鄭海山 呂子鵬

摘? 要：“三維設(shè)計”是從學(xué)生思維發(fā)展的路徑入手，運用師生行為的展示方式、知識的呈現(xiàn)梯度、知識與思想方法的歸納這三個外顯的設(shè)計，引導(dǎo)教師進行教材的解讀與演繹，促進不同學(xué)生不同思維層次的發(fā)展. 運用“三維設(shè)計”，教師便于把握教材的核心問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心思維.

關(guān)鍵詞：三維設(shè)計;數(shù)學(xué)思維;初中數(shù)學(xué)

羅增儒教授指出，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力. 鄭毓信教授指出，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的真正核心是通過數(shù)學(xué)教學(xué)幫助學(xué)生學(xué)會思維，并能逐步學(xué)會想得更清晰、更深入、更全面、更合理. 可見，可以通過培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 筆者通過“三維設(shè)計”的方法引導(dǎo)教師進行教材的解讀與演繹，較好地促進不同學(xué)生不同思維層次的發(fā)展. 本文所說的“三維設(shè)計”是指教師在進行教材的解讀與演繹中，充分運用師生行為的展示方式、知識的呈現(xiàn)梯度、知識與思想方法的歸納三個因素. 當(dāng)然，還有其他方面的考慮. 但“三維設(shè)計”是教材解讀與演繹的核心要素，運用這一方法，有利于教師把握教材的核心問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

一、案例呈現(xiàn)

案例素材源自浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級上冊“1.5 三角形全等的判定（3）”，其教學(xué)目標(biāo)是探索三角形全等的判定3，即會運用“SAS”判定兩個三角形全等.

1. 知識引入

（1）數(shù)學(xué)實驗室：圖1是兩塊破碎的紙片，拿哪一塊能還原三角形？所選的紙片保留著幾個完整的條件？ [圖1]

（2）把含有兩個角和這兩個角的公共邊的三角形畫下來（已知BC = 3 cm，∠B = 30°，∠C = 60°，試用量角器和刻度尺畫△ABC），與同桌比較所畫的三角形，你會發(fā)現(xiàn)什么？由此你能得出滿足怎樣條件的兩個三角形是全等三角形？

【設(shè)計意圖】從生活實際和作圖中凸顯三角形全等的三要素（兩角及這兩個角的夾邊），為后續(xù)得出三角形全等的判定3埋下伏筆.

2. 判定初形成

問題1：觀察圖2，你認(rèn)為下列哪些選項能得出△ABC ≌ △DEF？

（A）∠A = ∠D，AB = DE，∠B = ∠E

（B）∠A = ∠D，AC = DF，∠C = ∠F

（C）∠C = ∠F，BC = EF，∠B = ∠E

問題2：你能用文字描述出符合什么條件的兩個三角形是全等三角形嗎？

教師引導(dǎo)學(xué)生歸納全等三角形的判定3：有兩個角和這兩個角的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等. 簡寫為“角邊角”或“ASA”.

【設(shè)計意圖】從圖形語言的描述到文字語言的表達，體現(xiàn)從直觀到抽象的過程，讓學(xué)生充分感受文字語言表達的概括性、準(zhǔn)確性，學(xué)會用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)表達方式描述數(shù)學(xué)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達能力.

3. 典型學(xué)習(xí)

例1? 如圖3，已知∠CAE = ∠DAB，∠C = ∠1，AC = AE，求證：△ABC ≌ △ADE.

教學(xué)行為展示方式：提出問題—個體回答—師生再解—師生歸納.

變式1：若將圖3中的△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)任意角，∠CAE = ∠DAB，∠C = ∠1，AC = AE，求證：△ABC ≌ △ADE.

變式2：若將圖3中的△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)任意角，∠CAE = ∠DAB，∠C = ∠1，AC = AE，求證：△ABC ≌ △ADE.

對于變式1和變式2，教師先讓學(xué)生畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，如圖4和圖5所示，再進行教學(xué)行為.

問題3：對于例1及其兩道變式的解決，我們運用了哪些知識與方法？

鞏固練習(xí)：（1）如圖6，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求證：AC = AD.

（2）如圖7，已知點B，F(xiàn)，E，C在同一條直線上，AB∥CD，AB = CD，∠A = ∠D.求證：AE = DF.

問題4：從以上三道練習(xí)題的解決中，大家有哪些感悟？

【設(shè)計意圖】及時用符號語言鞏固全等三角形的判定3，通過一組變式和鞏固練習(xí)，不僅讓學(xué)生經(jīng)歷了圖形語言的形成過程，而且讓學(xué)生感受到了變化中的不變，總結(jié)歸納解題的一般思維路徑，多角度、多層次地鞏固判定3. 及時總結(jié)學(xué)習(xí)方法，落實“四基”，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的前提.

例2? 如圖9，已知點D，E分別在AC，AB上，∠B = ∠C，AB = AC. 求證：（1）AE = AD;（2）BM = CM.

教學(xué)行為展示方式：提出問題—個體回答—師生再解—師生歸納.

【設(shè)計意圖】設(shè)計圖形較為復(fù)雜的例題，有利于培養(yǎng)學(xué)生在復(fù)雜圖形中找到關(guān)鍵點的能力，直擊解題的本質(zhì)，從而能使學(xué)生熟練掌握全等三角形的判定，進而拓展學(xué)生思維的寬度和深度，為深度學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)思維的落地提供載體.

4. 小組合作，問題解決

例3? 如圖10，已知AB∥CD，AD∥CB，求證：AB = CD.

例4? 閱讀下面一段文字：泰勒斯是古希臘哲學(xué)家. 相傳，“兩個角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等”就是泰勒斯首先提出的. 泰勒斯利用這個判定三角形全等的依據(jù)求出了岸上一點到海中一艘船的距離.

如圖11，點A是觀察點，船P在點A的正前方，過點A作AP的垂線l，在垂線l上截取任意長AB，O是AB的中點. 觀測者從點B沿垂直于AB的BK方向走，直到點K、船P和點O在同一條直線上時停止，則BK的距離即為船到岸邊的距離. 試給出證明.

教學(xué)行為展示方式：提出問題—小組合作—小組匯報—師生再解—師生歸納.

【設(shè)計意圖】例3和例4都是對全等三角形判定的深層次運用，通過構(gòu)造和建構(gòu)三角形，讓學(xué)生理解全等三角形判定的運用方法及思維方式. 例題設(shè)計基于數(shù)學(xué)知識技能，又高于具體的數(shù)學(xué)知識技能，凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)與數(shù)學(xué)思想方法，幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中構(gòu)建整體性觀念，進而達到對全等三角形本質(zhì)上的理解. 同時，借助具體的情境，讓學(xué)生學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題的方法，這是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的有效載體之一.

二、案例解析

1. 師生行為的展示方式促進學(xué)生數(shù)學(xué)表達能力的提升

上述例題的教學(xué)行為展示方式的實質(zhì)是遵循以問題為主線，以個體或小組合作的形式為互動平臺，全過程、全方位提升學(xué)生獨立解決問題的能力，并擇機采取全員再解答的形式進行補償教學(xué)，師生及時對所學(xué)知識與方法進行歸納，提升思維的深度. 師生行為展示的目的是促進學(xué)生數(shù)學(xué)表達能力的提高. 數(shù)學(xué)表達能力作為一種重要的數(shù)學(xué)學(xué)科思維能力，其內(nèi)涵包括合理運用數(shù)學(xué)語言（文字語言、圖形語言和符號語言）表達、分析數(shù)學(xué)對象并解決數(shù)學(xué)問題，能在交流中闡明自身數(shù)學(xué)觀點或見解等.

該案例中的知識引入、判定初體驗等環(huán)節(jié)都是從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)和知識的最近生成區(qū)這兩個視角來設(shè)計問題，遵循思維由淺入深、由易到難、由形象到抽象，逐步逼近數(shù)學(xué)本質(zhì)的原則. 這樣的問題具有思考價值和明確的指向性，能夠啟發(fā)學(xué)生的思維活動. 葉瀾教授提出：人類的教育活動起源于交往，教育是人類一種特殊的交往活動. 本案例中，教師采取師生互動、小組合作和集體解答等形式展開教學(xué)活動，關(guān)注課堂對話，尤其是對學(xué)生數(shù)學(xué)表達能力和數(shù)學(xué)理解更為重視，較好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能.“師生再解—師生歸納”的過程是本案例中始終采取的方法，對于剛接觸幾何的初中學(xué)生而言，用符號語言描述解答過程具有一定的難度，前面的互動環(huán)節(jié)解決了學(xué)生邏輯思維上的困惑，而后者不僅能解決學(xué)生語言描述上的障礙，還能進一步幫助學(xué)生理清思路并將其內(nèi)化為自己的理解. 緊接著，教師與學(xué)生一起歸納題目中蘊涵的知識和思想方法. 這個環(huán)節(jié)更進一步促進了學(xué)生構(gòu)建知識的方法體系，使得學(xué)生更加深入地理解了數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)與核心.

2. 運用知識的呈現(xiàn)梯度培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力

教材知識體系呈現(xiàn)梯度發(fā)展，而一節(jié)課的知識呈現(xiàn)順序也有梯度，好的梯度設(shè)計有利于培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力. 上述案例中的教學(xué)思維正是教師對三角形全等判定3的內(nèi)涵與外延的考量，使得學(xué)生對于新接觸的知識，經(jīng)歷了從簡單到復(fù)雜、從直觀到抽象、從低階思維逐步到高階思維的發(fā)展過程.

（1）在簡單的三角形全等問題中落實低階思維.

該案例中，通過簡單的三角形全等問題及一系列變式型題組和開放型問題對三角形全等的判定3進行凸顯，不僅能夠揭示知識的本質(zhì)，還能拓寬學(xué)生的知識面. 例如，例1—變式—鞏固練習(xí)，無不指向知識的核心本質(zhì)，落實低階思維，提高基礎(chǔ)知識和基本技能達成率. 在設(shè)計時要考慮兩個三角形全等在“形”上的特征，從例1到變式題組的設(shè)計線索為“共角”的旋轉(zhuǎn)變換，鞏固型題組的設(shè)計線索是兩個三角形全等在“共邊”上的變化，并設(shè)計條件開放的題目，這些都能幫助學(xué)生從多角度、多方位理解知識的本源.

（2）在復(fù)雜三角形全等的問題中提升中階思維.

當(dāng)學(xué)生從簡單的圖形中認(rèn)識到知識的本源后，就要把知識的本源隱藏起來，讓條件弱化或是讓圖形更加復(fù)雜化，這些設(shè)計都能幫助學(xué)生更好地認(rèn)識事物外在與內(nèi)在的關(guān)聯(lián)，使之形成事物的閉環(huán)系統(tǒng). 如案例中的例2，明顯比例1在圖形上具有復(fù)雜性和干擾性，出現(xiàn)了多個三角形全等的可能性，且使全等具有一定的隱藏性，但是問題的核心仍然不變，考查的還是全等三角形的判定3的運用. 問題4具有一定的深度，隱藏著對學(xué)生幾何推理一般思維路徑的培養(yǎng)，有利于提高學(xué)生的中階思維能力，進一步落實核心知識.

（3）在構(gòu)造三角形全等的問題中培養(yǎng)高階思維.

當(dāng)中階思維得到提升時，教師要做的是如何使學(xué)生的思維向更高層次推演. 根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的實際，教師從兩個方面培養(yǎng)學(xué)生的高階思維：① 例3雖然圖形簡單，但三角形全等的“形”被隱藏了起來，學(xué)生需要通過添加輔助線，構(gòu)造出三角形來解決問題，能夠有效培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維;② 例4結(jié)合數(shù)學(xué)文化和實際問題，通過合理建模，構(gòu)造兩個三角形全等來解決實際問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的建模思維和問題解決能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

對于例4，可以進行如下改編.

閱讀下面一段文字：泰勒斯是古希臘哲學(xué)家. 相傳，“兩個角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等”就是泰勒斯首先提出的. 泰勒斯利用這個判定三角形全等的依據(jù)求出了岸上一點到海中一艘船的距離. 如圖12，點A是觀察點，船P在點A的正前方，試結(jié)合上述原理，設(shè)計能測量PA長度的合理方案，并證明.

這樣設(shè)計的較好地吻合了PISA試題理念，相比原設(shè)計，該改編保留知識背景，去掉具體操作，使得試題更具有真實情境性且更加開放. 學(xué)生需要運用知識搭建合理構(gòu)圖去解決問題，在這個過程中能夠有效培養(yǎng)學(xué)生理解知識、運用知識、反思評價的能力，更能發(fā)展學(xué)生積極合作的學(xué)習(xí)態(tài)度，從而培養(yǎng)學(xué)生終身學(xué)習(xí)的動機和能力.

3. 善用知識與思想方法的歸納成就學(xué)生建構(gòu)知識體系的方法

在教學(xué)實踐中，不可避免地要進行知識與思想方法的歸納，何時進行歸納？仁者見仁，智者見智. 一節(jié)緊湊的課中每個環(huán)節(jié)的設(shè)計都具有一定的教育意圖，體現(xiàn)了教師對學(xué)生和教材的理解與解讀. 教師應(yīng)該適時地進行歸納和升華，使之切合整節(jié)課的核心知識和思維能力的達成.

如上述案例中的每個環(huán)節(jié)中，教師都會與學(xué)生一起經(jīng)歷師生歸納.“例1—變式—鞏固”環(huán)節(jié)歸納如下：① 求證角相等的策略有公共角、角的和差關(guān)系、互補（余）角的關(guān)系、三角形的外角推論、平行線的性質(zhì)等;② 求證邊相等的策略有：公共邊、線段的和差關(guān)系. 例2環(huán)節(jié)歸納為：求證角相等的策略為全等三角形的對應(yīng)角相等. 例3環(huán)節(jié)歸納為：常用輔助線的添加方法，構(gòu)造三角形全等的方法. 通過上述的師生活動，逐步顯現(xiàn)在學(xué)生眼前的是一張完整的推理思維導(dǎo)圖（如圖13），結(jié)合學(xué)生的實踐和總結(jié)，教師有意識地滲透推理思維導(dǎo)圖，這些必將改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方法和思維方式，逐步使學(xué)生掌握建構(gòu)知識體系的方法，確保培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

長期的教學(xué)實踐經(jīng)驗表明，教師的備課思考與課堂教學(xué)若能在師生行為的展示方式、知識的呈現(xiàn)梯度、知識與思想方法的歸納等方面有所考慮，就一定能落實好“四基”，有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心思維.

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