向峰 任宏昇 張帥

摘要：聯(lián)系與轉(zhuǎn)化思想是很重要的思想方法.函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題，就體現(xiàn)了聯(lián)系轉(zhuǎn)化思想、化歸轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想.

在問(wèn)題

解決過(guò)程中，從函數(shù)零點(diǎn)到方程的根，再到函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題，這樣從數(shù)到數(shù)，由數(shù)到形，據(jù)形得數(shù)，結(jié)合形的直觀和數(shù)的微觀本質(zhì)，即可讓問(wèn)題得到準(zhǔn)確解決.

關(guān)鍵詞：聯(lián)系思想;轉(zhuǎn)化思想;數(shù)形結(jié)合思想;直觀;微觀

人教版教材必修1第三章“函數(shù)與方程”內(nèi)容體現(xiàn)了聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的思想，方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)、圖象的交點(diǎn)相互化歸轉(zhuǎn)換，就是將不能直接解決的問(wèn)題向簡(jiǎn)潔、容易解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化.教材上明確給出結(jié)論：方程f（x）=0有實(shí)數(shù)解函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有交點(diǎn).這個(gè)結(jié)論實(shí)質(zhì)上體現(xiàn)的就是聯(lián)系轉(zhuǎn)化、化歸轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，要求學(xué)習(xí)者綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)轉(zhuǎn)換思想，開(kāi)拓解題思路，提高數(shù)學(xué)能力.

下面結(jié)合具體案例，對(duì)函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的解決策略進(jìn)行探究.

1 轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題

由函數(shù)零點(diǎn)定義可知，方程f（x）=0的實(shí)數(shù)解就是函數(shù)f（x）的零點(diǎn)，即為函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).于是，可直接通過(guò)函數(shù)f（x）的圖象與x軸的交點(diǎn)情況來(lái)研究函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)情況.

例1已知函數(shù)f（x）=xex-a（lnx+x），a∈R.若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析：先研究函數(shù)f（x）的特征和性質(zhì)，得出函數(shù)f（x）的圖象，注意函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間、極值點(diǎn)、界點(diǎn)，觀察函數(shù)f（x）圖象與x軸的交點(diǎn)情況，即可解決問(wèn)題.

解析：f′（x）=（1+x）（xex-a）x，x>0.

①易知a≤0不合題意.

②當(dāng)a>0時(shí)，設(shè)g（x）=xex-a，x>0，則g′（x）=（x+1）ex>0，即g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.又g（0）=-a<0，當(dāng)x+∞時(shí)，g（x）+∞.則存在唯一x0∈（0，+∞），使g（x0）=0，即x0ex0-a=0.當(dāng)0x0時(shí)，g（x）>0，f′（x）>0，f（x）單調(diào)遞增;又當(dāng)x→0+時(shí)，f（x）→+∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→+∞.

則由題意可知，只需

fmin（x）=f（x0）=x0ex0-a（lnx0+x0）<0.又x0ex0-a=0，則只需

a-a（lnx0+x0）=a（1-lnx0-x0）<0.

又a>0，則只需1-lnx0-x0<0.而t（x0）=1-lnx0-x0在（0，+∞）上單調(diào)遞減，又t（1）=0，故需x0>1.進(jìn)而研究a=x0ex0的值域，即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍是（e，+∞）.

2 轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線y=a的交點(diǎn)問(wèn)題

教材上“函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有交點(diǎn)”，體現(xiàn)了將函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=0有交點(diǎn).其中y=0是最為特殊的直線，而在具體問(wèn)題中，有時(shí)候?qū)?wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=g（x）的圖象與直線y=a有交點(diǎn)，解決過(guò)程更為簡(jiǎn)潔.

在例1中，當(dāng)a≠0時(shí)，題設(shè)條件等價(jià)于新方程

1a=lnx+xxex

有兩個(gè)實(shí)根，也等價(jià)于直線y=1a與函數(shù)g（x）=lnx+xxex（x>0）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).這樣，函數(shù)g（x）中無(wú)參變字母，圖象固定，而y=1a是水平直線，容易觀察，復(fù)雜問(wèn)題得以簡(jiǎn)單化.例1的第二種解法如下：

略解：

g′（x）=（1+x）（1-lnx-x）x2ex.而t（x）=1-lnx-x在（0，+∞）上單調(diào)遞減，又t（1）=0，則當(dāng)00，g′（x）>0，g（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x>1時(shí)，t（x）<0，g′（x）<0，g（x）單調(diào)遞減.而g（1）=1e，又當(dāng)x0+時(shí)，g（x）-∞，當(dāng)x+∞時(shí)，g（x）0.

由圖象可知，當(dāng)0<1a<1e，即a>e時(shí)，直線y=1a與函數(shù)g（x）=lnx+xxex（x>0）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即f（x）有兩個(gè)零點(diǎn).

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（e，+∞）.

3 轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題

有時(shí)候，分析函數(shù)結(jié)構(gòu)特征，可將函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程f（x）=0的實(shí)數(shù)解問(wèn)題，再轉(zhuǎn)化為方程g（x）=φ（x）的實(shí)數(shù)解問(wèn)題，最后轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=g（x）與y=φ（x）圖象的交點(diǎn)問(wèn)題.

例2設(shè)函數(shù)f（x）=xln x-asin x在

1e，π上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析：由題意得方程xln x=asin x在1e，π上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解.設(shè)g（x）=xln? x，t（x）=asin x，x∈1e，π，則函數(shù)g（x）與t（x）的圖象在

1e，π上有且只有一個(gè)交點(diǎn).而g′（x）=ln x+1≥0，即g（x）在1e，π上單調(diào)遞增，g 1e=-1e<0，g（π）=πl(wèi)n π>0，g（1）=0，gπ2=π2lnπ2>0.

又由g′（x）=lnx+1單調(diào)遞增可知g（x）圖象在

1e，π內(nèi)下凸.

當(dāng)a>0時(shí)，t（x）在

1e，π2

上單調(diào)遞增，在π2，π上單調(diào)遞減，且t1e=asin1e>0，tmax（x）=tπ2=a>0，t（π）=0.又由t′（x）=acos x在1e，π2上單調(diào)遞減可知t（x）圖象在1e，π2內(nèi)上凸.此時(shí)，如圖1和圖2所示，函數(shù)g（x）與t（x）的圖象在1e，π上有且只有一個(gè)交點(diǎn)，符合題意.

當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=xln x，直接可得零點(diǎn)x=1，符合題意.

當(dāng)a<0時(shí)，t（x）在1e，π2上單調(diào)遞減，在π2，π上單調(diào)遞增，且t1e=asin1e<0，tmin（x）=tπ2=a<0，t（π）=0.此時(shí)，由圖3知，要使函數(shù)g（x）與t（x）

的圖象在1e，π上有且只有一個(gè)交點(diǎn)，只需t1e≥g1e，即-1esin1e≤a<0.

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a∈-1esin1e，+∞.

4 轉(zhuǎn)化為方程的實(shí)數(shù)解問(wèn)題

函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題本質(zhì)上就是方程的實(shí)數(shù)解問(wèn)題.而有的復(fù)雜函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，基本轉(zhuǎn)化難以解決問(wèn)題.要先把函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程f（x）=0的實(shí)數(shù)解問(wèn)題，注意等式兩邊構(gòu)造相同結(jié)構(gòu);再把方程f（x）=0有實(shí)數(shù)解轉(zhuǎn)化為方程g[h（x）]=g[t（x）]有實(shí)數(shù)解，通過(guò)g（x）的單調(diào)性把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程h（x）=t（x）

的實(shí)數(shù)解問(wèn)題，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)，化難為易的目的;最后把方程h（x）=t（x）的實(shí)數(shù)解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=s（x）的圖象與直線y=m的交點(diǎn)問(wèn)題（或函數(shù)y=φ（x）的圖象與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題）.

例3已知f（x）=xex+x-axaln x-aln x在（1，+∞）上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析：此函數(shù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，直接求導(dǎo)研究單調(diào)性困難，不易轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有交點(diǎn).另外，由于函數(shù)結(jié)構(gòu)限制，不能分離參數(shù)a，無(wú)法轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=g（x）的圖象與直線y=a的交點(diǎn)問(wèn)題，也難以轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=g（x）與y=φ（x）圖象的交點(diǎn)問(wèn)題.這里，f（x）=xex+x-axaln x-aln x有零點(diǎn)等價(jià)于方程xex+x=axaln x+aln x有實(shí)數(shù)解，變形結(jié)構(gòu)，原問(wèn)題等價(jià)于xex+x=（aln x）ealn x+aln x有實(shí)數(shù)解.根據(jù)等式兩邊的結(jié)構(gòu)，設(shè)函數(shù)g（x）=xex+x，x>1，由函數(shù)g（x）單調(diào)性可知原問(wèn)題等價(jià)于

x=aln x

在（1，+∞）上有實(shí)數(shù)解.

略解：由f（x）=xex+x-axaln x-aln x=0，得xex+x=axaln x+aln x，即xex+x=（aln x）ealnx+aln x（x>1），則原問(wèn)題等價(jià)于方程xex+x=（aln x）＼5ealn x+aln x在（1，+∞）上有實(shí)數(shù)解.設(shè)函數(shù)g（x）=xex+x，x∈R，則g′（x）=（x+1）ex+1，g″（x）=（x+2）ex.當(dāng)x<-2時(shí)，g″（x）<0，g′（x）單調(diào)遞減.當(dāng)x>-2時(shí)，g″（x）>0，g′（x）單調(diào)遞增.則g′（x）≥g′（-2）=1-1e2>0，即g（x）在R上單調(diào)遞增.又g（x）=g（aln x），則x=aln x.故原問(wèn)題等價(jià)于方程x=alnx在（1，+∞）上有實(shí)數(shù)解，即方程a=xlnx在（1，+∞）上有實(shí)數(shù)解.再用例2的方法即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍是a∈[e，+∞）.

5 轉(zhuǎn)化為復(fù)合函數(shù)內(nèi)外函數(shù)的圖象問(wèn)題

對(duì)于復(fù)合函數(shù)y=f[g（x）]的零點(diǎn)問(wèn)題，我們可以從內(nèi)層和外層來(lái)認(rèn)知，設(shè)t=g（x），則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程f（t）=0與方程t=g（x）的實(shí)數(shù)解問(wèn)題，再在兩個(gè)平面直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=f（t）與t=g（x）的圖象，通過(guò)觀察兩函數(shù)圖象關(guān)系即可解決問(wèn)題.

對(duì)于例1，我們通過(guò)分析ln x+x與xex的結(jié)構(gòu)，找到聯(lián)系，即xex=eln x+x.設(shè)t=ln x+x，x>0，則g（t）=et-at，t∈R.而t=ln x+x在（0，+∞）上單調(diào)遞增，t和x一一對(duì)應(yīng)，則原問(wèn)題等價(jià)于g（t）=et-at在t∈R上有兩個(gè)零點(diǎn).這種類型問(wèn)題就是要抓住內(nèi)外層函數(shù)圖象的關(guān)聯(lián)性，利用兩圖象對(duì)應(yīng)的位置關(guān)系解決問(wèn)題.例1的第三種解法如下：

略解：易知a=0時(shí)g（t）=et-at無(wú)零點(diǎn);

當(dāng)a<0時(shí)，g′（t）=et-a>0，g（t）在R上單調(diào)遞增.又g（0）=1>0，g1a=e1a-1<0，故g（t）在R上只有一個(gè)零點(diǎn);

當(dāng)a>0時(shí)，由g′（t）=et-a<0，得t0，

得t>ln a.則g（t）在（-∞，ln a）上單調(diào)遞減，在

（ln a，+∞）上單調(diào)遞增.故g（t）在t=ln a時(shí)有唯一的一個(gè)最小值

gmin（t）=g（ln a）=a（1-ln a）.

再以0e分類討論即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍是（e，+∞）.

不難看出，函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，核心就是考查化歸轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想.具體做法就是把函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.先通過(guò)求導(dǎo)（基本函數(shù)就不需求導(dǎo)）研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢(shì)等，按題目要求，畫(huà)出函數(shù)圖象的走勢(shì)規(guī)律，標(biāo)明函數(shù)極（最）值的位置，最后借助數(shù)形結(jié)合思想，觀察兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)系，觀察其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，函數(shù)就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).這樣利用化歸轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想方法去處理問(wèn)題，可以使問(wèn)題的求解有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn).