梁燕冰

摘? 要：數(shù)學(xué)建模是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型，對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解。在實(shí)際教學(xué)中，教師可以將初中數(shù)學(xué)的不同板塊進(jìn)行模型的歸類與轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生更好地理解與應(yīng)用數(shù)學(xué)建模。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)建模;轉(zhuǎn)化思想

數(shù)學(xué)建模的過(guò)程是“分析問(wèn)題—合理假設(shè)—分析模型—找到方法—建構(gòu)模型—檢驗(yàn)?zāi)Ｐ汀鉀Q問(wèn)題”。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力是教師的重要任務(wù)之一，然而提起數(shù)學(xué)建模，很多學(xué)生不知道其中的內(nèi)涵，更不用說(shuō)掌握建模的方法。下面，筆者談?wù)勅绾螌?shù)學(xué)建模問(wèn)題歸類與轉(zhuǎn)化成學(xué)生熟悉的、易懂的數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而更好地幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)建模并掌握相關(guān)方法。

一、轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模

方程是指含有未知數(shù)的等式。在對(duì)實(shí)際問(wèn)題建模的過(guò)程中會(huì)經(jīng)常涉及一些等量關(guān)系，此時(shí)可以在數(shù)學(xué)建模中構(gòu)建方程模型。

例1? 現(xiàn)有兩塊大小相同的長(zhǎng)方體木板，用它們來(lái)測(cè)量桌子的高度，如圖1放置并測(cè)量數(shù)據(jù)，然后改變木板的放置方法;如圖2放置并測(cè)量數(shù)據(jù)，試計(jì)算桌子的高度。

教師引導(dǎo)學(xué)生先假設(shè)木塊的長(zhǎng)、寬和桌子的高度，然后讓學(xué)生小組討論并匯報(bào)。

解：設(shè)木塊的長(zhǎng)為a cm，寬為b cm，桌子的高為x cm，

依題意，得b + x - a = 100，a + x - b = 120。

兩式相加，消元求出x = 110。因此，桌子的高度為110 cm。

【反思】經(jīng)過(guò)師生共同探討，學(xué)生感受到了什么是數(shù)學(xué)建模，也體會(huì)到了求解成功的喜悅。同時(shí)，通過(guò)例題教師還總結(jié)了在生活中測(cè)量桌子高度的方法，讓學(xué)生感受到了學(xué)以致用的樂(lè)趣。

二、轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模

幾何與人類的生活密切相關(guān)。實(shí)際生活中的數(shù)學(xué)建模問(wèn)題，尤其涉及角度問(wèn)題時(shí)，需要轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的幾何問(wèn)題，利用銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)進(jìn)行求解。

例2? 如圖3，有一把搭在墻上的梯子長(zhǎng)4 m，其與地面所成的角度為45°。當(dāng)把它調(diào)整為與地面成60°角時(shí)，求梯子的頂端沿墻面上升了多少。

教師指導(dǎo)學(xué)生把梯子的兩種擺放情況簡(jiǎn)明地畫(huà)出來(lái)（如圖4），然后師生一起分析并完成解題過(guò)程。

【反思】教師引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)題設(shè)畫(huà)出幾何圖形，把題目中看似不容易表示的“梯子的頂端沿墻面上升了多少”等價(jià)轉(zhuǎn)化為“求線段BC的長(zhǎng)度”，化繁為簡(jiǎn)。此題是學(xué)生在學(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí)的常見(jiàn)題型，計(jì)算過(guò)程不復(fù)雜，重在讓學(xué)生學(xué)會(huì)把生活中的一些數(shù)學(xué)建模問(wèn)題用幾何圖示分析并求解，讓學(xué)生不再認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)枯燥。

三、轉(zhuǎn)化為不等式相關(guān)的數(shù)學(xué)建模

對(duì)于生產(chǎn)決策、購(gòu)買(mǎi)方案、統(tǒng)籌安排等現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題，可以通過(guò)分析數(shù)據(jù)，然后轉(zhuǎn)化為不等式進(jìn)行計(jì)算解決。

例3? 班主任讓小明和小紅用70元獎(jiǎng)勵(lì)金去購(gòu)買(mǎi)鋼筆和筆記本共20件，獎(jiǎng)勵(lì)平時(shí)表現(xiàn)突出的學(xué)生。已知鋼筆每支5元，筆記本每本1元，班主任要求鋼筆的數(shù)量不少于筆記本的數(shù)量，共有多少種購(gòu)買(mǎi)方案？

教師先引導(dǎo)學(xué)生理解題意，并提醒學(xué)生注意取值范圍的限制，然后師生共同完成解答過(guò)程。

解：設(shè)購(gòu)買(mǎi)筆記本x本，依題意，得

教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)際情況取整并檢驗(yàn)，得出共有3種購(gòu)買(mǎi)方案：鋼筆12支，筆記本8本;或者鋼筆11支，筆記本9本;或者鋼筆10支，筆記本10本。

【反思】涉及方案的建模題目對(duì)于很多學(xué)生來(lái)說(shuō)都比較困難。此例題中，教師引導(dǎo)學(xué)生把題目中的兩個(gè)條件“購(gòu)買(mǎi)金額不超過(guò)70元”和“鋼筆的數(shù)量不少于筆記本的數(shù)量”直接轉(zhuǎn)化為不等式，列出不等式組來(lái)求解，而取整數(shù)其實(shí)就是對(duì)模型的檢驗(yàn)。此題讓學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)建模的整個(gè)過(guò)程，不僅讓學(xué)生體會(huì)了數(shù)學(xué)建模的含義，還讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)更有興趣和信心。

四、轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模

在現(xiàn)實(shí)生活中，最大獲利、成本最低等問(wèn)題可以嘗試構(gòu)建函數(shù)模型來(lái)求解。

例4? 某養(yǎng)豬場(chǎng)若每天投入3.2元，則可讓一頭60 kg重的生豬每天增加2 kg。已知當(dāng)時(shí)生豬的市場(chǎng)價(jià)格為每千克20元，但同時(shí)估計(jì)每天每千克生豬價(jià)格下降0.4元。對(duì)于該養(yǎng)豬場(chǎng)而言，當(dāng)時(shí)60 kg重的生豬在什么時(shí)候出售可以獲得最大利潤(rùn)。

解：設(shè)在t天后出售生豬，養(yǎng)豬場(chǎng)能獲得最大利潤(rùn)，此時(shí)養(yǎng)豬場(chǎng)的投入為3.2t元，每頭生豬能賣(mài)（20-0.4t）（60+2t）元，最大利潤(rùn)為（20-0.4t）（60+2t）-3.2t=1 200+40t-24t-0.8t²-3.2t=-0.8t²+12.8t+1 200=-0.8（t²-16t）+1 200=-0.8（t-8）²+1 251.2。] 所以，在8天后賣(mài)出生豬，可以獲得最大利潤(rùn)。

【反思】此題是一道關(guān)于二次函數(shù)的最值問(wèn)題，教學(xué)時(shí)應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生配方，根據(jù)實(shí)際情況來(lái)檢驗(yàn)答案的合理性。此題中，經(jīng)過(guò)8天后，雖然后來(lái)投入是8 × 3.2 = 25.6（元），但產(chǎn)出比原本的60 × 20 = 1 200（元）多了51.2元，因此是可行的。

五、轉(zhuǎn)化為統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模

統(tǒng)計(jì)知識(shí)在經(jīng)濟(jì)、管理等多領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用，實(shí)際生活中出現(xiàn)的個(gè)數(shù)和成績(jī)等問(wèn)題，常常需要轉(zhuǎn)化為統(tǒng)計(jì)問(wèn)題，再利用有關(guān)知識(shí)加以解決。

例5? 在日常生活中，我們經(jīng)常會(huì)遇到用空瓶換汽水的問(wèn)題。如果用m個(gè)空瓶可以換1瓶新的汽水，當(dāng)原有n瓶汽水時(shí)，最多能喝到多少瓶汽水呢？

教師引導(dǎo)學(xué)生列舉一些簡(jiǎn)單、具體的實(shí)際情況來(lái)分析，如現(xiàn)有10瓶汽水，用3個(gè)空瓶可以換1瓶新的，最多能喝到多少瓶汽水呢？師生共同探究得出答案：可以借來(lái)1個(gè)空汽水瓶，連同最后剩下的2個(gè)空汽水瓶一起再換1瓶新的，喝完后再還回去1個(gè)瓶子，所以最多能喝14 + 1 = 15（瓶）。教師引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般，共同解答此題。

【反思】題目中的量是抽象的m和n，沒(méi)有具體數(shù)量，看似很復(fù)雜，教師用特殊化方法，一步步地引導(dǎo)學(xué)生分析題意，找到解題方向，并解決特殊情況，然后從特殊情況出發(fā)探討一般情況，把看似困難的數(shù)學(xué)建模問(wèn)題轉(zhuǎn)化為容易解決的統(tǒng)計(jì)問(wèn)題。

在教學(xué)實(shí)踐中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生把生活中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程、幾何、不等式、函數(shù)、統(tǒng)計(jì)類問(wèn)題，并讓其經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，從而讓學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模，不斷提高數(shù)學(xué)建模能力。

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