季春龍 陳德前

摘? 要：2019年中考江蘇泰州卷第16題是由教材習題改編而成. 在核心知識交會處設(shè)計，詮釋了“題在書外，根在書內(nèi)”的命題原則，體現(xiàn)了中考命題的公平性. 通過構(gòu)造不同的幾何模型，可以得到多種解法，考查了學生的直觀想象、數(shù)學運算、邏輯推理、數(shù)學建模等數(shù)學學科核心素養(yǎng). 文章通過對該試題的研究，得到在教學中應提煉通性、通法，不斷提升學生探索能力的教學啟示.

關(guān)鍵詞：習題改編;特色解讀;教學啟示

一、試題呈現(xiàn)

題目 （2019年江蘇·泰州卷）如圖1，[⊙O]的半徑為5，點P在[⊙O]上，點A在[⊙O]內(nèi)，且[AP=3，] 過點A作AP的垂線交[⊙O]于點B，C. 設(shè)[PB=x，] [PC=y，] 則y與x的函數(shù)表達式為________ .

二、試題解讀

1. 素材——根在書內(nèi)，巧妙變式出新題

此題是2019年中考江蘇泰州卷第16題，是填空題的最后一題. 它取材于蘇科版《義務教育教科書·數(shù)學》（以下統(tǒng)稱“教材”）九年級下冊第6章“圖形的相似”習題6.4的第14題，在此稱為“源題”.

源題? 如圖2，[△ABC]是[⊙O]的內(nèi)接三角形，AD是[△ABC]的高，AE是[⊙O]的直徑. [△ABE]與[△ADC]相似嗎？為什么？

相對于源題中的圖形，題目中的圖形隱藏了一些線段，使得圖形的模型特征不明顯;改變了圖形中一些元素的屬性，將靜態(tài)問題變成了動態(tài)問題;給出了圖中有關(guān)線段的數(shù)量（有常量，有變量），將幾何與函數(shù)有機地進行結(jié)合;變換了命題的敘述方式，呈現(xiàn)給學生一道以圓為背景的函數(shù)填空題. 由此可見，這道中考試題充分發(fā)揮了教材習題的功能，減少了學生解題時的陌生感，體現(xiàn)了公平公正的命題原則，詮釋了“題在書外，根在書內(nèi)”的中考命題理念. 此題為中考試題回歸教材，取之教材，變式拓展、優(yōu)化組合教材中的例題和習題打開了一扇窗，為教師如何參與研發(fā)教材、拓展教材、挖掘教材中知識的“生長點”“綜合點”“延伸點”樹立了風向標，值得教師認真鉆研、仔細體會、自覺實踐.

2. 指向——凸顯核心，交會之處考素養(yǎng)

根據(jù)中考命題的要求，綜合題的設(shè)計必須突出數(shù)學本質(zhì)、緊扣核心知識，在核心知識的交會處設(shè)計試題，考查學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng).

此題題干簡約、內(nèi)涵豐富. 題目以圓為載體，重視對基本圖形的理解和線段關(guān)系的轉(zhuǎn)化，涉及圓、相似三角形、反比例函數(shù)、三角函數(shù)等知識，關(guān)注對數(shù)學基礎(chǔ)知識、基本技能、基本方法（如由三角形相似得到線段成比例的通性、通法等）和基本經(jīng)驗（如圓中常用輔助線的添加等）的考查，較好地突出了數(shù)學學科的本質(zhì).

此題立意新穎、融合自然. 它將動點隱含在其中，使得幾何與函數(shù)知識緊密融合在一起，既有別于圓中常見的計算推理問題，又有別于函數(shù)中用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式問題. 解題的關(guān)鍵是如何通過圓中線段的計算與推理將自變量與因變量有機關(guān)聯(lián)，這往往需要借助全等、相似、三角函數(shù)、添加輔助線等方式，進而有效地考查學生的直觀想象、數(shù)學運算、邏輯推理、數(shù)學模型等數(shù)學學科核心素養(yǎng).

此題凸顯思想、關(guān)注銜接. 解決此題涉及數(shù)形結(jié)合、方程、轉(zhuǎn)化、建模等數(shù)學思想. 題目中已知圓內(nèi)接三角形[PBC]的兩條邊（PB和PC）、第三條邊上的高（AP）和圓的半徑（直徑），要求兩條邊（PB和PC）之間的函數(shù)關(guān)系式，學生很容易聯(lián)想到如何去建立這四個量之間的關(guān)系，順利實現(xiàn)“形”與“數(shù)”的有效轉(zhuǎn)化. 而要建立這個關(guān)系，容易聯(lián)想到相似三角形的基本模型，這樣需要添加的輔助線就應運而生. 學生根據(jù)幾何直觀得到不同的圖形背景，通過添加不同的輔助線來構(gòu)造、完善基本圖形，再利用基本圖形的性質(zhì)及相關(guān)的數(shù)學原理列出方程，適當變形即可解決問題. 在之后的高中學習中，常常有學生對利用三角形的外接圓來證明正弦定理感到困惑，這里添加輔助線的方法可以為高中學習打下堅實的基礎(chǔ).

3. 解法——思路多元，各顯神通構(gòu)模型

嚴士健在《面向21世紀的中國數(shù)學教育》一書中指出，數(shù)學建模是解決各種問題的一種數(shù)學的思考方法. 借助直觀想象感知圖形的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運動規(guī)律，建立起“數(shù)”與“形”的聯(lián)系，構(gòu)建出基本圖形是解決幾何問題的基本方法，是學生必備的數(shù)學素養(yǎng). 由于學生思考角度的不同，構(gòu)造的基本圖形也不盡相同，進而可以得到不同的解法. 此題多種解題思路的探索都是立足于常見的基本圖形（直徑所對的圓周角是直角、同弧所對的圓周角相等、相似三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)等），尋找與構(gòu)造基本圖形自始至終是思維的主旋律，這使得解題思路豁然開朗，多種解法自然生成. 現(xiàn)對一些主要解法加以介紹.

思路1：添加直徑，構(gòu)造相似三角形.

題目中有[PA⊥BC]的條件，則必有直角三角形，要構(gòu)造相似三角形，結(jié)合半徑這個已知條件，自然聯(lián)想到“直徑所對的圓周角是直角”這個基本性質(zhì)，添加直徑為輔助線的想法油然而生. 由于過三角形的三個頂點均可作出直徑，因此就產(chǎn)生了不同的解法.

分析：通過作直徑，證明兩個直角三角形相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例，得出y與x的函數(shù)表達式.

解：如圖3，連接PO并延長交[⊙O]于點N，連接BN.

因為PN為[⊙O]的直徑，

類似地，有如下幾種添加輔助線的作法.

如圖4，連接PO并延長交[⊙O]于點N，連接CN，證明[△PBA∽△PNC.]

如圖5，連接BO并延長交[⊙O]于點N，連接PN，證明[△PBN∽△APC.]

如圖6，連接CO并延長交[⊙O]于點N，連接PN，證明[△PAB∽△CPN.]

思路2：添加半徑，構(gòu)造相似三角形.

題目中有[PA⊥BC]的條件，則必有直角三角形，要構(gòu)造相似三角形，由已知易聯(lián)想到由半徑、弦心距和弦的一半組成的直角三角形. 因此，想到添加半徑，過圓心作弦心距. 由于過三角形的三個頂點都可以作半徑，因此，也可以得到不同的解法.

分析：通過作半徑，證明兩個直角三角形相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例，得出y與x的函數(shù)表達式.

解：如圖7，連接PO，OC，過點O作[ON⊥PC]于點N.

類似地，有如下幾種添加輔助線的作法.

如圖8，連接PO，過點O作[ON⊥PB]于點N，證明[△PON∽△PCA.]

如圖9，連接CO，過點O作[ON⊥PC]于點N，證明[△CON∽△PBA.]

如圖10，連接BO，過點O作[ON⊥PB]于點N，證明[△BON∽△PCA.]

思路3：利用直角，構(gòu)造銳角三角函數(shù).

分析：在思路1的圖3中，研究的四個量分別在兩個直角三角形中，且已知“在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等”的基本性質(zhì). 因此，可用銳角三角函數(shù)模型來解決.

解：如圖11，連接PO并延長交[⊙O]于點N，連接BN.

同樣，在圖4 ～ 圖10中，都可以用思路3的方法來進行求解. 此外，還可以用面積法來進行求解.

三、教學啟示

1. 發(fā)揮教材習題的作用，提煉掌握通性、通法

教材中的例題和習題都是經(jīng)過教材編寫者精心選擇的，具有典型性和代表性，不僅反映了相關(guān)知識的本質(zhì)屬性，而且蘊含著重要的基本方法，對培養(yǎng)學生的能力，使其形成數(shù)學學科核心素養(yǎng)有著極為重要的作用. 因此，教師應站在方法論的高度去認識教材中的例題和習題，充分挖掘、提煉其中蘊含的基本方法，并在教學中引導學生進行廣泛應用，進而形成解決數(shù)學問題的通性、通法，真正地做到題盡其能、題盡其用. 例如，前述源題，由[△ABE∽△ADC，] 易得[AB ? AC=AD ? AE，] 即三角形兩條邊的積等于第三條邊上的高與外接圓直徑的積. 反過來，如果給出[AB ? AC=AD ? AE]的結(jié)論，如何證明[△ABE∽△ADC]呢？其一般方法是先將等積式轉(zhuǎn)化為比例式（即轉(zhuǎn)化為[ABAD=AEAC]），再根據(jù)比例式確定相似三角形，然后尋找兩個三角形相似的條件. 而確定兩個三角形相似的通用方法是“三點定形法”，即可以橫向定形（圖2中的[△ABE]和[△ADC]），也可以縱向定形（圖2中的[△ABD]和[△AEC]）. 題目解答的思路1就是按照這種方法來確定相似三角形，進而得到不同的解法.

在證明線段乘積式時常用到等量代換，在研究教材中源題的解法時，可以引導學生利用同圓的直徑相等進行等量代換，尋找解題途徑;也可以由直徑與半徑的關(guān)系、垂徑定理的結(jié)論聯(lián)想到將有關(guān)線段折半，等量代換后構(gòu)造新的相似三角形. 題目解答的思路2正是利用這種等量代換而得到多種解法的.

由于銳角三角函數(shù)是在相似三角形基礎(chǔ)上研究的，因此當乘積式中的四條線段分別是兩個直角三角形中的對應邊，且兩個直角三角形中有相等的銳角時，可利用銳角三角函數(shù)巧妙得到線段比例式，進而得到一種創(chuàng)新解法，題目解答的思路3便是這樣產(chǎn)生的. 當學生在探索教材中習題解法的基礎(chǔ)上，提煉并掌握了這些通性、通法，那么在面對新問題時，就會手中有法、心中不慌、多中選優(yōu)、能力增強. 通過一題多解，能夠使得學生的知識體系更加系統(tǒng)化，思維的發(fā)散性和靈活性大幅度提高，從而不斷發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng).

2. 研究教材習題變式拓展，不斷提升探索能力

許多中考試題都是命題者通過對教材習題進行變式、綜合、拓展而成的，源于教材、活于教材、又高于教材，在思想方法上具有類比遷移和拓展探究性. 這就啟發(fā)教師在日常教學中要發(fā)揮教學智慧，創(chuàng)造性地使用教材，引導學生深度研究教材習題，重視對教材習題進行改編、演變、組合、拓展等“再創(chuàng)造”，使學生在習題變式拓展中感受由特殊到一般、由靜態(tài)到動態(tài)、由簡單到復雜的變化過程，從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探索“變”的規(guī)律，潛移默化地學會發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題. 通過這種數(shù)學活動經(jīng)驗的積累，用以指導今后的學習與探究活動，從而有效提高學生的學習效率和探究能力，發(fā)展學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng). 例如，教師引導學生對教材中源題進行變式拓展，可以得到以下幾種不同的幾何問題.

分析1：從前文的分析可知，只要保持[∠ABE]與[∠ADC]的相等關(guān)系不變，仍有[AB ? AC=AD ? AE]的結(jié)論.

變式1：如圖12，[△ABC]內(nèi)接于[⊙O，] 點D在BC上，點E在[BC]上，且[∠ABE=∠ADC.] 求證：[AB ? AC=][AD ? AE.]

分析2：若點D在BC（或CB）的延長線上，點E在[AB]（或[AC]）上，結(jié)論[AB ? AC=AD ? AE]仍成立.

變式2：如圖13，[△ABC]內(nèi)接于[⊙O]，點D在BC的延長線上，點E在[AB]上，且[∠ABE=∠ADC.] 求證：[AB ? AC=AD ? AE.]

分析3：若AD與AE重合，點A，E在點D的同側(cè)時，則有變式3;點A，E在點D的異側(cè)時，則有變式4.

變式3：如圖14，[△ABC]內(nèi)接于[⊙O，] [∠BAC]的外角平分線交BC的延長線于點D，DA的延長線交[⊙O]于點E. 求證：[AB ? AC=AD ? AE.]

變式4：如圖15，[△ABC]內(nèi)接于[⊙O]，[∠BAC]的平分線與BC交于點D，與[⊙O]交于點E. 求證：[AB ? AC=AD ? AE.]

分析4：在圖15中，考慮到[AB ? AC=AD ? AE=AD ?][AD+DE=AD2+AD ? DE=AD2+BD ? DC，] 由連等式首尾兩式知，所涉及的線段都是[△ABC]中的線段，故可以去掉圓的“外衣”，則有變式5.

變式5：如圖16，在[△ABC]中，AD是角平分線. 求證：[AB ? AC-BD ? CD=AD2.]

分析5：在圖15中，由[△ABE∽△ADC∽△BDE，]易得[BE2=ED ? EA.] 由變式4容易得[AB ? AC+BE2=][AD ? EA+DE ? EA=AE2，] 則有變式6.

變式6：如圖17，在圓內(nèi)接四邊形ABEC中，有[BE=CE.] 求證：[AE2=AB ? AC+BE2.]

分析6：在圖17中，易知AE經(jīng)過[△ABC]的內(nèi)心，再結(jié)合[BE=CE，] 則有變式7.

變式7：如圖18，[△ABC]內(nèi)接于[⊙O]，點I為[△ABC]的內(nèi)心，[∠A]的平分線與[⊙O]交于點E. 求證：[EI=BE=EC.]

分析7：考慮變式7的逆命題，則有變式8.

變式8：如圖18，[△ABC]內(nèi)接于[⊙O，] AD平分[∠A，] 且交BC于點D，交[⊙O]于點E，點I是AE上的一點，[EB=EI.] 求證：點I為[△ABC]的內(nèi)心.

分析8：在變式7中，易證[△ABE∽△BDE，] 易得[EI2=EB2=ED ? EA，] 則有變式9.

變式9：如圖18，點I是[△ABC]的內(nèi)心，AI的延長線交BC于點D，交[△ABC]的外接圓于點E. 求證：IE是AE和DE的比例中項.

分析9：若對教材中源題的角賦予特殊值，則有變式10，即 2019年中考安徽卷第13題.

變式10：如圖19，[△ABC]內(nèi)接于[⊙O，] [∠CAB=30°，][∠CBA=45°，CD⊥AB]于點D. 若[⊙O]的半徑為2，則CD的長為________ .

3. 積累常用基本模型，靈活運用引領(lǐng)思維

數(shù)學建模是數(shù)學學科核心素養(yǎng)之一，實際上，數(shù)學教學就是教給學生前人構(gòu)建的一個個數(shù)學模型，使學生逐步養(yǎng)成用數(shù)學模型思維的過程. 一個模型或一句話，簡單明了、平實無奇，但就是這樣的一個常規(guī)語境，卻能把學生的思維引向深處. 學生只要熟悉模型，就很容易找到解題思路. 回顧上述各種解法，我們發(fā)現(xiàn)用到了圓的基本性質(zhì)（圓心角定理、圓周角定理、垂徑定理等）、相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等. 再來觀察圖形，我們可以把源題的圖形分解成如圖20所示的基本模型（基本概念或基本定理所對應的圖形）.

圖20（1）反映了圓中直徑的有關(guān)性質(zhì);圖20（2）反映了同弧所對的圓周角相等;圖20（3）反映了圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半;圖20（4）反映了三角形的高的有關(guān)性;圖20（5）反映了兩個相似的直角三角形;圖20（6）反映了有公共邊的兩個相似三角形. 學生掌握了這些基本模型及其性質(zhì)，就可以很快地找到解決問題的途徑. 解決幾何綜合題，就是將復雜的圖形分解為基本模型或構(gòu)造出基本模型. 學生只要掌握一些常用重要的基本模型及其性質(zhì)，并以它們?yōu)榛A(chǔ)，將其運用到綜合題中去，問題也就迎刃而解了. 因此，在日常的教學中，教師首先要有模型意識，要知道什么是數(shù)學基本模型，初中學段中有哪些常見的數(shù)學基本模型，這些基本模型一般在哪些領(lǐng)域中應用. 在此基礎(chǔ)上，結(jié)合有關(guān)知識的教學，引導學生從中提煉出常用的基本模型，并通過典型問題幫助學生學會靈活運用基本模型來分析問題、解決問題，提出新問題，探究新結(jié)論，逐步提高學生由模型聯(lián)想問題和由問題聯(lián)想模型的雙向聯(lián)想能力. 這樣，學生的數(shù)學思維能力就會不斷引向深入，數(shù)學學科核心素養(yǎng)就會不斷得到提升.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]陳德前. 一道江蘇省泰州市中考試題賞析[J]. 中國數(shù)學教育（初中版），2015（9）：57-60.

[3]季春龍，陳德前.“折”出新精彩 “展”出新天地：對一道中考數(shù)學實驗試題的賞析[J]. 中國數(shù)學教育（初中版），2019（10）：30-33，42.

收稿日期：2020-09-08

基金項目：江蘇省教育科學“十三五”規(guī)劃課題——蘇科版初中數(shù)學教材小結(jié)與思考的設(shè)計價值與使用策略研究（D/2020/02/232）;

江蘇省教育科學“十三五”規(guī)劃課題——指向深度學習的初中數(shù)學校本作業(yè)實踐研究（D/2020/02/240）.

作者簡介：季春龍（1966— ），男，中學高級教師，主要從事中學數(shù)學教育教學及中考命題研究.