李巖青

【摘要】“四點突破”理念指的是在課堂教學(xué)當中，需要教師重點突破興趣點、重點、難點以及目標達成點.通過從培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣入手，結(jié)合具體學(xué)情以及教學(xué)內(nèi)容，積極引導(dǎo)學(xué)生進行深入思考探究，從而利用學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力完成家教學(xué)目標.本文以“反比例函數(shù)的幾何意義”一課為例，結(jié)合筆者多年的教學(xué)經(jīng)驗，嘗試對“四點突破”理念在初中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合教學(xué)中的實際應(yīng)用進行簡要分析研究，希望能夠為廣大教師同仁提供更加廣闊的教學(xué)思路.

【關(guān)鍵詞】“四點突破”理念;初中數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合教學(xué);反比例函數(shù)的幾何意義

在“反比例函數(shù)的幾何意義”一課中，教師需要將幫助學(xué)生準確掌握反比例函數(shù)基本內(nèi)涵與幾何意義，以及其相應(yīng)等價形式作為教學(xué)目標.使得學(xué)生在準確繪制反比例函數(shù)圖像的基礎(chǔ)上，可以通過分析圖像掌握反比例函數(shù)的各項性質(zhì)，并嘗試運用數(shù)學(xué)建模的方式解決反比例函數(shù)問題[1].

一、“四點突破”設(shè)計

在“四點突破”理念下的“反比例函數(shù)的幾何意義”一課中，教師需要突破的興趣點在于通過引導(dǎo)學(xué)生從多方面對反比例函數(shù)y=kx（k≠0）進行思考探究，進而可以在舉一反三、融會貫通下提升對研究k的興趣.需要突破的重難點則在于要求學(xué)生可以在準確了解反比例函數(shù)y=kx（k≠0）中k幾何意義的基礎(chǔ)上，建立起相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，用以表明k與矩形面積之間的關(guān)系，從而有效解決數(shù)學(xué)問題.需要突破的目標達成點則在于通過帶領(lǐng)學(xué)生對矩形面積與k內(nèi)在關(guān)聯(lián)性的探討，使其可以靈活運用數(shù)形結(jié)合思想以及反比例函數(shù)的幾何意義分析、解決實際問題.

二、教學(xué)過程設(shè)計

（一）課前導(dǎo)入設(shè)計

在課前導(dǎo)入階段，教師可以通過利用多媒體向?qū)W生生動地展示出反比例函數(shù)的圖像，并要求學(xué)生對反比例函數(shù)的圖像進行認真觀察，嘗試總結(jié)出其包含的具體性質(zhì).在此基礎(chǔ)上，教師可以利用類比法引導(dǎo)學(xué)生將反比例函數(shù)與以往所學(xué)的正比例函數(shù)等其他函數(shù)進行對比，歸納出反比例函數(shù)同其他函數(shù)間的異同點，使其可以加深對反比例函數(shù)的理解與認知.

（二）構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

在實際教學(xué)的過程中，教師可以要求學(xué)生獨立完成雙曲線y=kx（k≠0）的繪制，并隨便在該雙曲線上取一點P（m，n），令其分別同x軸與y軸作垂線，標記垂足A與B.此時雙曲線將與x軸和y軸構(gòu)成一個矩形，在引導(dǎo)學(xué)生對矩形以及雙曲線進行認真觀察后，探索出求解矩形面積的方式.對于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對比較薄弱的學(xué)生，教師則可以將其與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對較好的學(xué)生編在一組，以小組合作探究的方式，使其可以從k的大小入手，觀察k同矩形面積間的關(guān)系.進而歸納出在k>0的情況下，矩形面積為OA與OB的乘積，即點P橫、縱坐標的乘積，而這一數(shù)值恰好為k值.此時教師可以引導(dǎo)學(xué)生對k<0的情況進行探究，在繪制出k<0時雙曲線y=kx（k≠0）的函數(shù)圖像后，按照上述方式選點，作垂線，并對k與矩形面積間的關(guān)系展開探究.使得學(xué)生可以在獨立進行繪圖和思考下，能夠了解到當k<0時，矩形面積為-m與n的乘積，即為-k.

（三）鞏固所學(xué)知識

為了幫助學(xué)生全面突破本課的重難點，鞏固所學(xué)知識內(nèi)容，教師可以利用多媒體向?qū)W生展示出如圖所示的函數(shù)圖像：

圖1

在圖1中，假設(shè)反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖像過A點，其與x軸和y軸分別作垂線后獲得垂足A與B，此時AB，BO，OC和AC共同構(gòu)成了一個矩形ABCD，假如該矩形的面積為4，試求k的值.通過對之前總結(jié)歸納得到的矩形面積與k的關(guān)系進行深入思考，當k>0時，k值與矩形面積完全相等，而當k<0時，矩形面積為-k.由此可知該題中k值為-4[2].當教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生基本已經(jīng)可以熟練掌握和使用這一關(guān)系解決問題時，可以嘗試適當增加題目難度，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)展開思考探究.此時可以為學(xué)生設(shè)置題目：在雙曲線y=kx（x>0）上任意取一點P（m，n），過點P與x軸和y軸分別作垂線以構(gòu)成一個矩形，若該矩形的面積為12，試求出這一雙曲線的解析式.在解決這一問題的過程中，教師首先需要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已知條件繪制出相應(yīng)的雙曲線圖像，并同時考慮k>0和k<0兩種情況，進行解析式的求解.

（四）檢測目標達成

為有效檢驗學(xué)生對反比例函數(shù)幾何意義相關(guān)知識的掌握程度，并幫助學(xué)生加強對數(shù)形結(jié)合思維的理解和運用，此時教師可以要求學(xué)生采用自主探究的方式，運用本課所學(xué)知識技能以數(shù)學(xué)建模的方式解決問題，從而對學(xué)生的具體學(xué)習(xí)情況進行有效檢驗，判斷教學(xué)目標是否已經(jīng)達成.例如圖2，

圖2

在反比例函數(shù)y=kx（x>0）上有一點A，過點A作AB垂直于x軸，垂足為B，連接AO后構(gòu)成一個三角形△AOB，已知該三角形的面積為2，試求k值.

在這一題中，學(xué)生需要根據(jù)已知條件，利用反比例函數(shù)k與矩形面積的關(guān)系求出k的含絕對值符號的一元一次方程，并在此基礎(chǔ)上求解出k值.即根據(jù)已知條件可知S△AOB=12|k|=2，則k=±4，而根據(jù)圖像可知反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)，因此，k的值為4.

三、結(jié)束語

將“四點突破”理念運用在初中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合教學(xué)中，教師需要結(jié)合學(xué)生的實際情況，層層遞進地對學(xué)生進行引導(dǎo)，使學(xué)生可以利用數(shù)學(xué)建模、繪制數(shù)學(xué)圖像的方式展開自主思考探究，從而在有效提高學(xué)生數(shù)學(xué)綜合運用能力的同時，使其可以靈活運用數(shù)形結(jié)合思想解決實際問題.

【參考文獻】

[1]張瑛，胡懿，邢焰，等.課堂教學(xué)“四點突破”教學(xué)理念的提出[J].黔南民族師范學(xué)院學(xué)報，2016（1）：74-77.

[2]程春鳳.做好數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].科技資訊，2018（1）：196，198.