查、小實(shí)踐，由于操作起來比較麻煩，如果作為作業(yè)布置，又怕沒法落實(shí)、完不成教學(xué)任務(wù)，因此通常被忽略了。而對于按照數(shù)學(xué)概念發(fā)展歷程編排的教學(xué)內(nèi)容，如果教師對數(shù)學(xué)史的相關(guān)內(nèi)容有所了解，可能會按照教材中的編排進(jìn)行教學(xué)，而如果了解不夠，則會進(jìn)行創(chuàng)編改編，反而違背了編者的初衷。實(shí)際上，很多教師漸漸地開始有意識地關(guān)注數(shù)學(xué)史，但由于已有的研究還不夠充分，使得可借鑒性不足。一線教師或者教材的編者在具體的實(shí)施過程中仍然束手無策，一線教師往往會一帶而過，或干脆視而不見。

（三）教師和學(xué)生數(shù)學(xué)史素養(yǎng)的調(diào)研

通常把對數(shù)學(xué)史的了解、掌握和價(jià)值認(rèn)定的情況看作是一個人的數(shù)學(xué)史素養(yǎng)。西南大學(xué)研究生徐冠中，曾經(jīng)對珠海市24所中學(xué)的教師和學(xué)生的數(shù)學(xué)史素養(yǎng)做過問卷調(diào)查。調(diào)查結(jié)果顯示：被調(diào)查教師中有44%很少或者沒有接受過顯性的或隱性的數(shù)學(xué)史教育;被調(diào)查教師中11%經(jīng)常接受與數(shù)學(xué)史有關(guān)的教育。關(guān)于對數(shù)學(xué)史的重要性的調(diào)查結(jié)果顯示：大約9.6%被調(diào)查者認(rèn)為實(shí)施與數(shù)學(xué)史有關(guān)的教學(xué)有很大價(jià)值，這就表示剩余的絕大部分教師認(rèn)為雖然數(shù)學(xué)史有一定的教育價(jià)值，但價(jià)值不太大。

對學(xué)生的調(diào)查：當(dāng)問起在過去的學(xué)校里，你們數(shù)學(xué)課上會講有關(guān)數(shù)學(xué)史的內(nèi)容嗎？其中5.3%表示經(jīng)常講有關(guān)數(shù)學(xué)史的內(nèi)容;其中36.8%認(rèn)為次數(shù)并不多：剩余的58%表示沒怎么進(jìn)行過與數(shù)學(xué)史有關(guān)的教學(xué)。當(dāng)被問及有關(guān)數(shù)學(xué)史價(jià)值的問題時，學(xué)生們的答案與教師的答案形成了鮮明的對比，63.1%的學(xué)生認(rèn)為作用很大，有21%認(rèn)為一般，15.8%的學(xué)生認(rèn)為幾乎沒有作用。

通過這個調(diào)查結(jié)果，不難看出關(guān)于數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育還存在很多問題，特別是教師和學(xué)生對同一問題的不同回答上，需要引起教育者們的反思，有必要探討數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的融合問題。這將對教育教學(xué)的開展有著非常重要的理論和實(shí)踐意義。

二、教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史的基本原則

與教學(xué)目的一致，與教學(xué)內(nèi)容契合。被納入數(shù)學(xué)教材的數(shù)學(xué)史，要與單元或課時的教學(xué)目的一致，需要思考引進(jìn)的目的是什么，何時引進(jìn)，多大程度的引進(jìn)。還要考慮如何能讓數(shù)學(xué)史與教材內(nèi)容融合在一起，從而更好地促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知活動的展開，適應(yīng)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的需要。

以史實(shí)為鑒，兼顧教育性。融合課程的數(shù)學(xué)史要注重“數(shù)學(xué)功能”和“教育功能”的雙重性，數(shù)學(xué)史的教育功能體現(xiàn)在不同的方面，要根據(jù)不同教學(xué)情境中的具體內(nèi)容，選擇合適的方式有目的的突出數(shù)學(xué)史某一個方面的價(jià)值，既不能無來由的夸張數(shù)學(xué)史的價(jià)值，更不能無畏的貶低數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值。最后，顯性納入教材或者隱性編入教材的數(shù)學(xué)史一定是真實(shí)的。

有的放矢，注重實(shí)效。課程設(shè)計(jì)過程中，要根據(jù)定義、法則、定理等內(nèi)容有針對性地選擇與之相聯(lián)系的數(shù)學(xué)史資料，然后對數(shù)學(xué)史一手資料進(jìn)行教育轉(zhuǎn)化，使之更好地與課程內(nèi)容相融合，更好地促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解與掌握。

靈活運(yùn)用，多樣呈現(xiàn)。引入教學(xué)的數(shù)學(xué)史，可以放在開頭引入，可以融入具體知識的教學(xué)過程中，或者作為教學(xué)結(jié)束時的延伸;另一方面可以作為思維方式的借鑒、數(shù)學(xué)方法的對比，也可以介紹數(shù)學(xué)家所處時代背景，還可以布置學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)史閱讀，然后寫數(shù)學(xué)日記、制作圖文并茂的小報(bào)，促進(jìn)學(xué)生更好地理解和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

三、教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史的策略

按照對教材中數(shù)學(xué)史挖掘的深度和使用的層次，滲透數(shù)學(xué)史的策略可以概括為以下幾種模式：補(bǔ)充模式、改編模式、拓展模式、創(chuàng)新模式，這些模式體現(xiàn)了由低到高的以教材中數(shù)學(xué)史為依托的滲透數(shù)學(xué)史的層次，這并不意味著他們之間存在優(yōu)劣之分。下面結(jié)合實(shí)踐探索的經(jīng)驗(yàn)，深入剖析這四種模式的內(nèi)涵以及實(shí)踐策略。

（一）補(bǔ)充模式

補(bǔ)充模式是指主要以教材中呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)史為依托，針對某個知識點(diǎn)對教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方式、學(xué)生學(xué)習(xí)方式進(jìn)行簡單的調(diào)整、修改、補(bǔ)充。

1.對于教材中顯性的數(shù)學(xué)史內(nèi)容，可以在內(nèi)容上進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶畛洌顾夭母S富、有趣。

2.對于按照數(shù)學(xué)史中概念產(chǎn)生發(fā)展過程設(shè)計(jì)的教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)該沿用教材中的設(shè)計(jì)理念，但可以進(jìn)行簡單的調(diào)整補(bǔ)充。例如：四年上《角的度量》，教材中呈現(xiàn)了量角器產(chǎn)生的過程，讓學(xué)生經(jīng)歷這個過程是非常有必要的，這樣的經(jīng)歷不僅鮮活生動，學(xué)生非常感興趣，而且能夠幫助學(xué)生更好地體會度量的必要性，更熟練地掌握量角器的使用方法。實(shí)際教學(xué)中完全可以依附教材的設(shè)計(jì)理念，即讓學(xué)生得到1°角、10°角，然后慢慢呈現(xiàn)量角器的簡圖。但是具體操作時，可以安排不同的操作活動，如在創(chuàng)造1 °角時，可以讓學(xué)生折一折、畫一畫等。給學(xué)生更充足的時間與空間，鼓勵他們大膽地實(shí)踐創(chuàng)造。其實(shí)，教材中很多關(guān)鍵性的知識點(diǎn)，都是依據(jù)知識產(chǎn)生的歷史過程精心設(shè)計(jì)、編寫的。例如網(wǎng)的周長、長方形的面積、米的認(rèn)識、比的意義等，作為教者應(yīng)該以教材的設(shè)計(jì)為依托進(jìn)行教學(xué)，當(dāng)然在教學(xué)方式或?qū)W習(xí)方式上進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整是可以的。

補(bǔ)充模式不需要教師有太多數(shù)學(xué)史方面的知識，更注重以教材為本，能夠有效地利用教材達(dá)到滲透數(shù)學(xué)史的目的，補(bǔ)充模式是滲透數(shù)學(xué)史的較易操作的基本的模式，只要教師有意識去做就能夠?qū)崿F(xiàn)。

（二）改編模式

改編模式是指針對教材中有代表性的、典型的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的教學(xué)規(guī)律和特征，依據(jù)其在數(shù)學(xué)史中的發(fā)展歷程，對教學(xué)內(nèi)容以及教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行適當(dāng)改編。例如：《認(rèn)識千》，這是小學(xué)數(shù)學(xué)第一學(xué)段的內(nèi)容。千的認(rèn)識是小學(xué)階段數(shù)的認(rèn)識的一次轉(zhuǎn)折，因?yàn)榍У恼J(rèn)識之后，就開始萬以上大數(shù)的認(rèn)識了?？紤]到這一學(xué)段的小學(xué)生可以進(jìn)行有關(guān)計(jì)數(shù)法規(guī)則的理解和學(xué)習(xí)，在認(rèn)識千的教學(xué)設(shè)計(jì)時，通過設(shè)計(jì)與十進(jìn)制計(jì)數(shù)法有關(guān)的內(nèi)容幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)史的知識是非常有必要的。根據(jù)這樣的思路，本節(jié)課可以設(shè)計(jì)以下六個環(huán)節(jié)：

第一個環(huán)節(jié)：數(shù)豆子，產(chǎn)生按群計(jì)數(shù)的需要。

在這個環(huán)節(jié)中，教師給學(xué)生充分的探索空間，讓學(xué)生數(shù)出1000粒豆子。開放性的問題需要學(xué)生動腦思考、動手實(shí)踐。孩子們出現(xiàn)了1個1個數(shù)，十個十個數(shù)，一杯一杯數(shù)（相當(dāng)于百為單位數(shù)）的情況。在數(shù)的過程中，幫助學(xué)生意識到按群計(jì)數(shù)的必要性。

第二個環(huán)節(jié)：借助直觀模型，理解十進(jìn)制產(chǎn)生的必要性。

在這個環(huán)節(jié)中，設(shè)計(jì)小動畫，借助方塊模型，幫助學(xué)生理解十進(jìn)制。展示動畫內(nèi)容：小正方體由一到十、由十到百、由百到千的過程。接下來，教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合演示說出小正方體的個數(shù)。最后梳理總結(jié)：一個一個地?cái)?shù)，10個一是1個十;一十一十地?cái)?shù)，10個十是百;一百一百地?cái)?shù)，10個百是千。一、十、百、千都是計(jì)數(shù)單位，當(dāng)數(shù)比較多的物體個數(shù)時，就可以用“千”作單位進(jìn)行計(jì)數(shù)。

在這里，教師利用直觀的計(jì)數(shù)單位模型建立計(jì)數(shù)單位的直觀表象，數(shù)形結(jié)合為后續(xù)的抽象活動奠定基礎(chǔ)。 第三個環(huán)節(jié)：發(fā)展數(shù)感，豐富對1000的直觀表象。

在這個環(huán)節(jié)中，教師依次呈現(xiàn)1000個物體的圖片。讓學(xué)生聯(lián)系生活現(xiàn)實(shí)，多角度想象觀察1000個不同事物，調(diào)動學(xué)生視覺感官，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感。

第四個環(huán)節(jié)：工具計(jì)數(shù)，經(jīng)歷位值制的演變過程。

這是本節(jié)課最讓人感動的地方，劉老師帶領(lǐng)孩子們重新感受了一把計(jì)數(shù)法誕生的過程，鮮活而深刻。教師結(jié)合數(shù)的發(fā)展史，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由“羊”到石子，由石子到珠子，由珠子到數(shù)位的產(chǎn)生和發(fā)展過程，將古人的計(jì)數(shù)方法和現(xiàn)代的計(jì)數(shù)方法有機(jī)融合，從兒童的視角幫助學(xué)生理解計(jì)數(shù)單位的來源和實(shí)際意義，產(chǎn)生對位值計(jì)數(shù)的需要，進(jìn)而理解位值制的意義與價(jià)值，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)體驗(yàn)，感受人類智慧的結(jié)晶。

第五個環(huán)節(jié)：應(yīng)用計(jì)數(shù)器，建構(gòu)“十進(jìn)制”計(jì)數(shù)法。

在這個環(huán)節(jié)中，學(xué)生用計(jì)數(shù)器進(jìn)一步確認(rèn)小正方體的個數(shù)，從而理解不同數(shù)位的計(jì)數(shù)單位不同，從更為直觀的角度幫助學(xué)生理解位值制，為符號計(jì)數(shù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。正方體個數(shù)的動態(tài)增加，從109到110，從999到1000，幫助學(xué)生理解滿10進(jìn)1的道理，進(jìn)一步理解十進(jìn)制計(jì)數(shù)法。

第六個環(huán)節(jié)：符號計(jì)數(shù)，形成對計(jì)數(shù)法的認(rèn)知飛躍。

在這個環(huán)節(jié)中，學(xué)生用計(jì)數(shù)器記錄小狗打靶的成績，在操作的過程中進(jìn)一步理解位值制;接著教師提出讓學(xué)生寫出這個數(shù)，理解不同數(shù)位的數(shù)所表示的意義不同，實(shí)現(xiàn)由工具計(jì)數(shù)到符號計(jì)數(shù)的飛躍，從而感受到數(shù)學(xué)表達(dá)的簡約美，以及數(shù)學(xué)表達(dá)的抽象與概括。這就是一節(jié)“做”數(shù)學(xué)史的典型課例，通過這樣的40分鐘，教師與學(xué)生一起經(jīng)歷了十進(jìn)制計(jì)數(shù)法產(chǎn)生的歷史過程，這樣的理解在學(xué)生整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中都是鮮活而深刻的。

改編模式與補(bǔ)充模式不同，需要教師有相關(guān)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)史知識，這樣才能夠進(jìn)行恰當(dāng)有效地改編。這樣的改編案例需要一線教師通過實(shí)踐探索不斷地積累，最后形成可以共享的資料。

（三）拓展模式

拓展模式是指為了彌補(bǔ)教材中關(guān)于數(shù)學(xué)史內(nèi)容的學(xué)習(xí)資源不足、為了拓寬學(xué)生的知識領(lǐng)域，選擇具有代表性、凸顯學(xué)科知識特點(diǎn)的數(shù)學(xué)史資源作為閱讀資料。例如：一些數(shù)學(xué)小故事、音像資料的引進(jìn)。

到哪里去找素材呢？

1.教師通過閱讀數(shù)學(xué)史資料，選擇其中有趣的簡單的內(nèi)容以小故事的形式呈現(xiàn)，使之成為學(xué)生可以閱覽的拓展讀物。例如數(shù)學(xué)知識方面的《印度·阿拉伯?dāng)?shù)字》《0的誕生》《不可能的數(shù)——負(fù)數(shù)》《被分割的數(shù)》《畫家中的數(shù)學(xué)家埃舍爾》《中國魔板——七巧板》《質(zhì)數(shù)傳奇》《兀的一生》《十個手指與十進(jìn)制》《0、1與internet》《百分?jǐn)?shù)趣談》《方程術(shù)》《神奇的比》《1，2，3與哆嘞咪》《莫比烏斯圈》等;還有人物方面的《英雄數(shù)學(xué)家阿基米德》《祖沖之與圓周率》《數(shù)學(xué)癡人歐拉》《“小”數(shù)學(xué)家高斯》《科學(xué)數(shù)學(xué)家笛卡爾》等。

2.還有一些現(xiàn)成的數(shù)學(xué)科普小故事也可以介紹給學(xué)生。例如李毓佩的《夢游零王國》《數(shù)學(xué)動物園》《數(shù)學(xué)司令》《數(shù)學(xué)西游記》等。

3.搜集一些影像資料。其實(shí)影像資料有很多，平常要細(xì)心搜集。通過電影去看數(shù)學(xué)史能以更加多彩的方式呈現(xiàn)歷史，比只是“講一講”說一說要形象得多，對學(xué)生情感上的熏染也更加深刻！

（四）創(chuàng)新模式

創(chuàng)新模式是指創(chuàng)造性的開發(fā)以滲透數(shù)學(xué)史為內(nèi)容的綜合實(shí)踐學(xué)習(xí)課程，使學(xué)生經(jīng)歷知識產(chǎn)生的歷程，拓寬學(xué)生的知識領(lǐng)域，為學(xué)生提供高品質(zhì)的學(xué)習(xí)課程。豐富的數(shù)學(xué)知識是不可能在教材中完全體現(xiàn)的，教材提供了彈性的空間與時間。因此，從課程論的角度可以根據(jù)數(shù)學(xué)史發(fā)生發(fā)展的階段，開發(fā)一些數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課。

例如：截止到四年級上冊《大數(shù)的認(rèn)識》，學(xué)生小學(xué)階段對于數(shù)的認(rèn)識就告一段落，那么在這單元結(jié)束后，就可以創(chuàng)編一節(jié)數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課《數(shù)的起源》。其中可以涵蓋阿拉伯?dāng)?shù)字1到9和0的發(fā)明，以及十進(jìn)制、位值制的發(fā)生發(fā)展歷程，甚至還可以包括一些數(shù)中的有趣現(xiàn)象。如：神奇的9、有趣的1089等。再如：截止到二年級下第五單元《測量——千米的認(rèn)識》小學(xué)階段對長度計(jì)量單位的認(rèn)識告一段落，因此在這里創(chuàng)編一節(jié)綜合實(shí)踐課《長度單位的起源》，是很有必要的。

創(chuàng)新模式下滲透數(shù)學(xué)史對教師數(shù)學(xué)史素養(yǎng)的要求就更高了，教師不僅需要對數(shù)學(xué)史有所掌握，而且要能夠深入淺出地設(shè)計(jì)成學(xué)生可以操作的實(shí)踐活動。

教學(xué)參考書上經(jīng)常有這樣的話：“讓學(xué)生經(jīng)歷由具體到抽象的過程”、“發(fā)展學(xué)生的符號感、應(yīng)用意識”、“突出數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，反映數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本過程，以及數(shù)學(xué)思想方法在處理問題中的地位和作用”、“使學(xué)生有機(jī)會領(lǐng)略數(shù)學(xué)的全貌”等等。其實(shí)都是在暗示：“看看數(shù)學(xué)史吧！”“研究研究數(shù)學(xué)史吧！”“領(lǐng)著孩子做做數(shù)學(xué)史吧！”

無論是補(bǔ)充、改編還是創(chuàng)新，一個共同之處就是對于數(shù)學(xué)中關(guān)鍵的知識點(diǎn)，能夠在教師的指導(dǎo)下讓學(xué)生去“做”這段歷史。正像荷蘭數(shù)學(xué)家弗勒登塔爾說的那句話：“沒有一種數(shù)學(xué)的思想，以它被發(fā)現(xiàn)時的那個樣子公開發(fā)表出來，一個問題被解決后，相應(yīng)地發(fā)展為形式化的技巧，結(jié)果把求解過程丟在一邊，使得火熱的發(fā)明變成冰冷的美麗?！币虼?，他提出，“小學(xué)生完全可以在教師的指導(dǎo)下，利用歷史相似性原理‘做數(shù)學(xué)史?！?/p>

[參考文獻(xiàn)]

[1]中國人民共和國教育部《全日制義務(wù)教育小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》[S].北京：中華人民共和國教育部，2001

[2]林永偉，葉立軍.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2004.

[3]張奠宙.關(guān)于數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)和教育形態(tài)——談“火熱的思考”與“冰冷的美麗”[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2002（ 02）

[4]鄭毓信.數(shù)學(xué)方法論[M].南寧：廣西教育出版社，1991.

[5]弗賴登塔爾.劉意竹，楊剛，譯.數(shù)學(xué)教育再探[M].上海：上海教育出版社，1995

[6]克萊因.古今數(shù)學(xué)思想（第一冊）[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1979.

[7]帕梅拉·利貝克.方未之，澤兒童怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)[M].北京：人民教育出版社，1987

[8]汪曉勤.HPM：數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育[M].北京：科學(xué)出版社，2017

[責(zé)任編輯：盛暑寒]

收稿日期：2019-08-30

作者簡介：張藝驁（ 2001-），男，吉林德惠人，長春師范大學(xué)，本科生。研究方向：數(shù)學(xué)教育。