周益秋

[摘? 要] 在新時代背景下，競爭越來越激烈，學(xué)生不僅要具備扎實(shí)的基礎(chǔ)知識，還要具備自主學(xué)習(xí)和終身學(xué)習(xí)的能力，那么，如何培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力呢？文章指出，在教學(xué)中要加強(qiáng)數(shù)學(xué)活動的積累，讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)、探究、總結(jié)、反思等學(xué)習(xí)活動中不斷成長和完善，從而形成學(xué)習(xí)能力.

[關(guān)鍵詞] 自主學(xué)習(xí);終身學(xué)習(xí);學(xué)習(xí)能力

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，部分教師往往重視知識的積累而忽視能力的提升，這就使得學(xué)生的解題能力和學(xué)習(xí)能力難以提升. 然而在新形勢下，無論考試還是未來步入社會都需要學(xué)生具備較強(qiáng)的學(xué)習(xí)能力，那么作為基礎(chǔ)學(xué)科的數(shù)學(xué)肩負(fù)著培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的重任，教師要為提升學(xué)習(xí)能力而教，學(xué)生要為提升學(xué)習(xí)能力而學(xué)，以此來推動學(xué)習(xí)能力的提升. 筆者就如何提升學(xué)習(xí)能力提出了幾點(diǎn)自己的看法，僅供參考.

在活動中發(fā)芽

學(xué)生常感覺數(shù)學(xué)課是乏味無趣的，無法讓其參與其中，究其原因大多是教師上課形式過于單一和保守，尤其在概念教學(xué)時更是重結(jié)論輕過程，無法激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，為改變這一現(xiàn)象，在教學(xué)時加入數(shù)學(xué)活動往往會收到意外的驚喜.

案例1? 無理數(shù)概念.

師：已知在△ABC中，AC=BC=1，∠C=90°，求斜邊AB的長.

生1：很簡單，根據(jù)勾股定理可知AB2=AC 2+BC 2，即AB 2=2，開根號取正得AB= .

師：很好！那么 是整數(shù)嗎？

生齊聲答：不是.

師：如果用數(shù)軸來表示，你認(rèn)為 在哪兩個連續(xù)整數(shù)之間呢？（問題一出學(xué)生很快就得到了答案）

生2： 應(yīng)該是在1和2之間的某個位置.

師：你是怎么判斷的呢？

生2：我是根據(jù)三角形三邊關(guān)系得出的結(jié)論.

師：很好！ 可能是在整數(shù)1和2間的分?jǐn)?shù)嗎？如 ， 等. （學(xué)生用平方法進(jìn)行驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)其也不是分?jǐn)?shù)）

師：根據(jù)有理數(shù)的概念來判斷，顯然 不是有理數(shù). 由1< <2，可知 是整數(shù)部分為1的小數(shù)，你能利用平方運(yùn)算繼續(xù)推理到十分位嗎？（學(xué)生進(jìn)一步推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)1.4< <1.5，按照這個思路又推理了百分位）

師：經(jīng)過推理你發(fā)現(xiàn) 是有限小數(shù)還是無限小數(shù)呢？是循環(huán)小數(shù)嗎？

在無理數(shù)概念教學(xué)時，教師將文字概念轉(zhuǎn)化成了若干問題，讓學(xué)生通過觀察、推理、驗(yàn)證來總結(jié)歸納概念. 通過問題引導(dǎo)，層層遞進(jìn)，帶領(lǐng)學(xué)生一起探索新數(shù)的特點(diǎn)，當(dāng)用原有概念無法包含新數(shù)時就需要進(jìn)行擴(kuò)充，充分展現(xiàn)了擴(kuò)充數(shù)的必要性.

在概念教學(xué)時，尤其對數(shù)的認(rèn)識，教師習(xí)慣于通過舉例的方式讓學(xué)生直接進(jìn)行概念的記憶，很少關(guān)注概念引入及概念的生成過程，致使學(xué)生對概念的理解僅停留于淺層的瞬時記憶，隨著時間的推移，概念增多，因缺乏對過程的挖掘，往往容易混淆. 在概念的教學(xué)中，教師可以設(shè)計(jì)一些有個性的問題，讓學(xué)生在推理和驗(yàn)證中去體驗(yàn)其生成過程，從而加深理解，將瞬時記憶轉(zhuǎn)變?yōu)橛谰糜洃?，相信通過不斷地積累和探索，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力一定會有所提高.

在解題中抽枝

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，因?qū)W生的思維方式不同，其解題思路往往有所差異，教師要多鼓勵、多引導(dǎo)，讓學(xué)生進(jìn)行多角度觀察，從而讓課堂百花齊放.

案例2? 如圖1，△ABC和△ADC都是直角三角形，其斜邊為AC，∠B=∠D=90°，∠CAD=30°，∠CAB=45°，AB=BC=4 cm.

（1）求AD，DC的長;

（2）若點(diǎn)M，N分別從A點(diǎn)和C點(diǎn)同時以1 cm的速度向D點(diǎn)和B點(diǎn)運(yùn)動，當(dāng)N點(diǎn)運(yùn)動到B點(diǎn)時，點(diǎn)M和點(diǎn)N同時停止運(yùn)動，連接MN，求當(dāng)點(diǎn)M和點(diǎn)N運(yùn)動了x秒時，點(diǎn)N到AD的距離.

題目解析：第（1）問根據(jù)勾股定理和三角函數(shù)公式容易得出答案，本題的難點(diǎn)是第（2）問，動點(diǎn)問題比較靈活，不同學(xué)生的解題思路往往可能不同，教師展示了學(xué)生的多種解法，通過不同的解法呈現(xiàn)不同的思維過程，以通過解法的多元化培養(yǎng)思維的靈活性和多樣性，促能力提升.

解法1 ：如圖2，過點(diǎn)N作NE⊥AD交AD于點(diǎn)E，作NF⊥DC交DC的延長線于點(diǎn)F，則NE=DF.

因?yàn)椤螦CD=60°，∠ACB=45°，所以∠NCF=75°，所以∠FNC=15°. 所以sin15°= ，又NC=x，所以FC= x，NE=DF= x+2 ，所以點(diǎn)N到AD的距離為 x+2 cm.

解法2：如圖3，過點(diǎn)N作NE⊥AD交AD于點(diǎn)E，作CH⊥NE交NE于點(diǎn)H. 其解題過程與解法1相同.

解法3：如圖4，過點(diǎn)N作NE⊥AD交AD于點(diǎn)E，延長NC，AD交于點(diǎn)G.

因?yàn)椤螩AD=30°，∠BAC=45°，所以∠BAG=75°，∠G=15°，所以sin15°= ，所以CG= ，所以NG= +x.

在Rt△NEG中，sin15°= ，所以NE= x+2 ，所以點(diǎn)N到AD的距離為 x+2 cm.

當(dāng)然，解本題還可以應(yīng)用其他方法，如圖4，還可以利用△NEG與△CDG相似，根據(jù)其相似比進(jìn)行求解. 通過一題多解不僅消除了學(xué)生在解決動點(diǎn)問題時產(chǎn)生的畏難情緒，也成功地調(diào)動了學(xué)生參與的積極性，課堂氣氛活躍. 相同的解題思路不同的輔助線;相同的圖形不同的思考方向，多角度觀察，多方位思考，通過展現(xiàn)學(xué)生的思維過程不僅發(fā)散了學(xué)生的思維，也拓寬了學(xué)生的視野，其有利于提升學(xué)生的解題能力.

在探索中成長

探究是自主學(xué)習(xí)、獨(dú)立思考的開始，通過探究可以更加深入地了解問題的本質(zhì)，進(jìn)而將知識轉(zhuǎn)化為能力，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)能力的提升.

案例3? 現(xiàn)有兩個邊長為a，面積為S的正n邊形，將兩個正n邊形進(jìn)行疊合，重疊部分的中心角為 ，那么此時兩多邊形重疊部分的邊長是多少，面積又是多少呢？

題目分析：此題沒有指明多邊形的邊數(shù)，也沒有給出圖形，其中心角概念也未明確，因此，若想理清問題的來龍去脈需要進(jìn)行探究，然而因不確定因素較多，學(xué)生感覺束手無策，探究的激情難以被激發(fā)，為此教師將題目進(jìn)行了改編，以提高學(xué)生參與的熱情.

如圖5，四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′是兩個大小相同的正四邊形，連接AC和BD交于點(diǎn)O，將四邊形A′B′C′D′的頂點(diǎn)D′與點(diǎn)O重合，若四邊形A′B′C′D′繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn).

（1）此時重疊部分的中心角為多少度？

（2）AE和BF，OE和OF，△AOE和△BOF是否存在什么關(guān)系呢？

（3）S四邊形OEBF 與S 有什么關(guān)系呢？

（4）BE+BF的長度是否可求呢？值會如何變化呢？

（5）重疊部分的面積是否可求呢？其值是否會隨著A′B′C′D′旋轉(zhuǎn)位置的變化而變化呢？

通過對題目的改編，將抽象的問題拆分成了若干思路清晰、符合學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的小問題，學(xué)生探究的熱情被激發(fā)出來了，通過探究可以發(fā)現(xiàn)重疊部分的中心角為90°，即 （n=4）;通過對下面問題的探究，學(xué)生得到了AE=BF，OE=OF，進(jìn)而推導(dǎo)出△AOE與△BOF全等，同時也發(fā)現(xiàn)了S四邊形OEBF 與S 的相等關(guān)系，因此可以得出重疊部分的面積為四邊形ABCD面積的四分之一，那么該結(jié)論是否也適合其他圖形呢？為了引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，教師繼續(xù)進(jìn)行引導(dǎo).

（6）如圖6，設(shè)點(diǎn)O是邊長為1的正方形的中心，現(xiàn)將一個圓心角為90°，半徑大于1的扇形繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，你會有什么發(fā)現(xiàn)呢？是否也可以得到上面的結(jié)論呢？

問題（6）給出后，教師讓學(xué)生進(jìn)行分組交流，因有上面問題的鋪墊，學(xué)生輕松地得出了與上面相同的結(jié)論.

（7）如圖7，設(shè)點(diǎn)O是邊長為a的正三角形ABC的中心，△ABC的面積為S，現(xiàn)將一個圓心角為120°，半徑大于a的扇形繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，你又有什么發(fā)現(xiàn)呢？

通過探究學(xué)生發(fā)現(xiàn)雖然形狀發(fā)生了變化，然而其重合部分的線段CE+CD依然為多邊形的邊長，即a，其面積為 . 接下來，教師又引導(dǎo)學(xué)生自己嘗試用其他多邊形繼續(xù)進(jìn)行探究，學(xué)生又驗(yàn)證了五邊形和六邊形并得出了相同的結(jié)論.

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生通過猜想經(jīng)歷了從特殊到一般的驗(yàn)證，從而得出了若圓心角為 時，則邊重合的長度為定值，即多邊形的邊長，其面積為 . 就這樣通過不斷地類比、假設(shè)、推理，讓學(xué)生在解決好最近發(fā)展區(qū)問題后，進(jìn)行對一般問題的探究，從而總結(jié)出了一般規(guī)律. 在探究實(shí)踐中需要教師的點(diǎn)撥與引導(dǎo)，也需要合作交流，更需要學(xué)生不畏艱難的精神，只有通過不斷嘗試、不斷思考、不斷總結(jié)才能勇攀高峰.

在反思中結(jié)“果”

任何探究結(jié)論的得出不僅需要探索，更需要總結(jié)和反思，只有經(jīng)過反思才能將成功的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行有效總結(jié)從而形成解題方法，只有經(jīng)過反思才能將錯誤再認(rèn)識，從而走出思維的誤區(qū)，實(shí)現(xiàn)新的突破.

例如，在案例3中，教師通過問題的改編引導(dǎo)學(xué)生探究，若不引導(dǎo)學(xué)生反思，學(xué)生很難發(fā)現(xiàn)教師改編的意圖，也就很難進(jìn)行下面對正三角形和正五邊形的探究，也就無法理解為什么將原來旋轉(zhuǎn)的正方形轉(zhuǎn)化為扇形，也就很難理解何為類比、何為轉(zhuǎn)化、何為特殊到一般. 因此，在教學(xué)中，要多給學(xué)生一點(diǎn)時間進(jìn)行自我反思和總結(jié)，鼓勵其進(jìn)行多角度、全方位的思考，進(jìn)而充分發(fā)揮反思的力量，實(shí)現(xiàn)知識的再構(gòu)造，使學(xué)生的認(rèn)知更加完善和系統(tǒng)，從而提升學(xué)生自主解決問題的能力.

總之，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力需要問題的引導(dǎo)，借助小坡度的問題引導(dǎo)學(xué)生多角度觀察、全方位思考，從而在問題的探究中形成良好的思維習(xí)慣和解題習(xí)慣.