卞煥清 呂小兵 朱金霞

【摘 要】平鋪直敘的教學(xué)方式忽略了數(shù)學(xué)知識(shí)生成的過程，往往讓學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了疏離感，失去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，阻礙了對數(shù)學(xué)知識(shí)整體性的認(rèn)識(shí)，這樣的教學(xué)方式亟須改進(jìn)。文章以折紙活動(dòng)為載體，設(shè)置系列問題鏈，探討“做數(shù)學(xué)”教學(xué)理念在初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐的應(yīng)用。“做數(shù)學(xué)”視角下的課堂問題鏈的建構(gòu)應(yīng)凸顯情境的真實(shí)性，緊扣學(xué)生的主體性，聚焦問題的整體性，挖掘?qū)W科的育人性，讓學(xué)生在具身的學(xué)習(xí)體驗(yàn)中體會(huì)知識(shí)的自然生長，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】“做數(shù)學(xué)”；關(guān)鍵能力；問題鏈；學(xué)科育人

初中階段對于圖形變化主要研究軸對稱、旋轉(zhuǎn)和翻折，和小學(xué)階段相比，對學(xué)生的幾何直觀、空間觀念和推理能力提出了更高要求，而傳統(tǒng)教學(xué)方式高度抽象、注重推理、片段性強(qiáng)的特征容易使學(xué)生失去數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。隨著基礎(chǔ)教育改革的不斷深入，很多學(xué)者及一線教師不斷致力于傳統(tǒng)教學(xué)方式的改進(jìn)，以期解決傳統(tǒng)教學(xué)模式的問題。

“做數(shù)學(xué)”源于杜威的“做中學(xué)”思想［1］，強(qiáng)調(diào)從真實(shí)的生活情境出發(fā)，發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)問題，通過課堂上親身體驗(yàn)，自主地探索數(shù)學(xué)知識(shí)，從而發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科能力?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）也指出，數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)應(yīng)該注重啟發(fā)式的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生在真實(shí)的情境中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，利用觀察、猜測、推理等方法分析問題和解決問題［2］。筆者從“做數(shù)學(xué)”的視角入手，依據(jù)蘇科版九年級(jí)義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊中“折紙與特殊角的三角函數(shù)”內(nèi)容，通過系列環(huán)節(jié)的設(shè)置，引導(dǎo)學(xué)生通過操作體驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)折紙中的數(shù)學(xué)，探究通過折紙能夠應(yīng)用已經(jīng)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題。

一、教學(xué)目標(biāo)解析

折紙活動(dòng)中主要蘊(yùn)含三種基本運(yùn)動(dòng)方式之一的軸對稱，對于圖形的運(yùn)動(dòng)，《課程標(biāo)準(zhǔn)》對各學(xué)段提出了具體要求（見表1）［2］。

從《課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求中不難發(fā)現(xiàn)，對于圖形運(yùn)動(dòng)的研究應(yīng)從真實(shí)情境出發(fā)，用數(shù)學(xué)的眼光審視生活現(xiàn)象，從而發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題并解決問題。初中階段研究圖形運(yùn)動(dòng)關(guān)注的不僅是能夠描述圖形的位置和運(yùn)動(dòng)，認(rèn)識(shí)圖形運(yùn)動(dòng)的變化特征，還需要關(guān)注學(xué)生的幾何直觀、空間觀念和數(shù)學(xué)推理能力的發(fā)展。

在實(shí)際生活中，學(xué)生對折紙活動(dòng)較為熟悉，能夠折出一些基本圖形，有一定活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。從知識(shí)儲(chǔ)備上看，九年級(jí)的學(xué)生學(xué)習(xí)了平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱相關(guān)知識(shí)，能綜合應(yīng)用軸對稱、直角三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)等知識(shí)，其識(shí)圖能力、空間想象能力已基本形成。從教學(xué)意義上看，利用折紙活動(dòng)能幫助學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，架構(gòu)知識(shí)模塊之間的橋梁，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力和邏輯推理能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維，有助于實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的育人價(jià)值。

二、“做數(shù)學(xué)”理解下的“折特殊角”教學(xué)實(shí)踐

（一）從生活情境出發(fā)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的真實(shí)性

傳統(tǒng)教學(xué)方式強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的抽象性，疏遠(yuǎn)了學(xué)生與學(xué)生、學(xué)生與教師、學(xué)生與數(shù)學(xué)之間的距離，難以培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。因此，“做數(shù)學(xué)”應(yīng)從生活情境出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注生活實(shí)際，體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系。

【片段1】動(dòng)手操作，發(fā)現(xiàn)折紙活動(dòng)的數(shù)學(xué)維度

問題1 同學(xué)們，相信大家都會(huì)折紙，你能折出哪些奇妙的形狀呢？其中蘊(yùn)含了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)呢？

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)源于生活，而數(shù)學(xué)問題往往源于真實(shí)的生活情境。問題1引導(dǎo)學(xué)生從生活中熟悉的折紙中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光審視生活，從自身生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)思考數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)和生活實(shí)際的聯(lián)系。

（二）以親身體驗(yàn)為主，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的生長性

在義務(wù)教育階段，傳統(tǒng)的教學(xué)方式較容易使得日常教學(xué)和學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生沖突，限制了學(xué)生用自己的方式體驗(yàn)、組織數(shù)學(xué)知識(shí)的機(jī)會(huì)。因此，泛在學(xué)習(xí)視域下的“做數(shù)學(xué)”應(yīng)讓學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦，培養(yǎng)學(xué)生良好的探究習(xí)慣，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)生長的過程。

【片段2】深入思考，探究翻折運(yùn)動(dòng)中的特殊角度

問題2 同學(xué)們，通過分析我們發(fā)現(xiàn)折紙本質(zhì)上就是數(shù)學(xué)中的軸對稱，其中蘊(yùn)含了豐富的線段與角的知識(shí)。你能通過折紙獲得特殊角嗎？

追問1：我們能直觀地獲得哪個(gè)特殊角？

追問2：通過翻折得到45°角以后，我們還能獲得哪些角？

設(shè)計(jì)意圖：該環(huán)節(jié)問題的設(shè)置讓學(xué)生梳理折紙活動(dòng)的研究目標(biāo)，明確研究路徑，即我們要研究的是如何通過折紙獲取30°、45°和60°這些特殊角，從這些特殊角獲得哪些結(jié)論。

在課堂實(shí)踐過程中，大部分學(xué)生會(huì)直接將正方形紙片沿著對角線對折獲得45°（如圖1），即“由角到角”；也有少部分學(xué)生利用直角三角形中銳角三角函數(shù)獲得，如在Rt△ABD中，tan∠ABD=1，那么∠ABD=45°，即“由邊到角”。在課堂中，教師要引導(dǎo)學(xué)生用兩種不同的數(shù)學(xué)眼光來審視問題，發(fā)現(xiàn)從哪些視角探究獲得特殊角，在獲取45°角之后，還能獲得哪些角度（如圖2），繼而跳出30°、45°和60°這些特殊角的桎梏，提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的延續(xù)性。

【片段3】發(fā)展思維，剖析特殊角度的獲取路徑

問題3 同學(xué)們，我們可以從哪些角度出發(fā)獲得30°角？

追問 你能想出幾種折30°角的方法？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)科教學(xué)的根本價(jià)值在于引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思考、積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，折30°角（或者60°角）是本節(jié)課的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，其探究的過程充分體現(xiàn)了學(xué)生對“從角到角”和“從邊到角”兩個(gè)思路的理解和應(yīng)用。如果學(xué)生在實(shí)際操作過程中遇到困難，教師應(yīng)適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生思考：30°或者60°能夠轉(zhuǎn)化為哪些已知含有特殊角的圖形？也可以考慮是否能夠折出直角三角形，利用邊角關(guān)系來解決問題。經(jīng)過探究，學(xué)生發(fā)現(xiàn)30°角的折法遠(yuǎn)不止以下幾種折法：如圖3中∠DC[′]F=30°，圖4中∠EA[′]P=30°，圖5中∠CB[′]F=30°。因此，發(fā)散性的問題能進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的探究欲望，讓學(xué)生能夠主動(dòng)利用課后時(shí)間動(dòng)手探究多種解決方法。

【片段4】認(rèn)識(shí)本質(zhì)，整合折紙問題的邊角關(guān)系

問題4 利用正方形紙片，請你折一個(gè)角θ，并滿足tanθ=[12]。

追問 你還能提出哪些問題？

設(shè)計(jì)意圖：在經(jīng)歷了一系列特殊角的折疊后，教學(xué)的內(nèi)容不能僅僅局限于特殊角。該教學(xué)環(huán)節(jié)旨在引導(dǎo)學(xué)生從特殊走向一般，依據(jù)銳角三角函數(shù)和該銳角一一對應(yīng)的關(guān)系來獲取更多的角。同時(shí)，教師在引導(dǎo)學(xué)生思考能否折出角θ，使得tanθ=[nm]，其中m，n是正整數(shù)；或者tanθ=m，其中m是正實(shí)數(shù)。在分析如何解決這個(gè)問題的過程中，實(shí)際上只需要獲得一邊的等分點(diǎn)，這樣就可以將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的等分點(diǎn)問題，實(shí)現(xiàn)邊角關(guān)系的有機(jī)結(jié)合，從而從一個(gè)問題入手，提出一系列問題；從解決一個(gè)問題出發(fā)，認(rèn)識(shí)問題的本質(zhì)，形成解決問題的一般方法。

（三）以能力發(fā)展為指引，挖掘數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值

學(xué)科教學(xué)的過程其實(shí)就是幫助學(xué)生“悟?qū)W”的過程，也是引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)知識(shí)發(fā)生的過程。而“悟?qū)W”的過程往往會(huì)充滿困惑和挫折，正是經(jīng)歷了曲折的探索過程，學(xué)生才能形成解決問題的策略和方法，體會(huì)學(xué)習(xí)價(jià)值，領(lǐng)悟?qū)W科魅力，發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng)。

【片段5】挖掘歷史，彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科的文化魅力

問題5 你能否折出10°角呢？

這個(gè)問題其實(shí)也是古希臘三大尺規(guī)作圖難題之一的三等分任意角問題，如今數(shù)學(xué)家證明了這個(gè)三等分任意角不能用尺規(guī)解決，但折紙能解決這個(gè)問題。

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)史有著豐富的內(nèi)涵，生動(dòng)有趣的故事、穿越時(shí)空的智慧、貼近生活的問題等［3］，可以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，培養(yǎng)良好的學(xué)科情感和態(tài)度。古希臘三大尺規(guī)作圖難題的引入不僅能讓學(xué)生充分體會(huì)到古代數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)問題的不懈探究和了解數(shù)學(xué)知識(shí)演變的悠久歷史，還讓學(xué)生產(chǎn)生進(jìn)一步探究尺規(guī)作圖為何不能三等分任意角和折紙為何能夠三等分任意角，以及如何操作、如何證明操作的正確性的欲望。

【片段6】歸納總結(jié)，梳理問題探究的一般策略

問題6 請你來談一談我們是如何研究折特殊角的。

設(shè)計(jì)意圖：如何折特殊角只是本節(jié)課要研究的知識(shí)目標(biāo)，數(shù)學(xué)課堂也不能局限于知識(shí)的獲取，如何研究折特殊角才是本節(jié)課的價(jià)值所在。該問題的設(shè)置旨在引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課解決問題的一般路徑，歸納探索問題的一般思路，再一次激發(fā)學(xué)生的學(xué)科思維，讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考、形成習(xí)慣、積累素養(yǎng)，從而充分挖掘數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值。

三、教學(xué)感悟

折特殊角是“做數(shù)學(xué)”教學(xué)活動(dòng)的一次有效嘗試，本節(jié)課從生活實(shí)際情境出發(fā)，發(fā)現(xiàn)折紙中的數(shù)學(xué)，探索如何利用折紙獲得特殊角，提出并解決一系列問題，其價(jià)值建立在豐富的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)之中。當(dāng)然，拋開數(shù)學(xué)思維，如果“做數(shù)學(xué)”只定位于程序性的機(jī)械操作，也就失去了數(shù)學(xué)學(xué)科味道，缺乏數(shù)學(xué)教學(xué)價(jià)值。因此，筆者認(rèn)為育人視角下的“做數(shù)學(xué)”教學(xué)活動(dòng)應(yīng)從以下幾個(gè)方面進(jìn)行建構(gòu)。

（一）關(guān)聯(lián)情境，落實(shí)生活數(shù)學(xué)的有機(jī)結(jié)合

數(shù)學(xué)源于生活，反之?dāng)?shù)學(xué)也能有效地描述自然界現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象。因此，“做數(shù)學(xué)”的教學(xué)活動(dòng)應(yīng)關(guān)聯(lián)生活情境，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活現(xiàn)象，落實(shí)生活實(shí)際和數(shù)學(xué)學(xué)科的有機(jī)結(jié)合。折紙活動(dòng)用數(shù)學(xué)的眼光看是軸對稱運(yùn)動(dòng)，但折紙幾何學(xué)在醫(yī)療和航空航天領(lǐng)域等也被廣泛應(yīng)用。因此，折紙和生活的緊密聯(lián)系不僅能提升學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，還能激發(fā)學(xué)生探究折紙中數(shù)學(xué)奧秘的積極性，提高折紙活動(dòng)的深層價(jià)值，形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的閉環(huán)（如圖6）。

（二）深度思考，挖掘問題本質(zhì)的深刻價(jià)值

“做數(shù)學(xué)”教學(xué)活動(dòng)往往容易陷入數(shù)學(xué)思維含金量不高、操作價(jià)值利用率不大、數(shù)學(xué)本質(zhì)遷移性不強(qiáng)等困境。因此，“做數(shù)學(xué)”需要提升數(shù)學(xué)活動(dòng)的思維含金量，深挖問題的深刻價(jià)值?！罢厶厥饨恰庇蓛蓷l思維線索，即“由角到角”和“由邊到角”?！坝山堑浇恰苯柚鄣玫较嗟鹊慕牵^而利用多次翻折可以解決高維度的三等分任意角問題；“由邊到角”借助銳角三角函數(shù)解決“折角θ，滿足tanθ=m，其中m是正實(shí)數(shù)”的問題。實(shí)際上，“由邊到角”的問題只需要獲取正方形紙片的“m分割點(diǎn)”即可，也就是說折紙問題實(shí)際上就是研究紙片翻折前后角與角，線段與角之間的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了對邊角關(guān)系探究的有機(jī)統(tǒng)一（如圖7）。

（三）高位理解，助力思維品質(zhì)的穩(wěn)步提升

數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值不是解題能力的提升，而是在于幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思維、形成習(xí)慣、發(fā)展素養(yǎng)，也就是幫助學(xué)生獲取能夠解決實(shí)際問題的基本技能、基本思想、基本經(jīng)驗(yàn)和基本素質(zhì)。本節(jié)課要傳授給學(xué)生的不僅僅是如何折特殊角，而是如何利用現(xiàn)有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)來研究“折特殊角”問題，如何挖掘“折特殊角”的數(shù)學(xué)本質(zhì)，進(jìn)而歸納、總結(jié)出解決問題的一般路徑，思索還能提出并解決哪些問題，進(jìn)而穩(wěn)步提升學(xué)生的思維品質(zhì)。

總的來說，“做數(shù)學(xué)”理念下的“折特殊角”教學(xué)活動(dòng)能夠引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)，更好地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，動(dòng)手動(dòng)腦的教學(xué)樣態(tài)讓學(xué)生通過動(dòng)手操作，進(jìn)行探究、發(fā)現(xiàn)、思考、分析、歸納等思維活動(dòng)，在一定程度上能夠影響學(xué)生對數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建構(gòu)，幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)品質(zhì)及發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的能力，真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值。

參考文獻(xiàn)：

［1］董林偉，石樹偉.做數(shù)學(xué)：學(xué)科育人方式的實(shí)踐創(chuàng)新［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2021（4）：22-24，62.

［2］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［3］汪曉勤.HPM：數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育［M］.北京：科學(xué)出版社，2017.

（責(zé)任編輯：陸順演）