孫程程

摘要：數(shù)學(xué)教學(xué)的習(xí)題設(shè)計要聚焦幾個核心問題——注重習(xí)題的變式，一題多解，習(xí)題設(shè)計要體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)，習(xí)題訓(xùn)練中能暴露新知的易錯點，善于在習(xí)題中滲透數(shù)學(xué)思想方法.追求精益求精的習(xí)題設(shè)計能力是值得持之以恒探索的課題.

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng)；習(xí)題設(shè)計；知識結(jié)構(gòu)化；數(shù)學(xué)思想

羅增儒老師說過，誰也無法教會所有的題，重要的是通過有限道題的學(xué)習(xí)，領(lǐng)悟那種可以解決無限道題的數(shù)學(xué)素養(yǎng).高昂的時間成本是教學(xué)活動難以逾越的障礙，一節(jié)課如果內(nèi)容太多，任務(wù)太重，學(xué)生很忙，思考力就難以提升.因此，作為教學(xué)設(shè)計者和執(zhí)行人的教師，要反復(fù)研讀教材，在尊重學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的前提下設(shè)計合理可行的習(xí)題，體現(xiàn)教學(xué)重難點，不讓學(xué)生做廉價的發(fā)現(xiàn)、無畏的探索.教師在習(xí)題設(shè)計中要恰當(dāng)?shù)卦O(shè)置障礙，讓學(xué)生的思維始終處于活躍狀態(tài).鑒于此，筆者結(jié)合多年初中數(shù)學(xué)一線教學(xué)經(jīng)驗，具體談?wù)劤踔袛?shù)學(xué)教學(xué)中“習(xí)題設(shè)計”的理念.

1 精心設(shè)計習(xí)題的變式

變式教學(xué)具有得天獨厚的優(yōu)勢，它不是一味地灌輸知識，而是點燃思維的火焰.變式可以引領(lǐng)學(xué)生不斷面對新的問題，運用所學(xué)知識來解決問題，逐步讓知識向深處漫溯，形成知識結(jié)構(gòu)的建構(gòu)，從而促進(jìn)思維能力的提高.善于變式體現(xiàn)了一個教師的專業(yè)功底.好的變式是一節(jié)好課的心臟，能讓一節(jié)課“活”起來，觸發(fā)學(xué)生的思考.各變式之間，要具備并列或遞進(jìn)的關(guān)系，要具有層次性，由易到難，層層遞進(jìn)，環(huán)環(huán)相扣，前一個問題是后一個問題的基礎(chǔ)與鋪墊，即思維逐層深入，逐步拓展，達(dá)到“會一題通一類”的效果.

下面以“勾股定理”中的習(xí)題為例進(jìn)行變式設(shè)計.

例 在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=3，b=4，求c的長.

變式1 如圖1，一棵垂直于地面的樹被臺風(fēng)吹倒，在離樹頂部5 m處折斷，樹頂距樹底部4 m，則樹高為_________m.

分析：已知直角三角形斜邊為5，一直角邊為4，則另一直角邊為3.學(xué)生在實際解決中，容易錯把3 m作為答案，忘記樹高還要再加折斷的5 m，正確答案應(yīng)是8 m.

設(shè)計意圖：變式1在勾股定理的基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)的思維來解決實際問題.變式1用勾股定理搭建思維的扶梯，用數(shù)學(xué)的眼光來看待現(xiàn)實生活中的實際問題，體會數(shù)學(xué)的價值與意義.

變式2 一直角三角形的兩邊長分別為3和4，則此直角三角形的第三邊長為_________.

分析： 邊長4可以作直角邊，也可以作斜邊.①當(dāng)4為直角邊時，第三邊為5；②當(dāng)4為斜邊時，第三邊為7.

設(shè)計意圖： 變式2從實際問題再回歸到數(shù)學(xué)問題，例題及變式1的解決，為變式2做了足夠的鋪墊，凸顯了分類討論思想，屬于暴露易錯點的變式.變式1到變式2的過渡，從形象到抽象，關(guān)注了知識的內(nèi)涵和外延，增強了學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的感悟以及對數(shù)學(xué)技能的掌握，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.

變式3 如圖2，三個正方形的邊圍成一個直角三角形，兩個正方形的面積分別為225和144，則正方形A的面積是_________.

設(shè)計意圖：把勾股定理融入變式中，從數(shù)到形，數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生在最近發(fā)展區(qū)引發(fā)思考，促進(jìn)思維的進(jìn)階，深度參與解決問題.

變式4 如圖3，在直線l上依次擺放著七個正方形，已知斜放置的三個正方形的面積分別是1，2，3，正放置的四個的正方形的面積依次是S₁，S₂，S₃，S₄，則S₁+S₂+S₃+S₄=_________.

設(shè)計意圖：變式4屬于拓展型變式，熟練方能收獲巧思，通過變式，增加重復(fù)的價值，比投身題海戰(zhàn)術(shù)收效更大.認(rèn)知結(jié)構(gòu)上的同化與順應(yīng)，促進(jìn)新圖式構(gòu)建與元認(rèn)知能力的發(fā)展，充分挖掘思維潛能，發(fā)展思維的靈活性與深刻性.

變式5 如圖4是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別為20 dm，3 dm，2 dm，A和B是這個臺階兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到B點最短路程是多少？

設(shè)計意圖：臺階中的最值問題，讓學(xué)生感悟解決現(xiàn)實問題要關(guān)注數(shù)學(xué)知識背景，在建立模型的過程中學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，有效拓展，深刻理解模型的關(guān)鍵條件，強化數(shù)學(xué)建模意識，把復(fù)雜問題化歸為簡單熟悉的問題，將知識縱向遷移，提高解題能力.

變式是鞏固新知識的好方法，運用變式教學(xué)，層層遞進(jìn)，逐步深挖，突破思維定式，激起學(xué)生好奇心.通過一系列的變式教學(xué)，始終圍繞“勾股定理”這個知識“點”，通過變式串成一條“線”，再拓展延伸成“面”.將所學(xué)知識融會貫通，在潤物無聲中培養(yǎng)學(xué)生的探知能力，實現(xiàn)從理解知識到掌握知識的飛躍，提升并發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2 善于設(shè)計一題多解的習(xí)題

培養(yǎng)思維不設(shè)限，一題多解，多方面多角度思考，可以拓寬思路，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，提升思維的廣闊性、深刻性、靈活性、批判性、獨創(chuàng)性；知道為什么這樣做，還可以怎么做.學(xué)生思維一旦激活，奇思妙想就會宛如“千樹萬樹梨花開”，既鞏固了技能，又培養(yǎng)了能力，比再練一道同類題目收益更大.

如：若x=2是一元二次方程x²+4x-p=0的一個根，求該方程的另一個根.

解法一：把 x=2代入方程x²+4x-p=0，得4+8-p=0，解得p=12.

把p=12代入方程x²+4x-p=0，得x²+4x-12=0，解得x₁=2，或x₂=-6.

所以方程的另一個根為-6.

解法二：設(shè)方程的一個根x₁=2，另一個根為x₂，由根與系數(shù)關(guān)系，得2+x₂=-4，解得x₂=-6.

本題以一元二次方程為載體，通過一題多解，讓學(xué)生感受到應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系解題的優(yōu)越性，體現(xiàn)發(fā)展為本的理念，讓學(xué)生從“惑”中走出來，知識、素養(yǎng)、經(jīng)驗、智慧都拾級而上.

3 設(shè)計體現(xiàn)知識結(jié)構(gòu)、串聯(lián)新舊知識點的習(xí)題

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》課程實施中提出的教學(xué)建議為整體把握教學(xué)內(nèi)容，注重教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化.

如，人教版“23.2.3關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)”的教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生探索并掌握了“平面內(nèi)的兩個點關(guān)于原點對稱，橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”這一規(guī)律時，筆者設(shè)計如下習(xí)題.

如：已知二次函數(shù)y=ax²+4ax+4a-1的圖象是C₁，求C₁關(guān)于原點（0，0）成中心對稱的圖象C₂的函數(shù)解析式.

解析：二次函數(shù)的解析式可以化為y=a（x+2）²-1，

所以其頂點坐標(biāo)為（-2，-1）.

于是與C₁關(guān)于原點（0，0）成中心對稱的圖象C₂的頂點坐標(biāo)為（2，1），且開口與C₁相反.

故C₂的解析式為y=-a（x-2）²+1.

拓展 二次函數(shù)y=a（x-h）²+k（a≠0）關(guān)于原點中心對稱的拋物線C₂的解析式是什么？你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

解析：二次函數(shù)y=a（x-h）²+k關(guān)于原點成中心對稱的圖象開口與原圖象相反，頂點坐標(biāo)是原頂點坐標(biāo)（h，k）的相反數(shù)，即（-h，-k）.

所以C₂解析式為y=-a（x+h）²-k.

延伸 二次函數(shù)y=a（x-h）²+k（a≠0）關(guān)于x軸對稱的拋物線C₂的解析式是什么？你又發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

解析：二次函數(shù)y=a（x-h）²+k關(guān)于x軸對稱的圖象開口與原圖象相反，頂點坐標(biāo)與原頂點坐標(biāo)（h，k）關(guān)于x軸對稱，即（h，-k）.

所以C₂的解析式為y=-a（x-h）²-k.

歸納：關(guān)于某點成中心對稱即是把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180°，其特征為無論作何種變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此|a |永遠(yuǎn)不變.求變換后的拋物線的解析式時，可以先確定原拋物線的頂點坐標(biāo)及開口方向，再確定變換后拋物線的頂點坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其變換后拋物線的一般表達(dá)式.

設(shè)計意圖：把坐標(biāo)平面內(nèi)“點”的中心對稱遷移到“拋物線”的中心對稱或軸對稱，綜合應(yīng)用了中心對稱、軸對稱和二次函數(shù)的聯(lián)系，提高學(xué)生的知識遷移能力.因此，習(xí)題設(shè)計的“結(jié)構(gòu)化”體現(xiàn)了課時內(nèi)容的疊加，把碎片化的知識點有機整合起來，把不同章節(jié)的新舊知識點串聯(lián)起來，由新知聯(lián)想舊知，通過對比、分析、推理，深入理解知識的內(nèi)涵和外延，豐富知識網(wǎng)絡(luò)，完善知識體系，形成高效教學(xué)，提升并發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

4 善于在習(xí)題中滲透數(shù)學(xué)思想方法

以“轉(zhuǎn)化思想”為例：如圖5，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P為邊BC上一動點（且點P不與點B，C重合），PE⊥AB于點E，PF⊥AC于點F，則EF的最小值為（）.

A.4 B.4.8 C.5.2 D.6

本題立足于“垂線段最短”這一知識“生長點”，由已知條件可得四邊形AEPF為矩形，鎖定已知，構(gòu)建聯(lián)系；利用矩形對角線相等的性質(zhì)，把線段EF的長轉(zhuǎn)化為AP的長；再根據(jù)垂線段最短原理，利用等積法即可求解.此過程中讓學(xué)生積極參與探索，了解問題的實質(zhì)，產(chǎn)生新舊知識沖突，感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的快樂，真正做到“懂”“通”“透”，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理能力，對數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升起到“春風(fēng)化雨，潤物無聲”的效果.

數(shù)學(xué)教學(xué)的習(xí)題設(shè)計能力是每一個教師需要終身修煉的教學(xué)基本功.它需要教師深入研讀教材，重視教材內(nèi)容的解讀，聚焦核心素養(yǎng)，把要傳授的內(nèi)容濃縮體現(xiàn)在習(xí)題之中，并將其加工滲透于習(xí)題之中，而這又是專業(yè)基本功的體現(xiàn).因此，在教師生涯中，追求精益求精的習(xí)題設(shè)計能力是值得持之以恒探索的課題.