湯曉萌 王曉峰

摘要：2021年蘇州工業(yè)園區(qū)中考一模第 28題是一道平面幾何新定義問題 ，分三個層次設(shè)計 ，考查相似三角形、黃金分割點、圓的有關(guān)性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識 ，以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識、思想方法探索規(guī)律、解決問題的能力。本題的命制從初始問題出發(fā) ，在分析解答的基礎(chǔ)上 ，通過對 “相似分割線 ”這個新定義的理解 ，運(yùn)用靜態(tài)與動態(tài)兩種圖形研究方法 ，對兩個關(guān)聯(lián)的三角形中不變的結(jié)論和變化的規(guī)律進(jìn)行了深入的研究 ，進(jìn)而居高臨下 ，考慮學(xué)情 ，推敲細(xì)節(jié)，打磨成稿。

關(guān)鍵詞 ：數(shù)學(xué)中考 ;試題命制 ;平面幾何 ;新定義 ;相似分割線

一、試題及評析

2021年蘇州工業(yè)園區(qū)中考一模第 28題如下 ：

【理解概念】

分別經(jīng)過兩個不相似的直角三角形的直角頂點的兩條直線 ，分別把這兩個直角三角形分成兩個小三角形 ，當(dāng)一個直角三角形中的一個小三角形與另一個直角三角形中的一個小三角形相似時 ，另外兩個小三角形也相似，則稱這樣的兩條直線叫作這兩個直角三

角形的相似分割線 。【鞏固新知】

（1）如圖 1、圖 2，在 △ABC和 △DEF中，∠ACB =∠DFE =90°，∠ACP =∠D， ∠DFQ=∠A。

①求證 ：CP、FQ分別是 △ABC和

△DEF的相似分割線 ;

②若 AC=6，BC=8，DF=8，EF=4，求

AP的長?！就卣固岣摺?/p>

（2）如圖 3，AB為 ☉O的直徑 ，點 C、D在☉O上，CP、DQ分別是 △ABC和 △ABD的相似分割線 ，且△ACP∽△DAQ。

①若點 P是AB的黃金分割點 ，則點 Q是否也是 AB的黃金分割點 ？說明理由 ;

②若∠ABC=30°，AC=2。當(dāng) CP⊥DQ時，試在圖 4中畫出 △ABD及CP、DQ的大致位置 ，并直接寫出 AP的長。

本題是一道平面幾何新定義問題 ，分三個層次設(shè)計 ：第一層次是 “相似分割線 ”概念的理解 ;第二層次是在概念理解的基礎(chǔ)上靜態(tài)探究結(jié)論 ，并實際操作計算 ;第三層次是在靜態(tài)探究的基礎(chǔ)上動態(tài)探究規(guī)律 ，并利用規(guī)律解決問題。引導(dǎo)學(xué)生探究隱藏在兩個關(guān)聯(lián)的三角形中不變的結(jié)論和變化的規(guī)律 ，考查學(xué)生對相似三角形、黃金分割點、圓的有關(guān)性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識的掌握情況 ，以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識、思想方法探索規(guī)律、解決問題的能力 ，能夠讓不同水平的學(xué)生充分展示自己的探究水平 ，有良好的效度和區(qū)分度。

二、命題緣起

“三角形 ”“四邊形 ”和“圓”是初中平面幾何的核心知識板塊 ，自然也是重要考查內(nèi)容。以往的考查 ，多是在一個圖形內(nèi)部的考查 ，而不是對兩個圖形之間聯(lián)系的考查 ;多是靜態(tài)或動態(tài)的考查 ，而不是動態(tài)與靜態(tài)相結(jié)合的考查。同時 ，主要是以三角形或四邊形為載體產(chǎn)生圖形的變化 ，而很少與圓相結(jié)合 ，以圓為背景形成圖形的變化。

強(qiáng)化 “核心素養(yǎng)導(dǎo)向 ”是數(shù)學(xué)試題命制的出發(fā)點和落腳點。為此 ，需要關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì) ，關(guān)注通性通法 ，綜合考查 “三會 ”統(tǒng)領(lǐng)下的 “四基”與“四能 ”。新定義試題是以 “新知 ”為載體，突出考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識與思想方法在新情境下分析、解決問題的能力 ，通常沒有固定的解法 “套路 ”與 “技巧 ”，可以有效地考查學(xué)生的 “真知識 ”“真思維 ”“真能力 ”。此外 ，解答題形式的新定義試題一般由 “文本理解 ”“新知內(nèi)化 ”“靈活應(yīng)用 ”這三個由淺入深的部分構(gòu)成 ，這和 “三會 ”的理念具有高度的一致性。

由此 ，命題組決定 ，命制一道與上述核心知識有關(guān)的平面幾何新定義試題 ，作為整卷的壓軸題。

三、命題過程

（一）初始問題的選取及分析

我們選取的作為命題素材的初始問題如下 ：

在兩個不相似的直角三角形中 ，分別存在經(jīng)過直角頂點的一條直線 ，把直角三角形分成兩個小三角形后 ，如果第一個直角三角形分割出來的一個小三角形與第二個直角三角形分割出來的一個小三角形相似 ，那么分割出來的另外兩個小三角形也相似。把這樣的兩條直線稱為這兩個直角三角形的相似分 割線 。

如下頁圖 5、圖 6，直線 CG、DH分別是兩個不相似的 Rt△ABC和 Rt△DEF的相似分割線 ，CG、DH分別與斜邊 AB、EF交于點

G、H，如果 △BCG與 △DFH相似 ，并且 AC =3，AB =5，DE =4，DF =8，那么 AG =。

“相似分割線 ”這個新定義簡單明了 ，它建立了兩個直角三角線被分割成的兩組三角形（存在兩組內(nèi)角互余、一組內(nèi)角互補(bǔ)的關(guān)系）之間的相似關(guān)系。

解決這個問題之前 ，先要明確 ：當(dāng)△BCG ∽△DFH時，另外兩個三角形 ，即△ACG和

△DEH是怎么對應(yīng)相似的 ？有沒有多種對應(yīng)方式 ？由 △BCG∽△DFH可得 ∠BCG= ∠F，∠B =∠FDH，由互余關(guān)系不難得到 ∠ACG=∠E，∠A=∠EDH，所以 △ACG∽

△DEH。由此可見 ，當(dāng)給出 △BCG∽△DFH時，另一組對應(yīng)關(guān)系也唯一確定。

由上述過程可得 ，當(dāng) △BCG ∽△DFH時，CG、DH分別是兩個直角三角形的相似分割線。而若 ∠BCG=∠F，∠B=∠FDH，則

△BCG∽△DFH。故可以得到相似分割線的構(gòu)造方法 ：過點 C作 CG，使得 ∠BCG= ∠F，過點 D作 DH，使得 ∠FDH =∠B，則直線 CG、DH分別是兩個直角三角形的相似分割線。由此可以得到結(jié)論 ：任意兩個不相似的直角三角形一定分別存在相似分割線。

明確了 “相似分割線 ”背景下三角形相似的對應(yīng)關(guān)系 ，以及 “相似分割線 ”的構(gòu)造方法 （存在性 ）之后 ，利用兩組三角形之間的相似關(guān)系 ，不難解決本題 ：

因為 ∠ACB=90°，AC=3，AB=5，所以 BC=4。根據(jù)題意可得 △ACG ∽△DEH， AG AC 3 BG

△BCG∽△DFH，所以 DH =DE =4，DH

BC 4

=DF =8。設(shè) AG=3x，則 DH =4x，BG=

2x。由 AG+BG=AB，可得 3x+2x=5，解得x=1，所以 AG=3。

可見 ，本題以 “相似分割線 ”為背景考查這個新定義表層的特征 ，解題時只是簡單地用到了三角形相似。

（二）對“新定義 ”的深入研究命題組感覺到 “相似分割線 ”這個新定義有著豐富的內(nèi)涵 ，便對其進(jìn)行了深入研究。

1.靜態(tài)研究

靜態(tài)研究指在靜止?fàn)顟B(tài)下研究圖形 ，一是對圖形相關(guān)要素的研究 ;二是通過某些特殊的方法構(gòu)造出新圖形及新要素 ，對構(gòu)造出的圖形及要素進(jìn)行研究。這是圖形研究的基本方法。

先研究 AG 的值。解答初始問題的過程

BG

給人一種微妙的感覺 ：AG 的值很特殊 ，決定

BG

了分割成的兩個三角形 （實際上決定了點 G的位置 ，也就決定了分割線 CG的位置 ），而且由最初兩個不相似的直角三角形的形狀確定。考慮一般情況 ，不妨設(shè) Rt△ABC和 Rt△DEF中，CA=a，CB=b，DE=c，DF= d，由△ACG∽△DEH，△BCG∽△DFH，可AG AC aBG BC b AG

得DH =DE =c ，DH =DF =d ，所以 GB =

ad

bc，為定值。

FH FH

再研究 EH的值。類比猜想 EH的值也

AG

很特殊 ，大膽猜測其和 BG的值相等。證明方

法還是利用 △ACG ∽△DEH，△BCG ∽

△DFH，一是得到 CG AC =a ，CG BC

EH =DE cFH =DF b FH ad CG AG

=d ，所以 EH =bc;二是得到 EH =DH ，

CG BG 所以 FH AG 。

FH =DH ，EH =BG

在此基礎(chǔ)上重新構(gòu)圖。點 G和點 H在相應(yīng)斜邊上的位置關(guān)系是對應(yīng)的 （分相應(yīng)斜邊所成的比相等）。比如 ，若 G是線段 AB的黃金分割點 ，則 H是線段 FE的黃金分割點。那么 ，當(dāng)兩個斜邊一樣長時 ，它們被分成的兩組線段對應(yīng)相等。即當(dāng) AB=FE時，AG= FH，BG=EH。由此 ，命題組進(jìn)行了簡化圖形的嘗試 ：如圖 7，設(shè)計兩個共斜邊的不相似 （也就是不全等 ）的直角三角形 ，以及它們的相似分割線。顯然 ，在圖 7中，由 △ACP ∽

△DAQ，△BCP∽△DBQ，有 AP=BQ。

2.動態(tài)研究

動態(tài)研究指在運(yùn)動狀態(tài)下研究圖形 ，從而更好地揭示圖形變化中蘊(yùn)含的不變性 ，并且探究圖形變化的一些其他規(guī)律。這是圖形研究的重要方法。

為了更好地探究圖 7中圖形的內(nèi)在聯(lián)系，可以改變兩個直角三角形的形狀。由兩個直角三角形有公共的斜邊 ，不難想到可以將它們放入同一個圓中 ：以 AB的中點 O為圓心、AB為直徑作圓 ，則點 C、D在圓 O上。此時 ，不僅有 AP=BQ，而且有 OP=OQ。

在此基礎(chǔ)上 ，命題組利用 “幾何畫板 ”軟件進(jìn)一步探索變化規(guī)律 ，發(fā)現(xiàn) ：

（1）點 C、D在線段 AB的同側(cè)時 ，由角相等易得 CP∥DQ。利用圓的對稱性 ，可以重新思考相似分割線的構(gòu)造方法 ：如圖 8，作直徑 DD'（找點 D關(guān)于圓心 O的對稱點 D'），連接 CD'交AB于點 P，作直徑 CC'（找點 C關(guān)于圓心 O的對稱點 C'），連接 DC'交AB于點 Q，則CP、DQ分別是兩個直角三角形的相似分割線。證明只要利用 “同弧所對的圓周角等于圓心角的一半 ”和“對頂角相等 ”，得到

11

∠BCP=2∠BOD'=2∠DOA =∠DBQ，

11

∠BDQ=2∠BOC'=2∠COA=∠CBP。

由此做進(jìn)一步探索 ：如圖 9，延長 DQ交圓 O于點 E，連接 EB，則由 △ACP ∽

△DAQ，可得 ∠ACP =∠DAQ，∠CAP = ∠ADQ，由同弧所對的圓周角相等 ，可得 ∠DAQ =∠BEQ，∠ADQ =∠EBQ，所以 ∠ACP=∠BEQ，∠CAP=∠EBQ，又由 AP =BQ，可得 △ACP≌△BEQ。

（2）點

C、D在線段 AB的異側(cè)時 ，直線 CP與 DQ相交。由角相等可以發(fā)現(xiàn)其中的對稱性 ：如下頁圖 10，設(shè) CP與DQ相交于點 E，由 △ACP ∽△DAQ，可得 ∠CPA = ∠AQD，所以 ∠QPE=∠PQE，從而 PE=QE，即△PQE是等腰三角形 ，故點 E在線段 PQ （或直徑 AB）的垂直平分線上 ，即在過點 O且垂直于 PQ（或 AB）的直線上運(yùn)動。通過 “幾何畫板 ”軟件的操作 ，可得點 E的運(yùn)動軌跡為射線FO。

此時做進(jìn)一步探索 ，可得相似分割線新的構(gòu)造方法 ：如圖 11，過點 D作平行于直徑 AB的弦 DD'（找點 D關(guān)于直徑 AB中垂線的對稱點 D'），連接 CD'交AB于點 P，過點 C作平行于直徑 AB的弦 CC'（找點 C關(guān)于直徑 AB中垂線的對稱點 C'），連接 DC'交 AB于點 Q，則CP、DQ分別是兩個直角三角形的相似分割線。利用等弧所對的圓周角相等 ，容易證明這個構(gòu)造方法等價于之前作角相等的構(gòu)造方法。

（三）試題成稿

將“相似分割線 ”概念的有關(guān)性質(zhì) （及判定）研究透了 ，命制試題便可居高臨下 ，重在考慮學(xué)情 ，推敲細(xì)節(jié) ，打磨成稿。

1.“理解概念 ”部分成稿

新定義試題命制的前提 ，是正確地給出 “新定義 ”，以便學(xué)生能更好地理解以及應(yīng)用和拓展?；诔跏紗栴}中 “相似分割線 ”的定義，命題組在試題 “理解概念 ”部分給出了上述“新定義 ”。在此過程中 ，解決了下面兩點疑惑 ：

（1）

為什么要求兩個直角三角形不相似 ？如果兩個直角三角形相似 ，那么存在無數(shù)種分割方式符合相似分割 ，不具有特殊性。

（2）

由一組小三角形相似是否一定可得另一組小三角形也相似 ？也就是 ，能否表述

為“如果第一個直角三角形分割出來的一個小三角形與第二個直角三角形分割出來的一個小三角形相似 ，那么分割出來的另外兩個小三角形也相似 ”？按照上述構(gòu)造 ∠BCG= ∠F，∠FDH =∠B的方式 ，由 △BCG ∽

△DFH可得 △ACG∽△DEH。但是 ，還有其他構(gòu)造一組小三角形相似的方式 ：如圖 12，在 Rt△ABC中構(gòu)造 ∠ACG =∠E，在 Rt△DEF中構(gòu)造 ∠DHE=∠A，顯然 △ACG ∽△HED，但△BCG和△DFH不相似 （可選取一個特殊情況 ，如 ∠A =53°，∠B =37°， ∠E=63°，∠F=27°來驗證）。因此 ，為了避免產(chǎn)生歧義 ，試題中的表述變?yōu)?“當(dāng)一個直角三角形中的一個小三角形與另一個直角三角形中的一個小三角形相似時 ，另外兩個小三角形也相似 ”。

2.“鞏固新知 ”部分成稿

基于對初始問題的靜態(tài)研究 ，命題組在試題的 “鞏固新知 ”部分設(shè)計了上述兩問。第

①小問考查對 “相似分割線 ”概念的理解 ，基于對概念的理解 ，需要證明兩組三角形相似。第②小問為探索 P、Q兩點之間的聯(lián)系 （分相應(yīng)斜邊所成的比相等 ）做了鋪墊。若直接給出相似分割線的條件 ，要求第 ②小問 ，那么 ，作為壓軸題的第 （1）問難度太大 ，而且學(xué)生對概念的理解會不夠深刻。

在此過程中 ，解決了這樣一點疑惑 ：初始問題中交代了 “兩個不相似的直角三角形的相似分割線 ”，又交代了 “△BCG與 △DFH 相似 ”，后面這個條件能不能省略 ？

實際上 ，對“當(dāng)一個直角三角形中的一個小三角形與另一個直角三角形中的一個小三角形相似時 ，另外兩個小三角形也相似 ”，是需要分類討論的。一種是初始問題后面給出的條件確定的相似方式 ———同側(cè)的兩個小三角形對應(yīng)相似。若重新組合 ，還可以有異側(cè)的兩個小三角形對應(yīng)相似 ：如圖 13，△BCG與△EDH相似、△ACG與 △FDH相似。進(jìn)一步研究可以發(fā)現(xiàn) ，這時相似的對應(yīng)關(guān)系只能是 △BCG∽△DEH，△ACG∽△DFH，相應(yīng)的構(gòu)造方法是作 ∠BCG=∠E，作 ∠EDH =∠B。若 △BCG ∽△DHE或 △BCG ∽

△HDE或 △BCG ∽△HED，則均得不到

△ACG與 △DFH相似。也就是說 ，兩個不相似的直角三角形是有兩對相似分割線的。

對第二對相似分割線 （異側(cè)的兩個小三角形對應(yīng)相似 ，如圖 13）做進(jìn)一步研究 ，可以

AG EH acAG CG AC a

發(fā)現(xiàn) BG =FH =bd DH =FH =DF =d ，

BG CG BC b

DH =EH =DE =c。

由此 ，讓兩個不相似的直角三角形共斜邊，如圖 14。顯然 ，由 △ACP ∽△DBQ，

△BCP∽△DAQ，可得 P、Q重合 ，∠APC =∠DPB。

進(jìn)一步 ，將兩個共斜邊的直角三角形放入以公共斜邊為直徑的圓中探究 ：

（1）點

C、D在線段 AB同側(cè)時 ，∠APC =∠DPB說明 CP、DP關(guān)于過點 P的 AB

的垂線對稱。利用圓的對稱性 ，可以重新思考相似分割線的構(gòu)造方法 ：如圖 15，過點 D作垂直于直徑 AB的弦 DD'（找點 D關(guān)于直徑AB的對稱點 D'），連接 CD'交AB于點 P

（Q），則CP、DP分別是兩個直角三角形的相似分割線。利用等弧所對的圓周角相等 ，容易證明這個構(gòu)造方法等價于之前作角相等的構(gòu)造方法。

（2）點 C、D在線段 AB異側(cè)時 ，∠APC =∠DPB說明 CP、DP共線。由此可得相似分割線新的構(gòu)造方法 ：如圖 16，連接 CD交 AB于點 P（Q），則 CP、DP分別是兩個直角三角形的相似分割線。根據(jù)同弧所對的圓周角相等 ，不難證明 △ACP∽△DBP，△BCP ∽△DAP。

仔細(xì)比較可以發(fā)現(xiàn) ，若將其中一個直角三角形繞公共斜邊的中點 O旋轉(zhuǎn) 180°，則兩對相似分割線 （兩種對應(yīng)相似方式 ）可以相互轉(zhuǎn)化 ，即圖 8和圖 16可以相互轉(zhuǎn)化 ，圖 11和圖15可以相互轉(zhuǎn)化。因此 ，題目給出同側(cè)兩個小三角形對應(yīng)相似的分割方式 ，避免學(xué)生過多的分類討論。

3.“拓展提高 ”部分成稿

基于對初始問題的動態(tài)研究 ，命題組在試題的 “拓展提高 ”部分設(shè)計了上述兩問。第①小問借助黃金分割點探索 P、Q兩點之間的聯(lián)系 （分相應(yīng)斜邊所成的比相等 ，這里為分公共斜邊所得的線段對應(yīng)相等）。第 ②小問則進(jìn)一步拓展 ，考查 C、D在線段 AB異側(cè)的情況 ：給出了兩條相似分割線垂直的條件，要求學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)兩條相似分割線與直角三角形的公共斜邊 （圓的直徑 ）所圍成的等腰直角三角形 ，確定相似分割線與公共斜邊的夾角為 45°，再結(jié)合已知條件和前一問得到的 P、Q兩點之間的聯(lián)系 ，確定 P、Q兩點與點 O的左右位置關(guān)系 ，從而作出如圖 17所示的圖形 ，利用銳角三角函數(shù)解 △CAP （∠CPA=45°，∠CAP=60°，AC=2），求得 AP的長。

命制第 ②小問時 ，命題組有這樣幾點思考 ：（1）只探索發(fā)現(xiàn)兩條相似分割線與直角三角形的公共斜邊圍成等腰三角形 ，對壓軸題的最后一問而言 ，難度還不夠 ，而且與 “鞏固新知 ”部分問題的銜接遞進(jìn)關(guān)系不緊密 ，因此 ，進(jìn)一步讓學(xué)生利用發(fā)現(xiàn)的等腰三角形性質(zhì)解決一個解三角形 （求邊長 ）的問題 ;（2）如果兩個直角三角形都是動態(tài)變化的 ，那么討論起來會比較復(fù)雜 ，因此提供具體邊與角的數(shù)據(jù) ，限定一個直角三角形 ，使得 P、Q兩點與點 O的左右位置關(guān)系可以確定 ;（3）考慮過考查兩條相似分割線的交點 E與點 A的距離的最小值 ，但是 ，發(fā)現(xiàn)容易猜出結(jié)果 ，因此 ，沒有加進(jìn)題目中。

四、一點感悟

平面幾何新定義試題呈現(xiàn)的結(jié)構(gòu)通常為“給出圖形的新定義 —探索圖形的新性質(zhì) —運(yùn)用圖形的新性質(zhì)解決問題 ”，設(shè)問的層次通常為從簡單到復(fù)雜、從特殊到一般。這遵循了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和認(rèn)識事物的一般規(guī)律。反思上述新定義試題的命制過程 ，我們認(rèn)識到 ：理解概念重要的不僅是概念如何定義 ，而且是概念能夠引出哪些性質(zhì) （具有哪些表征 ）;研究圖形重要的不僅是發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論 ，而且是采用了怎樣的思想方法。這正是數(shù)學(xué)課程性質(zhì)中的抽象結(jié)構(gòu)思想[1]和數(shù)學(xué)課程目標(biāo)中的核心素養(yǎng)導(dǎo)向 [2]的體現(xiàn)。

參考文獻(xiàn) ：

[1][2]中華人民共和國教育部 .義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) （2022年版 ）[S].北京 ：北京師范大學(xué)出版社 ，2022：1，11.