徐蘭

[摘? 要] 由一道期中試題引發(fā)的關(guān)于數(shù)學(xué)文化在高中數(shù)學(xué)課堂中滲透的教學(xué)思考，文章從情境引入數(shù)學(xué)文化、課堂小結(jié)展示數(shù)學(xué)文化、習(xí)題講評(píng)擴(kuò)充數(shù)學(xué)文化三個(gè)方面進(jìn)行了闡述. 作為一線數(shù)學(xué)教師更要提高自身的數(shù)學(xué)文化修養(yǎng)，提升專業(yè)素質(zhì)，打造高效課堂.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)文化;數(shù)學(xué)思維;滲透方式

2020—2021學(xué)年溧陽(yáng)市高二數(shù)學(xué)階段性測(cè)試中出了這樣一道題：

數(shù)學(xué)中，斐波那契數(shù)列看似平凡無(wú)奇，卻對(duì)圖案和圖形“滋養(yǎng)”甚豐，且與大自然關(guān)系奇妙. 斐波那契數(shù)列{a}滿足a=a=1，a=a+a（n∈N*）. 圖1是由邊長(zhǎng)為斐波那契數(shù)列生成的“斐波那契數(shù)列矩形”，由此生成的矩形邊長(zhǎng)之比越來(lái)越接近于（? ）

A. B.

C. 1.5 D.

辦公室數(shù)學(xué)教師做完這道題后，明顯形成了兩個(gè)截然不同的立場(chǎng)，有一方認(rèn)為本題的難度太大，二階線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)不是教材的主干知識(shí)，所以不作要求;另一方則認(rèn)為本題是一個(gè)好題，因?yàn)槭且坏肋x擇題，所示選出正確答案不一定需要用到數(shù)列的遞推關(guān)系，可以根據(jù)對(duì)題意的理解，多列舉斐波那契數(shù)列幾項(xiàng)，然后用排除法求解.

我們先來(lái)看一下推導(dǎo)數(shù)列通項(xiàng)的求解過(guò)程：因?yàn)閍=a+a，構(gòu)造a+λa=μ（a+λa），所以μ-λ=1，

λμ=1，解得

λ

=，

μ

=，

λ

=，

μ

=，代入上式可得

a

-

a=

n+1，

a

-

a=

n+1，消去a，得a=

-

. 所以a=·

-

，將n=1，2代入驗(yàn)證符合. 根據(jù)圖形得知，矩形的長(zhǎng)與寬之比為=，當(dāng)n→+∞時(shí)，

n→0，

n+1 →0，所以→.

另一種解法是多列舉出斐波那契數(shù)列幾項(xiàng)：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89， 144，…. 通過(guò)計(jì)算會(huì)發(fā)現(xiàn)每一個(gè)數(shù)與前一個(gè)數(shù)的比約等于1.618，而A選項(xiàng)、B選項(xiàng)、C選項(xiàng)的數(shù)值都小于或等于1.5，只有D選項(xiàng)大于1.5，所以用排除法選出D選項(xiàng).

從上面的解法分析中，我們可以看到出題者的本意肯定不是用推導(dǎo)數(shù)列通項(xiàng)的方法來(lái)求解本題，而是考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)文化的認(rèn)知程度.筆者是這樣認(rèn)為的，斐波那契數(shù)列滿足a=1，a=1，an+2=an+1+a，當(dāng)n→+∞時(shí)，的極限值為λ=，只要學(xué)生了解了這點(diǎn)數(shù)學(xué)文化，那么這個(gè)題目立刻就可以選出D選項(xiàng). 筆者本校的兩個(gè)文科班都是16人選對(duì)了選項(xiàng)，其中絕大部分學(xué)生是用第二種方法（排除法）求解的，并非直接根據(jù)認(rèn)知進(jìn)行的判斷，可見(jiàn)真正知道斐波那契數(shù)列的黃金分割比的學(xué)生少之又少. 那么，是學(xué)生缺少接觸這些數(shù)學(xué)文化的機(jī)會(huì)嗎？初中、高中都有的一些包含斐波那契數(shù)列的相關(guān)習(xí)題，為什么學(xué)生在考場(chǎng)中一點(diǎn)認(rèn)知反應(yīng)都沒(méi)有？筆者認(rèn)為，這是因?yàn)榻處熢谔幚磉@些題目時(shí)僅僅停留在了解題上，而錯(cuò)過(guò)了向?qū)W生滲透相關(guān)數(shù)學(xué)文化的時(shí)機(jī)，所以這道題狠狠地給了我們教師一個(gè)教訓(xùn).

[?] 數(shù)學(xué)文化的含義

數(shù)學(xué)除了知識(shí)與方法之外，還是一種文化的傳承.數(shù)學(xué)文化從廣義上講就是數(shù)學(xué)本身，從俠義上理解是指數(shù)學(xué)思想和方法、數(shù)學(xué)觀點(diǎn)、數(shù)學(xué)語(yǔ)言及其形成和發(fā)展的過(guò)程，還包括數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義，以及與數(shù)學(xué)有關(guān)的人文活動(dòng).這種文化的熏陶對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)起著不可估量的作用.

高考卷中總有以數(shù)學(xué)文化為背景的考題出現(xiàn)，這類考題本身用到的數(shù)學(xué)知識(shí)與方法較為簡(jiǎn)單，但是從文化背景中抽象出數(shù)學(xué)模型或者數(shù)學(xué)知識(shí)是一個(gè)難點(diǎn)，也是學(xué)生最畏懼的.原因還是平時(shí)的課堂中相應(yīng)的實(shí)踐太少，教師對(duì)數(shù)學(xué)文化的了解不夠深入、不夠全面，課堂上不能在恰當(dāng)?shù)那榫持袀鞑?shù)學(xué)文化.

[?] 數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)課堂中的滲透方式

1. 情境引入數(shù)學(xué)文化，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

案例1 “函數(shù)與方程”的情境引入.

在神圣羅馬帝國(guó)時(shí)期，國(guó)王腓特烈酷愛(ài)數(shù)學(xué)，經(jīng)常舉行宮廷數(shù)學(xué)競(jìng)賽.在一次競(jìng)賽中，有一道題是“求三次方程x3+2x2+10x=20的解”. 來(lái)自比薩的斐波那契成功判斷其只有一個(gè)解，且獲得了精確到小數(shù)點(diǎn)后六位的近似解（1.368808）.用方程求根的典故來(lái)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望：形如x3+2x2+10x=20，lnx+2x-3=0， 0.84x=0.5等這樣的方程該如何求解呢？用這樣的典故引出課題，學(xué)生一開(kāi)始都會(huì)感覺(jué)到很新奇，積極地思考用什么方法能解決這么復(fù)雜的方程，當(dāng)上完這節(jié)課后學(xué)生會(huì)獲得很大的成就感！

案例2 “橢圓的幾何性質(zhì)”的情境引入.

如圖2所示，地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的軌道大致是一個(gè)橢圓，太陽(yáng)的位置在橢圓軌道的焦點(diǎn)F處，地球的位置是動(dòng)點(diǎn)P，近日點(diǎn)是地球離太陽(yáng)最近之處，你能確定此時(shí)地球（點(diǎn)P）的位置嗎？學(xué)生感知此時(shí)地球在橢圓軌道的右頂點(diǎn)處，但是又說(shuō)不出道理，教師解惑釋疑——求PF的最小值，于是進(jìn)入課題，即用代數(shù)的方法來(lái)研究橢圓的幾何性質(zhì).

案例1中引入數(shù)學(xué)家的事跡不僅可以拓展學(xué)生的視野，也能夠讓學(xué)生對(duì)本節(jié)課所授知識(shí)充滿好奇心和征服欲望，活躍進(jìn)入課題的氣氛. 案例2中對(duì)近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)位置的確定，學(xué)生從猜想到證明，思維從“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”，需要建立直角坐標(biāo)系用點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)刻畫(huà)目標(biāo)函數(shù)，這樣用代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題就會(huì)深深地刻在學(xué)生的腦海里. 同時(shí)也加強(qiáng)了學(xué)科之間的聯(lián)系，讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)在科學(xué)界的重要地位. 高中數(shù)學(xué)的概念學(xué)習(xí)非常抽象，在新授課的情境中恰當(dāng)融入相關(guān)的數(shù)學(xué)文化，可以增加學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué).

2. 課堂小結(jié)時(shí)展示數(shù)學(xué)文化，延伸數(shù)學(xué)思維

案例3 “充分條件和必要條件”這節(jié)課結(jié)束時(shí)，插入閱讀題：我國(guó)戰(zhàn)國(guó)時(shí)期墨子及其弟子們所著《墨經(jīng)》有一段精辟描述：“有之則必然，無(wú)之則未必不然，是為大故;無(wú)之則不然，有之則未必然，是為小故.”根據(jù)今天所學(xué)的內(nèi)容，說(shuō)一說(shuō)“大故”“小故”的含義并談?wù)剬?duì)這段話的理解.

案例4 函數(shù)概念的第一課，教師在課堂的結(jié)尾可以花上幾分鐘的時(shí)間向?qū)W生普及函數(shù)的發(fā)展歷程：1673年前后笛卡爾在他的解析幾何中發(fā)現(xiàn)了一個(gè)變量對(duì)于另一個(gè)變量的依賴關(guān)系;1718年貝努利定義了函數(shù)概念：由任一變量x和常數(shù)的任一形式所構(gòu)成的量，叫作“x的函數(shù)”;歐拉于1748年也給出了函數(shù)的定義：一個(gè)變量的函數(shù)是由該變量和一些常數(shù)或常量以任何方式組成的解析式. 在這個(gè)定義中第一次提到了“解析式”. 這個(gè)時(shí)期是人們對(duì)函數(shù)概念的第一次抽象認(rèn)識(shí). 后來(lái)人們發(fā)現(xiàn)，不是所有的函數(shù)關(guān)系都能用解析式來(lái)表示，比如溫度與時(shí)刻的關(guān)系、人口總數(shù)與年份的關(guān)系就不能用解析式表示. 于是歐拉更正了對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)：函數(shù)是指兩個(gè)變量之間具有的依賴關(guān)系. 這是人們對(duì)函數(shù)概念的第二次抽象認(rèn)識(shí). 新的問(wèn)題又出現(xiàn)了，有的函數(shù)關(guān)系中兩個(gè)變量之間不具有依賴關(guān)系，如計(jì)程車的收費(fèi)問(wèn)題——起步價(jià)范圍內(nèi)收費(fèi)與路程沒(méi)有關(guān)系，引發(fā)了人們對(duì)函數(shù)概念的第三次抽象認(rèn)識(shí). 主要代表人物有狄利克雷，觀點(diǎn)是：函數(shù)就是兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系. 到了20世紀(jì)，隨著康托爾創(chuàng)立的集合論，函數(shù)迎來(lái)了人們對(duì)它的第四次抽象認(rèn)識(shí)——用集合的語(yǔ)言包裝了函數(shù)變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系. 這就是我們今天課堂上學(xué)習(xí)的函數(shù)概念.

案例3中的課堂以中國(guó)的古代文化結(jié)尾，讓學(xué)生談?wù)剬?duì)這段話的理解，由此加深了學(xué)生對(duì)充分性和必要性的理解. 解決數(shù)學(xué)問(wèn)題首先要理解表達(dá)問(wèn)題的文字，在此基礎(chǔ)上再用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)文字，所以平時(shí)的教學(xué)中教師要找機(jī)會(huì)在概念的理解或者辨析時(shí)滲透一些中國(guó)古代文化，在促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的過(guò)程中也能提高學(xué)生的語(yǔ)言理解能力，感受中國(guó)文化的源遠(yuǎn)流長(zhǎng). 案例4中提出的函數(shù)是高一學(xué)生覺(jué)得最抽象、最難理解的一個(gè)概念，而對(duì)函數(shù)數(shù)學(xué)史的介紹能夠讓學(xué)生獲得心理安慰——原來(lái)經(jīng)歷了這么長(zhǎng)的時(shí)間，經(jīng)過(guò)幾代偉大數(shù)學(xué)家艱辛的努力才有我們今天對(duì)函數(shù)的定義——可以增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的信心，也讓他們感受到歷史長(zhǎng)河中的任何一個(gè)數(shù)學(xué)家都是在曲折中不斷前進(jìn)的，有的甚至用了畢生精力還沒(méi)有完成一個(gè)猜想的證明. 這將鼓勵(lì)學(xué)生在挫折、錯(cuò)誤和失敗面前不必輕易否定自己，要鼓起勇氣迎難而上. 美國(guó)數(shù)學(xué)史家M·克萊因指出：“歷史上數(shù)學(xué)家遇到的困難，正是學(xué)生會(huì)遇到的學(xué)習(xí)障礙，因而數(shù)學(xué)史是教學(xué)的指南.”

3. 習(xí)題評(píng)講時(shí)擴(kuò)充數(shù)學(xué)文化，增加學(xué)生的知識(shí)，提升學(xué)生解決問(wèn)題的成就感

案例5 課本習(xí)題：已知點(diǎn)M到定點(diǎn)O（0，0），B（3，0）的距離之比為1∶2，求點(diǎn)M的軌跡方程，并畫(huà)出該曲線.

變式：如果比值變?yōu)?呢？變成1呢？變成λ呢？

我們知道：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之和為定值（大于兩定點(diǎn)的距離）的點(diǎn)的軌跡是橢圓;到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為定值（小于兩頂點(diǎn)的距離）的點(diǎn)的軌跡是雙曲線. 那么，在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之比為λ的點(diǎn)的軌跡是什么呢？案例5以課本習(xí)題為切入口，進(jìn)行從特殊到一般的探究、拓展、歸納、猜想，得出阿波羅尼斯圓的定義：平面上給定相異的兩點(diǎn)A，B，設(shè)點(diǎn)P與其在同一平面上且滿足=λ，當(dāng)λ>0且λ≠1時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓. 借此機(jī)會(huì)展示背景：阿波羅尼斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線論》. 之后很長(zhǎng)一段時(shí)間，后人對(duì)圓錐曲線的研究都沒(méi)有超越過(guò)這本書(shū).

數(shù)學(xué)文化的介紹可以滲透進(jìn)教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)，它在數(shù)學(xué)課程中的體現(xiàn)是多樣化和靈活的，像這樣利用課本中的一個(gè)習(xí)題來(lái)引出阿波羅尼斯圓，一方面可以培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理能力，另一方面展示了阿波羅尼斯圓的定義，并且順勢(shì)介紹了數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯，促進(jìn)學(xué)生對(duì)這一知識(shí)的掌握和理解，也增加了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

從以上案例可以看出，在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化有著重要的意義. 首先，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，優(yōu)化學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，促進(jìn)學(xué)生深度理解數(shù)學(xué);其次，古今中外的數(shù)學(xué)家在艱難的環(huán)境中研究科學(xué)的無(wú)私精神和崇高品質(zhì)是我們學(xué)習(xí)的榜樣，是我們敬佩的對(duì)象.這正是文化的遷移、文化的教育.

張奠宙先生提出“數(shù)學(xué)文化必須走進(jìn)數(shù)學(xué)課堂”，所以數(shù)學(xué)文化不能停留在一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)小故事中，數(shù)學(xué)文化更應(yīng)該以合理的形式和內(nèi)容延伸到課堂教學(xué)活動(dòng)中，通過(guò)數(shù)學(xué)文化的有效價(jià)值來(lái)提升課堂的品位，提高課堂的質(zhì)量，改變學(xué)生的數(shù)學(xué)觀，促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 數(shù)學(xué)文化以怎樣的方式進(jìn)入課堂，怎樣與課堂內(nèi)容進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，依舊是國(guó)內(nèi)學(xué)者研究的重要內(nèi)容之一. 作為一線數(shù)學(xué)教師，首先要充分開(kāi)發(fā)并利用教材中的數(shù)學(xué)文化資源;其次要深入研究平時(shí)的練習(xí)中遇到的數(shù)學(xué)文化，挖掘其教學(xué)價(jià)值;最后是多學(xué)習(xí)、多研究教學(xué)案例，教師之 間互相探討、互相吸取有益的思想養(yǎng)料，提升自身的專業(yè)素質(zhì)，打造更高水平的課堂.

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