高振嚴 韓嘉業(yè)

【摘?要】文章重構(gòu)式地運用數(shù)學史料，引導學生從實際情境中抽象出二面角的概念，并設(shè)置一系列探究活動，讓學生思考并討論二面角的平面角定義的合理性。在這一過程中，培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng)。數(shù)學史為該節(jié)課預(yù)測學生學情、設(shè)置探究問題、解釋定義合理性提供了素材和思路，同時也為學生樹立正確的數(shù)學觀提供了德育路徑。

【關(guān)鍵詞】二面角;二面角的平面角;數(shù)學史;教學實踐

【作者簡介】高振嚴，一級教師，寶山區(qū)教學能手，寶山區(qū)教育系統(tǒng)十佳青年，主要研究方向為數(shù)學史與數(shù)學教育;韓嘉業(yè)，高中數(shù)學教師，主要研究方向為數(shù)學史與數(shù)學教育。

【基金項目】上海高?！傲⒌聵淙恕比宋纳鐣茖W重點研究基地之數(shù)學教育教學研究基地研究項目——數(shù)學課程與教學中落實立德樹人根本任務(wù)的研究（A8）

一、引言

“二面角”是滬教版高中數(shù)學教材第14章“空間直線與平面”的第4節(jié)“空間平面與平面的位置關(guān)系”的第一節(jié)課，是繼空間內(nèi)異面直線所成的角、直線與平面所成的角之后的又一個空間角。教材在引入二面角的概念之后，直接構(gòu)造二面角的平面角，然后證明二面角的平面角的唯一性，即二面角的平面角的大小不隨頂點位置的變化而變化。遺憾的是，教材并沒有探討二面角的平面角定義的合理性，即為什么可以用二面角的平面角的大小來度量二面角的大小。

歷史上，法國數(shù)學家勒讓德（A.M.Legendre）曾經(jīng)論證過二面角的平面角定義的合理性，但勒讓德的論證對高中學生來說并不易理解?；谝陨显颍竟?jié)課從幫助學生構(gòu)建數(shù)學理解的角度，設(shè)計二面角的數(shù)學探究活動，以及用蛋糕塊模擬二面角的直觀模型，從定性和定量兩個方面讓學生理解二面角的平面角定義的合理性。本節(jié)課的重點是二面角和二面角的平面角概念，難點是二面角的平面角概念的形成過程。具體的教學目標如下。

（1）觀察現(xiàn)實生活的情境，抽象出二面角的概念，培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng)。

（2）探究二面角的平面角的定義，發(fā)展學生的邏輯推理素養(yǎng)。

（3）感悟數(shù)學概念所蘊含的理性精神。

二、數(shù)學史料及應(yīng)用

為了更好地幫助學生構(gòu)建對二面角概念的理解，并向?qū)W生解釋二面角的平面角定義的合理性，本節(jié)課需用到以下數(shù)學史料。

（一）二面角概念的形成

古希臘數(shù)學家歐幾里得在其《幾何原本》第11卷中給出面面傾角的定義：從兩個相交平面交線上的同一點，分別在兩平面內(nèi)各作交線的垂線，這兩條垂線所夾的銳角叫作該兩平面的傾角（或稱交角）[1]。歐幾里得并沒有提出二面角的概念，他考慮的僅僅是兩個平面之間的一種關(guān)系。這也是在課堂上的學生最容易出現(xiàn)的對二面角概念的錯誤理解。以史為鑒，教師應(yīng)向?qū)W生解釋，二面角與面面夾角之間是有區(qū)別的。

1829年，美國數(shù)學家沃克（T.Walker）在其《幾何基礎(chǔ)》中，提出了平面角（plane angle）的概念[2]。但沃克對二面角的認識還是模糊的，仍然聚焦于兩個平面夾角的度量。二面角及其棱和面的概念以及二面角的記號等都付之闕如。這一歷史素材表明，人們對二面角概念的認識是從具體到抽象的過程，所以在教學中也應(yīng)該遵循這一原則。

1859年，美國數(shù)學家格林利夫（B.Greenleaf）在其《幾何基礎(chǔ)》中指出，二面角是由兩個相交平面所形成的角，并給出示意圖（如圖1）。編者雖未指明“半平面”，但其示意圖顯示的是兩個半平面所形成的角[3]。書中提出了一些新的名稱，如二面角（dihedral angle）、二面角的面（face）、二面角的棱（edge），還給出了二面角的字母表示法。至此，二面角作為幾何圖形的概念登上了數(shù)學歷史舞臺。但可以預(yù)見的是，學生在學習二面角的概念時，可能會忽視定義中的“半平面”。

1922年，美國數(shù)學家賽克斯（M.Sykes）和康斯托克（C.E.Comstock）在他們合著的《立體幾何》中給出二面角的定義：“兩個具有公共邊界的半平面所形成的圖形稱為二面角?！盵4]21-31同時，書中給出面和棱的概念，以及二面角的命名方式，與現(xiàn)行教科書一致。

（二）二面角的平面角概念

關(guān)于二面角的測量，賽克斯和康斯托克在《立體幾何》中提出了“平面角”的概念：從兩個平面的交線上任取一點，過該點分別在兩個平面內(nèi)作交線的垂線，垂線形成的夾角稱為平面角。書中給出了以下兩個定理。[4]21-31

定理1：一個二面角的所有平面角都相等。

定理2：如果一個平面垂直于二面角的棱，它與兩個面的交線形成平面角。

另外，編者還設(shè)計了一個操作活動：通過剪切、折疊卡紙來制作一個二面角，并展示測量該二面角大小的過程（如圖2）。這一活動可以讓學生直觀地感受二面角的圖形概念，并啟發(fā)學生思考如何用符合直覺的、合理的方式來度量二面角的大小。

（三）二面角平面角合理性之定量研究

勒讓德在《幾何基礎(chǔ)》（1794年）中提出，為了說明二面角的平面角定義的合理性，需要證明若二面角以一定的比例增大或減小，則相應(yīng)的平面角將以相同的比例增大或減小[5]。因此，若兩個二面角的平面角是可公度的，則它們所對應(yīng)的二面角具有相同的比例。勒讓德將證明從平面角可公度的情形擴展到了平面角不可公度的情形?，F(xiàn)行教科書常利用極限的方法來達成這一擴展。勒讓德的證明方法涉及可公度的概念，不易為高中生所理解，但教師可以讓學生通過觀察實物來直觀感受二面角與它的平面角對應(yīng)成比例的結(jié)論，由此理解二面角的平面角定義的合理性。

（四）二面角的平面角合理性之定性研究

1879年，美國數(shù)學家溫特沃斯（G.A.Wentworth）在其《平面與立體幾何基礎(chǔ)》中討論了“平面角的邊必須垂直于棱”的緣由。如圖3，在長方體中，二面角F-AB-H是一個直二面角，∠CED的兩條邊分別在平面AF和平面AG上，并且它們都垂直于直線AB，所以∠CED是二面角F-AB-H的平面角。值得注意的是，圖中另外畫出的兩個角，它們的兩條邊均不垂直于直線AB，通過觀察可知，∠C′E′D′是銳角，∠C″E″D″是鈍角，都不能合理地刻畫直二面角F-AB-H。這樣的定性說明，對于高中生來說較易于理解。

三、教學設(shè)計與實施

（一）情境引入

教師借助生活中的三個情境：翻開的書頁、墻面與天花板、打開的筆記本電腦，引入二面角。

師：借助上述生活中的情境，大家可以抽象出什么數(shù)學問題？

生：兩個平面的夾角。

師：兩個平面的夾角的概念最早由古希臘數(shù)學家歐幾里得在《幾何原本》中給出。

（教師在PPT上展示兩平面夾角的概念。）

師：兩平面所成的對頂角有兩對，選哪一對作為它們的夾角？

生：較小的一對。

師：那么，兩平面夾角的范圍應(yīng)該是多少？

（學生陷入沉思中。）

師：如果我們給出一個新的概念：平面上的一條直線將平面分成兩個半平面。我們怎樣用數(shù)學語言描述剛才的情形？

生：兩個半平面所成的圖形。

師：還有補充嗎？

生：兩個半平面及其交線所組成的空間圖形。

師：所以我們將由兩個半平面α和β及其交線AB所組成的空間圖形稱為二面角，記作α-AB-β。兩個半平面α和β稱為二面角的面，交線AB稱為二面角的棱。下面請同學們畫出開合程度較小和較大的兩種情形的二面角。

【設(shè)計意圖】從學生熟悉的生活情境入手，學生較容易抽象出兩個平面的夾角這一數(shù)學模型，這與歐幾里得的想法有相似之處。但是，通過分析前面的生活情境，發(fā)現(xiàn)這一模型不能表示開合程度較大的筆記本電腦，所以需要引入一個不同于兩平面夾角的新概念，即二面角。在這一過程中，學生注意到二面角的定義中“半平面”的重要性。

（二）探究發(fā)現(xiàn)

本教學環(huán)節(jié)設(shè)置了三個探究活動：（1）通過測量折紙所形成的二面角的大小，引出研究平面角的必要性;（2）通過三種特殊的二面角（0°、90°、180°）與其對應(yīng)的平面角大小的比較探究，定性分析二面角的平面角定義的合理性;（3）通過從內(nèi)部測量二面角大小的活動，自然地引出二面角的平面角的唯一性問題，并加以證明。

【探究活動1】

師：請大家用手中的A4紙折出一個二面角，并用量角器測量它的大小。

（學生所折的二面角分成了兩類：一類是將A4紙對折，紙的邊緣與折痕垂直;另一類是斜折，紙的邊緣與折痕不垂直。）

師：大家是怎樣折二面角的？又是如何測量的？

生1：我將A4紙對折（如圖4），然后將量角器緊貼二面角邊緣的兩邊測量。

師：還有不同的折法嗎？

生2：我將A4紙斜折（如圖5），然后也是將量角器緊貼二面角邊緣的兩邊測量。

師：我看到有的同學也是斜折，但測量方法不同。

生3：我也是將A4紙斜折，但我覺得測量邊緣不方便，所以我把紙再次折疊，這次是對折，使之與上一次的折痕重疊，此時新的折痕垂直于原來的折痕（如圖6），測量新折痕的夾角即可。

師：大家的做法非常好，二面角是一個空間圖形，這幾位同學測量的是一個平面角還是空間角？

生（齊答）：平面角。

師：為什么是平面角？

生4：大家所量的角都是紙的邊緣或折痕的夾角，是兩條交于一點的射線所成的角，符合平面角的定義。

師：前幾節(jié)課，我們在度量異面直線所成的角、線面角等空間角時，都是把空間角轉(zhuǎn)化成平面角進行度量，那么二面角也不例外。

【設(shè)計意圖】度量是測量在數(shù)學中的抽象，測量是度量在現(xiàn)實世界的應(yīng)用。本教學環(huán)節(jié)通過讓學生動手測量二面角的大小，引導學生思考并發(fā)現(xiàn)測量的角其實是平面角而非空間角，從而得出立體幾何中空間角度量的本質(zhì)是平面角的度量，讓學生體會到引入二面角的平面角的必要性。

【探究活動2】

師：剛剛?cè)煌瑢W選擇的平面角有何不同？

生5：同學1和同學3選的平面角的兩邊都垂直于二面角的棱，同學2選的平面角的兩邊與棱不垂直。

師：你觀察得很仔細。大家覺得應(yīng)該選擇哪一種平面角來度量二面角呢？

（大部分學生選擇垂直的情況，也有一部分學生覺得垂直、傾斜都可以，還有極少數(shù)學生選擇傾斜的情況。）

師：大部分同學的選擇與歷史上數(shù)學家歐幾里得的選擇相同，他就是用這種垂直于棱的平面角來度量兩個平面所成角的大小。但是為什么歐幾里得選擇了垂直的情況，舍棄了傾斜的情況？理由是什么？

生6：如果是傾斜的情況，二面角的兩個半平面重合時，兩條傾斜的邊并不重合（如圖7）。

生7：不對，在這種情況下，兩條傾斜的邊可以重合，例如兩邊與棱的夾角都是30°。

生6：那在這種情況下，將二面角攤平，兩個半平面在同一平面上，二面角是平角，此時兩條傾斜的邊并不在同一條直線上（如圖8）。

師：兩位同學舉的反例都非常好?，F(xiàn)在我們知道，如果平面角的兩邊不與二面角的棱垂直，那么平面角就不能正確地表示二面角的開合程度。

生8：有沒有這種可能，傾斜的情況只是不能表示兩個半平面重合以及攤平的情況，但是其他情況是可行的？

生9：不對，傾斜的情況也不能正確地表示兩個半平面相互垂直的情況。

（該學生通過測量兩個半平面相互垂直時，兩種傾斜程度不同的平面角的大小，一種情況大于90°，另一種情況小于90°。這與歷史上美國數(shù)學家溫特沃斯的例證有異曲同工之妙。）

師：綜上可知，傾斜的平面角不能正確地反映二面角的開合程度。那么垂直的平面角能正確地反映二面角的開合程度嗎？

生10：可以，我可以用對折的紙來演示說明。

（學生用對折的紙演示平面角垂直于棱的情況。當兩個半平面重合時，平面角的兩邊重合;當兩個半平面垂直時，平面角的兩邊垂直;當兩個半平面共面時，平面角的兩邊共線。）

師：通過剛才的演示可見，平面角的兩邊均垂直于棱時，它的開合程度與二面角一致。因此，我們選擇兩邊均垂直于棱的平面角來度量二面角。

【設(shè)計意圖】通過問題串引發(fā)學生對二面角的平面角定義合理性的思考。學生在交流環(huán)節(jié)相互質(zhì)疑、相互啟發(fā)，從而引發(fā)進一步深入的思考。最后，通過生生交流、師生交流的若干次循環(huán)，學生定性地得到了二面角的平面角的定義合理性。在這一環(huán)節(jié)中，學生逐步體會到一個良好的數(shù)學定義不是憑空產(chǎn)生的。

【探究活動3】

師：剛才大家所演示的平面角都位于折紙的邊緣，然而我看到有的同學構(gòu)造了位于折紙的內(nèi)部的平面角。

（學生演示將直角三角板置于折紙內(nèi)部來構(gòu)造直二面角的情形。）

師：平面角有時在邊緣，有時在內(nèi)部，隨著位置的變化，它的大小會發(fā)生變化嗎？

（教師在PPT上展示兩個位置不同的平面角。）

生1：不會發(fā)生變化。

師：理由是什么？

生1：如圖9，AP⊥l，A1P1⊥l，且AP與A1P1共面，故AP∥A1P1，同理BP∥B1P1，根據(jù)空間等角定理可得∠APB=∠A1P1B1。

生2：不對，根據(jù)等角定理，這兩個角也有可能互補。

生1：兩組射線AP和A1P1、BP與B1P1方向分別相同，所以兩角只能相等。

師：由此可見，二面角的平面角的大小和它的頂點在棱上的位置無關(guān)。請大家總結(jié)一下二面角的平面角的定義。

生3：在二面角的棱上任取一點，過該點在兩個半平面內(nèi)分別作棱的垂線，所得平面角即為二面角的平面角。

（教師在PPT上展示二面角的平面角的概念，學生修正自己提出的概念。）

【設(shè)計意圖】如何自然地引入二面角的平面角的唯一性證明，這是教學中的一個難題。在本節(jié)課的折紙活動中，當折紙的邊緣與折痕不垂直時，有些學生感到無法測量二面角，但學生想到了將三角板內(nèi)移，讓折痕垂直于三角板，從而構(gòu)造45°或90°的二面角。這樣就自然地產(chǎn)生了在二面角的棱上選取位置不同的平面角頂點時，平面角是否相等的問題，從而順利地引入平面角唯一性的證明。

（三）深化理解

通過幾個特殊情況的折紙活動，說明了平面角為什么不采用傾斜的情況來定義，初步讓學生認識到垂直情形的合理性。上述教學環(huán)節(jié)是對平面角定義的合理性的定性探究，本教學環(huán)節(jié)繼續(xù)深入研究，對平面角定義的合理性進行定量分析。

師：剛才我們通過三種特殊的二面角，初步體會了平面角定義的合理性，但是還不夠嚴密。數(shù)學史上有嚴格的證明來論證二面角平面角定義的合理性，但由于證明比較復雜，我們僅用實物來演示證明過程中一種情況：可公度的情況。

教師拿出三塊大小一樣的楔形蛋糕，向?qū)W生展示一塊蛋糕的兩個側(cè)面構(gòu)成了一個二面角，而蛋糕上沿的兩條棱構(gòu)成了該二面角的平面角。教師拿出兩塊蛋糕拼在一起，此時兩塊蛋糕的不重合的兩個側(cè)面構(gòu)成了一個新的二面角，相應(yīng)地，蛋糕上沿兩條不重合的棱構(gòu)成了新的二面角的平面角。

師：新二面角是原二面角的幾倍？

生：兩倍。

師：新二面角的平面角是原二面角的平面角的幾倍？

生：兩倍。

師：我再拿一塊蛋糕拼在一起，現(xiàn)在二面角與平面角分別是原來的幾倍？

生：三倍。

師：由此我們可以得出什么結(jié)論？

生：二面角大小的變化與平面角大小的變化是同比例的。

師：當平面角為0°時，二面角的兩個半平面重合;當平面角為90°時，二面角的兩個半平面垂直;當平面角為180°時，二面角的兩個半平面也是平的。又因為二面角大小的變化與平面角大小的變化是同比例的，所以我們可以用二面角的平面角來度量二面角的大小。當平面角為n°時，二面角的大小也為n°，所以二面角的范圍是0°≤n°≤180°。

【設(shè)計意圖】數(shù)學史上對二面角的平面角定義的合理性的定量證明，分為可公度情形和不可公度情形兩種情況。因為高中生沒有接觸過公度的概念，所以具體證明過程對他們來說并不易理解。但是，蛋糕模型作為可公度情形的一個簡單、直觀的例子，可以讓學生從定量的角度來理解平面角與二面角大小變化的同比例關(guān)系。

（四）例題應(yīng)用

在本教學環(huán)節(jié)，教師用兩道典型例題（等腰型的二面角、全等型的二面角），讓學生掌握二面角的平面角的作圖方法，以及如何計算二面角的大小。例題講解過程略。根據(jù)單元教學設(shè)計的規(guī)劃，更多的應(yīng)用問題將會在下一課時中講解。

（五）課堂小結(jié)

師：本節(jié)課大家有什么收獲？

生1：學習了二面角的概念以及兩種典型二面角的平面角的作圖方法。

師：這位同學談到了在知識和方法上的收獲，那么大家在數(shù)學思想上有何收獲？

生2：學到了化歸思想。

生3：體會到了學習立體幾何時，實踐操作的重要性，以及給出數(shù)學定義的時候需要考慮嚴謹性、合理性。

生4：數(shù)學的發(fā)展不是一蹴而就的，數(shù)學家也會犯錯誤、走彎路，但是數(shù)學家們的不懈努力創(chuàng)造了現(xiàn)在的數(shù)學成就。

師：大家總結(jié)得非常好。我再補充一點，立體幾何的概念大都是從現(xiàn)實生活中抽象出來的，因此我們也要重視數(shù)學抽象的重要性。

【設(shè)計意圖】在教師的引導下，學生從知識、方法、數(shù)學思想三個層面總結(jié)本節(jié)課的收獲，充分挖掘本節(jié)課的教育價值[6]。

四、結(jié)語

課后問卷調(diào)查顯示，97.8%的學生認為這節(jié)課中數(shù)學史內(nèi)容對學習有幫助，93.3%的學生能正確掌握二面角、二面角的平面角的定義;88.9%的學生能夠正確地作出給定二面角的平面角;84.4%的學生能夠解釋二面角的平面角定義的合理性，包括從不變性、等比例變化等角度來解釋。本節(jié)課的亮點和價值筆者用五個“一”來概括。

（1）一個預(yù)測的窗口。歐幾里得曾經(jīng)給出了不完善的二面角定義，這也是學生在理解二面角概念過程中的一個常見錯誤。數(shù)學史上的謬誤，為教師預(yù)測學生學情和潛在的學習困難打開了一扇窗戶。

（2）一條有效的路徑。數(shù)學史料中對于二面角的平面角的定義合理性的論述，作為教材的補充材料，為學生發(fā)展邏輯推理的核心素養(yǎng)提供了一條有效的路徑。學生通過這堂課的學習，初步接觸了如何討論數(shù)學定義的合理性問題。

（3）一個探究的機會。為了有效落實“把課堂還給學生”的教學理念，本節(jié)課為學生提供了豐富的探究機會，而探究的問題則取材于歷史的素材，由學生在前序的探究過程中自然地提出新的探究問題。

（4）一次突破的嘗試。融入數(shù)學史的二面角概念教學并不常見，而在概念教學中加入關(guān)于二面角的平面角定義合理性的探究，是一次突破性的嘗試。這對于數(shù)學基礎(chǔ)較好的學生來說，是基于學情的一次合理突破，也是提升學生能力的一次有效嘗試。

（5）一節(jié)難忘的課堂。從課后學生的反饋來看，學生對數(shù)學史的內(nèi)容以及直觀的蛋糕模型都具有深刻的印象，這說明本節(jié)課精心設(shè)計的亮點得到了學生的肯定，而這些亮點將會逐步改變數(shù)學課在學生心中枯燥乏味的印象。

參考文獻：

[1]歐幾里得.幾何原本[M].蘭紀正，朱恩寬，譯.西安：陜西科學技術(shù)出版社，2003.

[2]WALKER T.Elements of geometry[M].Boston：Richardson & Lord，1829.

[3]GREENLEAF B.Elements of geometry[M].Boston：Robert S.Davis & Company，1859.

[4]SYKES M，COMSTOCK C E.Solid geometry[M].Chicago：Rank Mcnally & Company，1922.

[5]LEGENDRE A M.Elements of geometry[M].Cambridge，N.E.：The University Press，1794.

[6]余慶純，汪曉勤.基于數(shù)學史的數(shù)學文化課例研究[J].中小學課堂教學研究，2021（1）：5-9.

（責任編輯：陸順演）