王恒干

【摘 要】培養(yǎng)學(xué)生在真實(shí)的問(wèn)題情境下解決問(wèn)題的能力，是當(dāng)前重要的核心素養(yǎng)之一。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過(guò)圖形建模的方式引導(dǎo)、促進(jìn)與幫助學(xué)生進(jìn)行實(shí)際的問(wèn)題解決，是一個(gè)有效而又具有前瞻性的實(shí)踐策略。本文嘗試以二年級(jí)的“問(wèn)題解決”為例，探索在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何實(shí)施圖形建模的有效實(shí)踐，培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題解決意識(shí)與能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

【關(guān)鍵詞】圖形建模 問(wèn)題解決 數(shù)學(xué)思維

建模，就是建立模型，為了理解事物而對(duì)事物做出的一種抽象，是對(duì)事物的一種無(wú)歧義的書面描述。數(shù)學(xué)建模一詞見于CPA教學(xué)法，最早由美國(guó)心理學(xué)家于20世紀(jì)60年代提出，其符合兒童學(xué)習(xí)特點(diǎn)和規(guī)律，關(guān)注兒童的數(shù)學(xué)思考過(guò)程。圖形建模是數(shù)學(xué)建模的一類，其從具體實(shí)物或問(wèn)題情境出發(fā)，讓學(xué)生嘗試畫出對(duì)應(yīng)的圖形，通過(guò)圖形來(lái)刻畫數(shù)量關(guān)系，符合兒童的學(xué)習(xí)心理特征，有助于數(shù)學(xué)理解，能夠發(fā)展兒童的數(shù)學(xué)思維。問(wèn)題解決是我國(guó)義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的重要領(lǐng)域，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思想的基本路徑，能夠較好地鍛煉和培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問(wèn)題的能力。圖形建模是解決問(wèn)題的重要抓手，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的有效載體。本文試圖從實(shí)踐層面來(lái)探索研究小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中圖形建模的有效策略。

一、創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生嘗試“畫”

情境的創(chuàng)設(shè)，是有效開啟學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“敲門磚”，能夠充分激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。創(chuàng)造“不憤不啟，不悱不發(fā)”的認(rèn)知狀態(tài)與氛圍，能夠引發(fā)學(xué)生自主強(qiáng)烈的嘗試“畫”的內(nèi)在需求。引導(dǎo)學(xué)生嘗試“畫”，就是讓學(xué)生借助“圖形”來(lái)呈現(xiàn)自己對(duì)語(yǔ)言文字信息的認(rèn)知理解，尋求另一種方式來(lái)思考與表達(dá)。引導(dǎo)學(xué)生嘗試“畫”的過(guò)程，就是引發(fā)學(xué)生思維伸展的過(guò)程，也是建模的過(guò)程。

【片段1】

師：同學(xué)們，這學(xué)期學(xué)校為社團(tuán)活動(dòng)購(gòu)買了一些體育器材，我們一起來(lái)看一看。

出示：乒乓球的個(gè)數(shù)比足球多30個(gè)，籃球的個(gè)數(shù)比足球少10個(gè)。

（學(xué)生輕聲讀題）

師：這里究竟是哪種球多呢？你能弄清楚嗎？

生：三種球呢，有點(diǎn)難。

師：那么，你有什么好方法把這句話里的數(shù)學(xué)信息理一理嗎？

生：可以畫一畫，比一比。

師：好的，就請(qǐng)同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)單上畫一畫、比一比。

（學(xué)生嘗試畫圖，教師巡視，選擇作品展示交流）

史寧中先生說(shuō)：“我們把數(shù)學(xué)基本思想歸結(jié)為三個(gè)核心要素：抽象、推理、建模?！苯＃褪峭ㄟ^(guò)模型，用數(shù)學(xué)所創(chuàng)造的語(yǔ)言、符號(hào)和方法，描述現(xiàn)實(shí)世界中的故事，構(gòu)建起數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁，促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展。案例中，教師創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題情境，信息量大，關(guān)系復(fù)雜，對(duì)于二年級(jí)學(xué)生而言，其在認(rèn)知理解上有一定困難，不能較好地弄清楚數(shù)量間的邏輯關(guān)系。在這樣的“憤悱”狀態(tài)下，自然就能引發(fā)學(xué)生動(dòng)手畫畫比比的內(nèi)在需要，引導(dǎo)學(xué)生尋求新的方法路徑來(lái)表征語(yǔ)言文字信息，用圖形做抓手，來(lái)支撐學(xué)生的思維，嘗試建模。教師通過(guò)圖形建模來(lái)促發(fā)學(xué)生的深度理解與思考。

二、互動(dòng)交流，引導(dǎo)學(xué)生清楚“說(shuō)”

引導(dǎo)學(xué)生清楚“說(shuō)”，是學(xué)生思維的再次“生長(zhǎng)”，能夠有效彌補(bǔ)學(xué)生初次“圖形建?！钡牟煌晟浦?，也能夠厘清對(duì)問(wèn)題情境的完整理解。因此，教師在引導(dǎo)學(xué)生嘗試“畫”后，需要組織學(xué)生開展充分而深入的互動(dòng)交流。讓學(xué)生“講”出來(lái)，清楚地表達(dá)出“為什么這么畫”，就是讓學(xué)生思維可視化的過(guò)程。這個(gè)過(guò)程能夠展現(xiàn)出學(xué)生真實(shí)的思考狀況，同時(shí)，還能有效提升學(xué)生的自信心，對(duì)其人格發(fā)展有重要意義。

【片段2】

師：同學(xué)們，剛才我們用自己的方式描述了對(duì)這句話的理解。下面，我們請(qǐng)這位同學(xué)來(lái)說(shuō)一說(shuō)他的想法。

生1出示作品：

生1：我是這么想的，用這個(gè)長(zhǎng)方形表示足球的個(gè)數(shù)，那么乒乓球比足球多30個(gè)，畫出的長(zhǎng)方形則要大一點(diǎn)，大的部分就表示多的30個(gè)，而籃球比足球少10個(gè)，則畫出的長(zhǎng)方形要小一些，小的部分就表示少的10個(gè)。這樣，通過(guò)觀察三個(gè)長(zhǎng)方形，即可知道乒乓球最多，籃球最少。

師：你們聽明白了嗎？這名同學(xué)用方形圖表示了三種球的數(shù)量，通過(guò)比較長(zhǎng)方形的大小，得知哪種球數(shù)量最多，哪種球數(shù)量最少。對(duì)他的方法，你們有什么疑問(wèn)或建議嗎？

生2：我想問(wèn)你，你是如何表示“籃球比足球少10個(gè)”的？

生1：因?yàn)榛@球比足球少10個(gè)，所以表示籃球個(gè)數(shù)的長(zhǎng)方形要比足球的小一些，但要表示出少10個(gè)，因此把小的部分用虛線表示出來(lái)，你明白了嗎？

生2：知道了，謝謝你！

生3：我有個(gè)建議，為了便于觀察與比較，你可以把這三個(gè)圖形豎著排放。

師：你的意思是這樣嗎？（教師調(diào)整生1的作品）

課件出示：

生1：是的，三個(gè)長(zhǎng)方形上下排放，更容易地看出哪個(gè)大，哪個(gè)小。謝謝你！

師：真好！經(jīng)同學(xué)們這么一討論，方形圖不但表示出了三種球的數(shù)量，還能清楚地看出數(shù)量間的關(guān)系。看來(lái)，圖形作用就是大??！

互動(dòng)交流、同伴互助是新課改背景下學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式。案例中，教師組織了充分的反饋交流，給學(xué)生充裕的時(shí)間盡情地表露出自己的個(gè)性化理解。教師引導(dǎo)學(xué)生借助圖形來(lái)努力清楚地表達(dá)自己的思考，并且讓學(xué)生在同伴的互動(dòng)幫助下，進(jìn)一步優(yōu)化與完善對(duì)信息的認(rèn)知理解，這有效地培養(yǎng)了學(xué)生圖形思考的能力。用圖形來(lái)分析思考問(wèn)題、用圖形來(lái)提煉概括問(wèn)題、讓學(xué)生有條有理地清楚表達(dá)，不僅促發(fā)了學(xué)生的圖形建模，讓學(xué)生感受到了圖形建模的優(yōu)勢(shì)、特點(diǎn)，還有效地培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)推理的能力。

三、示范講評(píng)，引導(dǎo)學(xué)生完整“想”

學(xué)生通過(guò)嘗試“畫”，用圖形表達(dá)出了自己對(duì)語(yǔ)言文字的理解，并借助圖形努力把語(yǔ)言文字的內(nèi)在清楚地表達(dá)出來(lái)，這是學(xué)生思維的兩次“生長(zhǎng)”。但是，學(xué)生的圖形化認(rèn)知常會(huì)流于膚淺，所謂清楚的表達(dá)仍顯得缺乏條理，建構(gòu)的模型不夠完善。此時(shí)，需要教師的應(yīng)時(shí)而出，通過(guò)示范講評(píng)，有效引導(dǎo)學(xué)生完整地“想”，回顧圖形建模的思考過(guò)程，再次經(jīng)歷從具體情境的“具象”到圖形建模的“形象”。故而，教師的示范引導(dǎo)，則顯得十分的重要。

【片段3】

師：同學(xué)們，剛才我們一起欣賞了這名同學(xué)的作品，想不想看看老師的作品啊？

生：想！

師：從這句話知道，乒乓球、籃球的數(shù)量都是與足球比的，因此，我們可以把足球的個(gè)數(shù)看作標(biāo)準(zhǔn)量，用這樣一條線段來(lái)表示。那么，乒乓球、籃球的個(gè)數(shù)怎么表示呢？

課件出示：

生1：因?yàn)槠古仪虻膫€(gè)數(shù)比足球多30個(gè)，所以畫的線段要長(zhǎng)一些，長(zhǎng)的部分就表示多的30個(gè)。

師：你說(shuō)的意思是這樣吧。

課件出示：

生2：那么表示籃球個(gè)數(shù)的線段則要比足球短一點(diǎn)，因?yàn)榛@球比足球少10個(gè)。

師：是這樣嗎？

課件出示：

生3：這樣不行，看不出少的部分。我們可以把表示籃球個(gè)數(shù)的線段比足球短的部分用虛線表示，這樣就能清楚地看出少的10個(gè)。

教師出示：

師：真好！我們這么一商量，表示三種球的線段就畫出來(lái)了，還能表示出它們之間的數(shù)量關(guān)系。

課件出示：

師：同學(xué)們，現(xiàn)在請(qǐng)你們對(duì)照線段圖說(shuō)一說(shuō)，三種球的數(shù)量之間的關(guān)系，并想一想，這個(gè)線段圖和前面那名同學(xué)的方形圖有什么聯(lián)系與不同。

案例中教師帶領(lǐng)學(xué)生一起經(jīng)歷了線段圖的制作過(guò)程，體驗(yàn)了線段圖對(duì)于本問(wèn)題情境更為簡(jiǎn)潔的優(yōu)勢(shì)所在。同時(shí)，教師還非常有條理地示范解析了線段圖的表征特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生形成完整而又清晰的思維認(rèn)知。教師通過(guò)方形圖與線段圖兩種圖形表征的比較辨析，讓學(xué)生再次深入感受圖形建模的優(yōu)勢(shì)與價(jià)值，促進(jìn)學(xué)生高階思維的發(fā)展。

四、反思修正，引導(dǎo)學(xué)生優(yōu)化“解”

學(xué)生的思維是有深淺的，是需要不斷反復(fù)的，只有這樣才能促使學(xué)生形成相對(duì)完整而又清晰的問(wèn)題思維。因此，組織學(xué)生對(duì)自己的認(rèn)知理解進(jìn)行反思與修正，就顯得很有必要。學(xué)生的反思過(guò)程，也是再一次的問(wèn)題思考，更是對(duì)不同方式的表征與解釋的辨析。學(xué)生的修正過(guò)程，既是自我認(rèn)識(shí)與思維的提升，也是對(duì)問(wèn)題解決的重要趨近。

【片段4】

師：同學(xué)們，剛才我們用了不同的圖示方法，把一個(gè)很復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系清楚地表示出來(lái)了。你畫的圖，對(duì)嗎？有什么需要改正的，請(qǐng)?jiān)趯W(xué)習(xí)單上訂正。修改后，和你的同桌說(shuō)一說(shuō)。

（學(xué)生修正自己的作品）

師：好了，對(duì)于這句話，同學(xué)們都有了明確深刻的理解?，F(xiàn)在，我們把這道題補(bǔ)充完整。你會(huì)解答嗎？

課件出示：

（學(xué)生嘗試解題）

師：哪個(gè)同學(xué)愿意來(lái)分享下你的解答過(guò)程？

生1：我是這么解答這道題的，通過(guò)線段圖可以清楚地看出，乒乓球數(shù)量最多，籃球數(shù)量最少，但要求乒乓球個(gè)數(shù)比籃球多幾個(gè)，必須先求出它們各自的數(shù)量。第一步：求乒乓球的數(shù)量50+30=80（個(gè)）。第二步：求籃球的數(shù)量50-10=40（個(gè)）。第三步：求乒乓球比籃球多的數(shù)量80-40=40（個(gè)）。

師：哦，真不簡(jiǎn)單，我們才二年級(jí)，就能解決三步計(jì)算的問(wèn)題了。同學(xué)們，你們都是這么做的嗎？有不一樣的解法嗎？

生2：我有更簡(jiǎn)單的解法，借助線段圖能夠清晰地知道，乒乓球個(gè)數(shù)最多，籃球個(gè)數(shù)最少，而且還能從圖上直接找到乒乓球數(shù)量比籃球多的部分，也就是30+10=40（個(gè)）。請(qǐng)大家看圖。

生2出示作品：

師：?jiǎn)眩接?jì)算的問(wèn)題被你一步搞定了，真棒！同學(xué)們想一想，如果沒有線段圖，我們能一下子看出數(shù)量之間的關(guān)系嗎？

生3：不能。有了線段圖，我們才能直接比較數(shù)量的多少，尋求最直接的解答方法。像這道題，借助足球這個(gè)中間量，尋找乒乓球與籃球數(shù)量的直接關(guān)系，足球的個(gè)數(shù)就變成一個(gè)多余條件了。

師：同學(xué)們，看來(lái)線段圖不僅能幫助我們分析理解題意，還能指導(dǎo)我們找尋解決問(wèn)題的最佳路徑。有圖真好！

案例中，教師引導(dǎo)學(xué)生反思修正，充分發(fā)揮學(xué)生的主體能動(dòng)性，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解。這是一次非?？少F的思維升級(jí)。繼而，教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合新的信息，獨(dú)立解答問(wèn)題。教師通過(guò)學(xué)生多樣化的解答，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較辨析，讓學(xué)生進(jìn)一步感受圖形建模的價(jià)值意義。

問(wèn)題解決是抓手，解決問(wèn)題是能力，發(fā)展學(xué)生的思維是關(guān)鍵。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師借助圖形建模讓學(xué)生經(jīng)歷問(wèn)題思考的全過(guò)程，并能有效地解決問(wèn)題。教師引導(dǎo)學(xué)生積極地思考，合理地表征，清楚地表達(dá)，準(zhǔn)確地解答，這樣既能有效提升學(xué)生的問(wèn)題解決能力，還能充分激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，更能鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)高階思維能力。