魏玉娟

摘 要：初中數(shù)學(xué)題目具有難度系數(shù)高、運(yùn)算量大等特點(diǎn)，對學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、數(shù)學(xué)思維要求相對比較高，尤其是一些非典型的問題，唯有另辟蹊徑，借助一個(gè)或者若干個(gè)新的元素進(jìn)行替代，充分借助變量代換的手段，實(shí)現(xiàn)化繁為簡、化難為易，最終完成題目的解答.本文以此為切入點(diǎn)，結(jié)合大量的例題，針對換元法在初中數(shù)學(xué)不同類型題目中的具體應(yīng)用進(jìn)行探究.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；解題教學(xué)；換元法；數(shù)學(xué)思維

在最新版的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中，明確提出了初中數(shù)學(xué)教育目標(biāo)：引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，掌握必備的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)技能，了解基本的數(shù)學(xué)概念，體會其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，進(jìn)而促使學(xué)生在學(xué)習(xí)中逐漸形成必備的解題能力.但是學(xué)生在解題時(shí)常常會遇到一些非標(biāo)準(zhǔn)、典型的題目.如果按照常規(guī)的解題思路，學(xué)生則常常碰壁，甚至出現(xiàn)種種錯(cuò)誤.鑒于此，即可轉(zhuǎn)變解題思路，借助變量代換的方式，通過引入一個(gè)或者若干個(gè)全新的元素，替代原問題中的“元”，最終達(dá)到化繁為簡、化難為易效果.

1?換元法概述

換元法又被稱之為“輔助元素法”“變量代換法”，主要是運(yùn)用一個(gè)新的變量，代替原本題目中的某一個(gè)元素，即運(yùn)用一個(gè)新的元素，代替問題中原來的“元素”，進(jìn)而使得原本非標(biāo)準(zhǔn)、非典型的數(shù)學(xué)問題變得更加標(biāo)準(zhǔn)、典型，有效降低學(xué)生的解題難度.從本質(zhì)內(nèi)涵上來說，換元法就是變量代換、轉(zhuǎn)化，其關(guān)鍵在于合理選擇出“新元”，并將其帶入到數(shù)學(xué)問題中，進(jìn)行適當(dāng)?shù)卮鷵Q，促進(jìn)數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化，以便于學(xué)生快速找到解題的思路，順利解決數(shù)學(xué)問題.

縱觀初中數(shù)學(xué)解題現(xiàn)狀，在實(shí)施“換元法”時(shí)，基本上都是遵循“換元——求解——檢驗(yàn)”的步驟.常用的三種換元方法主要包括：局部換元、三角換元、均值換元.其中，局部換元就是在數(shù)學(xué)解題中，某一個(gè)代數(shù)式反復(fù)出現(xiàn)了幾次，就可采用一個(gè)字母進(jìn)行代替，促使繁雜問題簡單化.通常，這一換元方式常常被應(yīng)用到不等式問題求解中；三角換元?jiǎng)t是在解決去根號、變換為三角形的解題中，運(yùn)用已知代數(shù)式和三角知識內(nèi)在連接點(diǎn)進(jìn)行換元，常常將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的三角函數(shù)進(jìn)行解答；均值換元?jiǎng)t常常被應(yīng)用到“兩個(gè)未知量和是已知”情況，可借助均值換元的模式，運(yùn)用新的變量將兩個(gè)未知量表示出來，進(jìn)而完成數(shù)學(xué)問題的解答^［1］.

2?換元法與初中數(shù)學(xué)解題

換元法是轉(zhuǎn)化思想的具體體現(xiàn)，又被稱之為變量代換法、輔助元素法，主要基于問題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，通過引進(jìn)一個(gè)或者兩個(gè)新的輔助元素替代原問題中的某個(gè)元素，將原本非標(biāo)準(zhǔn)、非典型的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其成為標(biāo)準(zhǔn)、典型的數(shù)學(xué)題目，以便于學(xué)生靈活解題.從其本質(zhì)上來說，換元法就是等量代換，解題的關(guān)鍵就在于分析題目，科學(xué)把握題目中的“元”，并通過假設(shè)未知數(shù)的方式進(jìn)行替換^［1］.

在初中數(shù)學(xué)解題中，以整體換元、常值換元、倒數(shù)換元最為常見.

可以說，在初中數(shù)學(xué)解題中，換元法無處不在，唯有認(rèn)真觀察題目、分析題目的結(jié)構(gòu)特征，才能靈活借助不同換元方法進(jìn)行解答，旨在提升學(xué)生的解題效率^［2］.

3?換元法在初中數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用

3.1?換元法分解因式

因式分解是初中數(shù)學(xué)中的重要組成內(nèi)容，涉及到了大量基礎(chǔ)知識，如：加減乘除、平方、代數(shù)式，對學(xué)生的知識掌握情況、計(jì)算能力都提出了更高的要求.同時(shí)，因式分解也是初中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，尤其是當(dāng)題目中涉及到繁雜的多項(xiàng)式時(shí)，傳統(tǒng)解題思路只會導(dǎo)致學(xué)生碰壁、出錯(cuò)，唯有借助換元的思想，運(yùn)用“新元”代替原題目中的“舊元”，才能實(shí)現(xiàn)復(fù)雜題目簡單化.

例1?分解因式（x²+4x+6）（x²+6x+6）+x2.

解析：分析本題后發(fā)現(xiàn)可選擇相同的多項(xiàng)式作為“舊元”，借助新的“元”進(jìn)行替代.即假設(shè)x²+6=t，則原式即可化簡為

（t+4x）（t+6x）+x²=t²+10tx+25x²=［（x+2）（x+3）］²=（x+2）²（x+3）².

在這一解答中，主要運(yùn)用了局部換元的方法，將原本復(fù)雜的問題簡單化.同時(shí)，還可以從整體視角，借助整體換元法，假設(shè)x²+4x+6=t，以此形成新的解題思路.

例2?分解因式（b+c-2a）³+（c+a-2b）³+（a+b-2c）³.

解析：在解答本題目時(shí)，如果按照常規(guī)思路：去括號——分解.學(xué)生將會面臨著繁瑣的過程、極大的計(jì)算量.鑒于此，在優(yōu)化解題時(shí)，即可借助換元思想，設(shè)b+c-2a=x，c+a-2b=y，a+b-2c=z，

因?yàn)椋╞+c-2a）+（c+a-2b）+（a+b-2c）=0，則有x+y+z=0，

又因?yàn)閤³+y³+z³-3xyz=（x+y+z）（x²+y²+z²-xy-yz-xz），

因此x³+y³+z³-3xyz=0，

即：原式=x³+y³+z³-3xyz+3xyz=3xyz=3（b+c-2a）（c+a-2b）（a+b-2c）.

可見，解決本題的關(guān)鍵就是找到關(guān)于a、b、c的關(guān)系式（b+c-2a）+（c+a-2b）+（a+b-2c）=0，再根據(jù)關(guān)系式找到換元的點(diǎn)，并運(yùn)用新元代替，進(jìn)而將復(fù)雜的問題簡單化.

3.2?換元法解答整式計(jì)算

整式計(jì)算尤為常見，在考試中常出現(xiàn)一些繁瑣的題目.面對這些復(fù)雜的題目，就需要借助換元的思想，將題目中結(jié)構(gòu)相同的部分視為一個(gè)整體，并運(yùn)用新元替換，進(jìn)而將原本復(fù)雜、綜合性的問題轉(zhuǎn)化為普通的問題，以便于學(xué)生輕松解答.

例3?計(jì)算

（1-2-3-…-998）（2+3+4+…+999）-（1-2-3-…-999）（2+3+4+…+998）.

解析：按照傳統(tǒng)思路解題，學(xué)生將會面臨著巨大的計(jì)算量，很難在有限的時(shí)間內(nèi)高效解題.鑒于此，即可另辟蹊徑，根據(jù)第一個(gè)和第四個(gè)括號中的內(nèi)容、第二個(gè)和第三個(gè)括號中內(nèi)容的相同點(diǎn)，借助換元的思想進(jìn)行替代：假設(shè)（2+3+4+…+999）=a，（2+3+4+…+998）=b.

則原式=（1-b）a-（1-a）b=（a-ab）-（b-ab）=a-b=999.

可以說，在解答本題目之前，必須要對題目展開詳細(xì)的分析，結(jié)合題目的特點(diǎn)，找出相同的部分，并運(yùn)用字母進(jìn)行替換，最終在換元思想的輔助下，將題目簡單化，進(jìn)而高效解答問題.

例4?求2（ax+by）（by-ax）-（ax+by）²-（ax-by）²的值.其中x=-1，a=-4.

解析：學(xué)生在解答問題時(shí)，常常受到條件、變量的限制，致使其無法厘清題目的思路.鑒于此，可借助換元思想進(jìn)行解答：假設(shè)ax+by=m，ax-by=n.

則原式可變?yōu)?2mn-m²-n²=-（m+n）²=-（ax+by+ax-by）=-（2ax）².

之后將x=-1，a=-4代入到原式中，即可得出-（2ax）²=-64.

這一題目看似沒有實(shí)質(zhì)性的邏輯聯(lián)系，但深入挖掘后會發(fā)現(xiàn)只要運(yùn)用換元思路，借助變量代換，即可轉(zhuǎn)換題目的形式，最終輕松解答問題.如此，不僅降低了學(xué)生的解題難度，也促使學(xué)生在換元代換的過程中，促進(jìn)了數(shù)學(xué)思維的發(fā)展^［3］.

3.3?換元法化簡二次根式

二次根式化簡是初中數(shù)學(xué)中最為常見的題目.針對一些綜合性、難度系數(shù)比較高的問題，如果采用直接化簡的方式，常常會受到阻礙，甚至超出了學(xué)生的已有知識范圍.鑒于此，即可融合換元思想，借助整體、局部或者常值換元等方式，另辟蹊徑，從其他的角度進(jìn)行解題.

在化簡二次根式題目中，利用兩個(gè)式子之間的倒數(shù)關(guān)系進(jìn)行換元尤為常見，這種方式又被稱之為對偶換元法，可迅速打開學(xué)生的解題思路.

3.4?換元法解答方程（組）問題

方程（組）是初中數(shù)學(xué)的重要組成內(nèi)容，對學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、思維能力要求比較高.尤其是針對一些難度系數(shù)比較高的方程（組），按照常規(guī)的解題思路，學(xué)生常常面臨著繁瑣的計(jì)算，甚至超出了學(xué)生的已有知識范圍.鑒于此，即可借助換元思想，將繁瑣的新知識轉(zhuǎn)化為舊知識，以便于學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)的知識解答問題.

即：x²-10x-45=-6，再次解方程得出x₁=13，x₂=-3.

經(jīng)過代入檢驗(yàn)，即可得出x₁=13，x₂=-3為原方程的解.

可見，在解答超出認(rèn)知范圍、已有學(xué)習(xí)能力之外的方程時(shí)，通過認(rèn)真觀察、分析題目學(xué)生能夠結(jié)合題目的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，對其進(jìn)行靈活換元，進(jìn)而完成題目的高效解答.

例8?解方程（x²+2x）²-2（x²+2x）-3=0.

解析：方程中涉及到了高階方程，按照初中生已有的知識和能力，很難完成對此題目的解答.據(jù)此，即可融入換元思想，將高階方程的部分進(jìn)行替換，即設(shè)x²+2x=t，

因此，t²-2t-3=0.

解得t₁=3，t₂=-1.

當(dāng)t₁=3時(shí)，解方程x²+2x=3，得x₁=-3，x₂=1.

當(dāng)t₂=-1時(shí)，解方程x²+2x=-1，得x₃=x₄=-1.

因此原方程的解為x₁=-3，x₂=1、x₃=x₄=-1^［4］.

3.5?換元法在其他題目中應(yīng)用

經(jīng)課堂教學(xué)實(shí)踐證明，換元思想在初中數(shù)學(xué)解題中隨處可見.通過換元思想的滲透，可將原本復(fù)雜的題目進(jìn)行簡化，或者幫助學(xué)生打通一條全新的解題路徑，在節(jié)省時(shí)間的同時(shí)，也提升了學(xué)生的解題效率.

可見，在本題目中，正是運(yùn)用了換元的思想，將原本復(fù)雜的題目進(jìn)行了轉(zhuǎn)化，簡化了求最值的方式，也顯著提升了學(xué)生的解題效率^［5］.

4?換元法在初中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用注意事項(xiàng)

經(jīng)課堂教學(xué)實(shí)踐證明，換元法在初中數(shù)學(xué)解題中尤為常見，彰顯出極大的應(yīng)用價(jià)值.鑒于此，若想真正提升學(xué)生利用換元法解題的能力，教師在日常教學(xué)中，不僅要強(qiáng)化學(xué)生的換元法應(yīng)用意識，還應(yīng)掌握具體的應(yīng)用原則，注意以下三個(gè)方面：

第一，注重?fù)Q元的應(yīng)用性.雖然換元法應(yīng)用路徑廣泛，但并不意味著每一個(gè)數(shù)學(xué)問題都適合換元法解題法.教師在日常教學(xué)中應(yīng)通過逐步滲透的方式，強(qiáng)化其使用技巧，弱化盲目、隨意換元的現(xiàn)象，引導(dǎo)學(xué)生在解答問題之前，對問題進(jìn)行合理地分析，明確換元是否具備轉(zhuǎn)化的條件.同時(shí)，教師在日常教學(xué)中，還應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生對相關(guān)的題目類型進(jìn)行歸納、整合，以便于學(xué)生高效掌握換元的技能.

第二，關(guān)注題目的結(jié)構(gòu)性.在初中數(shù)學(xué)解題中，換元法是一種非常重要的解題方法，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，應(yīng)關(guān)注題目的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，唯有精準(zhǔn)把握數(shù)學(xué)問題的內(nèi)在規(guī)律，才能靈活選擇整體換元、常值換元、倒數(shù)換元的方式來解答題目.例如，在解答根號問題時(shí)，即可選擇三角換元法，將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題，但當(dāng)學(xué)生遇到定義域、奇偶問題時(shí)，就不再適合運(yùn)用這種解題方法.

第三，還應(yīng)關(guān)注換元的等價(jià)性.在借助換元法解答數(shù)學(xué)問題時(shí)，其本質(zhì)特征是利用變量進(jìn)行替換.這就要求在具體的教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生注重新元和舊元之間要保持等價(jià).否則，就會出現(xiàn)偏差，影響學(xué)生的解題效率.而要做到這一點(diǎn)，在日常教學(xué)中，應(yīng)適當(dāng)引入針對性的訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生通過針對性的等價(jià)換元訓(xùn)練，掌握換元解題的技巧^［6］.

5?結(jié)束語

綜上所述，換元解題是一種非常重要的解題方法，通過換元法的應(yīng)用，可借助新元素代替問題中的“舊元”，另辟蹊徑，將原本復(fù)雜的問題簡單化、將非標(biāo)準(zhǔn)的問題標(biāo)準(zhǔn)化，真正提升學(xué)生的解題效率.鑒于此，教師在日常教學(xué)中，唯有徹底轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的解題教學(xué)模式，基于換元法的內(nèi)涵，將其靈活應(yīng)用到各類題目的解答中，才能促使學(xué)生在日常解題訓(xùn)練中感悟還原解題法的內(nèi)涵，掌握換元解題的技能等，真正提升學(xué)生的換元解題能力.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 李元杰.初中數(shù)學(xué)解題中換元法例題解析［J］.數(shù)理天地（初中版），2022（18）：29-30.

［2］ 李光寰.換元法思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用［J］.學(xué)周刊，2022（23）：54-56.

［3］ 孟小娟.怎樣用換元法解初中數(shù)學(xué)題［J］.語數(shù)外學(xué)習(xí)（初中版），2021（12）：26-27.

［4］ 于海峰.論換元法在初中數(shù)學(xué)解方程中的應(yīng)用［J］.現(xiàn)代中學(xué)生（初中版），2021（20）：26-27.

［5］ 賴振華.換元法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用［J］.數(shù)理化解題研究，2020（17）：13-14.

［6］ 楊成能.換元法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用分析［J］.讀寫算，2020（2）：70.