彭純莉 汪曉勤

【摘 要】初中數(shù)學(xué)教科書(shū)中的幾何概念和命題大多可以在古希臘數(shù)學(xué)典籍《幾何原本》中找到源頭，《幾何原本》中的有關(guān)內(nèi)容能為留白創(chuàng)造式教學(xué)提供問(wèn)題源泉和思想啟迪。本文通過(guò)具體的例子來(lái)分析《幾何原本》中的有關(guān)定義、公理、命題和思想方法在留白創(chuàng)造式教學(xué)中的具體運(yùn)用，初步總結(jié)了六種留白策略：留陳述之白，促定義創(chuàng)新；留方法之白，助表征轉(zhuǎn)化；留論證之白，引思維延伸；留發(fā)現(xiàn)之白，致新知?jiǎng)?chuàng)獲；留問(wèn)題之白，激探究興趣；留超越之白，啟思想升華。

【關(guān)鍵詞】《幾何原本》；留白創(chuàng)造式教學(xué)；HPM；初中數(shù)學(xué)

一、引言

如何在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力，是擺在當(dāng)今教師面前的重要課題。近年來(lái)，“留白創(chuàng)造式”這一新的教學(xué)方式被提出，強(qiáng)調(diào)在課堂教學(xué)中為學(xué)生留出足夠的思維空間和探究機(jī)會(huì)，讓他們?cè)谧灾鲗W(xué)習(xí)過(guò)程中創(chuàng)獲新知、陶熔品性。［1］在留白創(chuàng)造式教學(xué)中，教師的留白通常包含陳述之白、方法之白、論證之白、發(fā)現(xiàn)之白、問(wèn)題之白和超越之白等六種形式，而數(shù)學(xué)史為留白的設(shè)計(jì)提供了問(wèn)題源泉和思想啟迪。［2-4］

古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的《幾何原本》是一部傳播幾何學(xué)知識(shí)的偉大著作，是數(shù)學(xué)史上最早用公理化思想鑄造完整演繹邏輯體系的經(jīng)典，具有重要的地位和深遠(yuǎn)的影響，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)圣經(jīng)”。19世紀(jì)以前，《幾何原本》是學(xué)校數(shù)學(xué)教育的主要內(nèi)容，歐幾里得幾乎成為幾何學(xué)的代名詞；20世紀(jì)初，在培利運(yùn)動(dòng)的影響下，此書(shū)逐漸失去了往日的輝煌；到了今天，中學(xué)數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)和內(nèi)容都已發(fā)生巨大的變化，此書(shū)的教育價(jià)值更加不受重視。

歐幾里得的留白啟發(fā)了后世數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新——新的方法、新的命題甚至新的學(xué)科，《幾何原本》這部名著對(duì)于創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)依然有獨(dú)特的參考價(jià)值。目前，《幾何原本》中的部分內(nèi)容已被運(yùn)用于HPM教學(xué)之中?；诖?，本文通過(guò)具體的例子來(lái)分析歐幾里得的有關(guān)定義、公理、命題和思想方法在留白創(chuàng)造式教學(xué)中的運(yùn)用，為教學(xué)提供參考。

二、留陳述之白，促定義創(chuàng)新

數(shù)學(xué)概念是導(dǎo)出數(shù)學(xué)定理和法則、分析和解決問(wèn)題的基礎(chǔ)，李邦河院士曾說(shuō)：“數(shù)學(xué)玩的是概念，而不是純粹的技巧?！保?］根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，需要培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解和運(yùn)用能力。

同一個(gè)數(shù)學(xué)概念，古今定義往往不同。在教學(xué)中，教師可以參考?xì)W幾里得對(duì)某個(gè)幾何概念的定義，讓學(xué)生嘗試自己下定義，從而留下“陳述之白”。

《幾何原本》卷一根據(jù)邊和角對(duì)四邊形進(jìn)行分類(lèi)，其中長(zhǎng)方形的定義是：在四邊形中，四個(gè)角都是直角，但四邊不全相等的，叫作長(zhǎng)方形。卷二又給出矩形的定義：有兩鄰邊夾直角的平行四邊形稱(chēng)為矩形。在第一個(gè)定義中，長(zhǎng)方形不包含正方形，而在第二個(gè)定義中，矩形包含了正方形。可見(jiàn)，在歐幾里得眼里，長(zhǎng)方形和矩形并不完全相同。

在“矩形的判定”教學(xué)中，教師首先拋出問(wèn)題：“什么樣的四邊形是矩形？”學(xué)生給出了以下回答：

·四個(gè)角都是直角的四邊形是矩形。

·由四個(gè)相等的角組成的四邊形為矩形。

·兩組對(duì)邊分別平行，且有一個(gè)角為直角的四邊形是矩形。

·兩組對(duì)邊分別相等，且有一個(gè)角為直角的四邊形是矩形。

·一組對(duì)邊平行且相等，且有一個(gè)角為直角的四邊形是矩形。

·對(duì)角線(xiàn)相等且互相平分的四邊形是矩形。

……

教師讓學(xué)生在黑板上展示上述定義，并將它們與歐幾里得的兩個(gè)定義進(jìn)行比較。經(jīng)過(guò)討論，學(xué)生得到結(jié)論：這些定義都與歐幾里得的矩形定義等價(jià)，都可以敘述成“有一個(gè)角是直角的平行四邊形稱(chēng)為矩形”。

實(shí)際上，教師可以進(jìn)一步留白，啟發(fā)學(xué)生提出新的定義：上述定義中，有的定義涉及四個(gè)角，有的定義涉及一個(gè)角，那么利用三個(gè)角或兩個(gè)角可以定義矩形嗎？學(xué)生可能會(huì)進(jìn)一步提出：

·有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。

·有一組對(duì)角是直角，且有一組對(duì)邊平行的四邊形是矩形。

·有一組對(duì)角是直角，且有一組對(duì)邊相等的四邊形是矩形。

·有一組對(duì)角是直角，且兩條對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形是矩形。

·有兩個(gè)鄰角是直角，且有一組對(duì)邊相等的四邊形是矩形。

·有兩個(gè)鄰角是直角，且兩條對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形是矩形。

……

教師還可以讓學(xué)生進(jìn)一步思考為何歐幾里得的第一個(gè)定義與今天不同，從而讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，沒(méi)有平行線(xiàn)的知識(shí)，對(duì)四邊形進(jìn)行分類(lèi)是很不方便的。

三、留方法之白，助表征轉(zhuǎn)化

我們今天用符號(hào)來(lái)表達(dá)的代數(shù)公式或恒等式，在16世紀(jì)以前的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中往往都是以幾何圖形來(lái)表征的，這是因?yàn)樵陧f達(dá)（F. Viète）創(chuàng)立符號(hào)代數(shù)之前，人們不會(huì)用字母來(lái)表示任意數(shù)或一類(lèi)數(shù)。因此，數(shù)學(xué)史為培養(yǎng)學(xué)生的表征轉(zhuǎn)化能力提供了參照。在代數(shù)公式的教學(xué)中，教師可以借鑒歐幾里得的幾何命題，設(shè)計(jì)剪紙、拼圖或構(gòu)造無(wú)字證明等活動(dòng)，讓學(xué)生自主推導(dǎo)或驗(yàn)證有關(guān)公式，從而留下“方法之白”。

丹麥著名數(shù)學(xué)史家鄒騰（H. G. Zeuthen）曾經(jīng)指出，《幾何原本》卷二采用了“幾何代數(shù)法”，即用幾何方法解決代數(shù)問(wèn)題。如該卷命題3提出：若任意兩分一線(xiàn)段，則由整條線(xiàn)段與分線(xiàn)段之一所夾的矩形等于兩分線(xiàn)段所夾的矩形與上述分線(xiàn)段上的正方形之和。［6］用今天的代數(shù)符號(hào)表達(dá)，該命題說(shuō)的就是a（a+b）=a2+ab，如圖1所示。同卷命題4提出：若一條線(xiàn)段被任意分成兩段，則整條線(xiàn)段上的正方形等于兩條分線(xiàn)段上的正方形之和再加上兩條分線(xiàn)段所構(gòu)成的矩形的兩倍。［6］用今天的代數(shù)符號(hào)來(lái)表達(dá)，該命題說(shuō)的就是（a+b）2=a2+2ab+b2，如圖2所示。

在課例“完全平方公式”［7］中，教師通過(guò)“已知正方形的面積，求邊長(zhǎng)”問(wèn)題引入（a+b）2的計(jì)算，在學(xué)生用代數(shù)方法推導(dǎo)出公式后，教師提出問(wèn)題“能否用幾何方法來(lái)驗(yàn)證該公式呢？”，引導(dǎo)學(xué)生利用歐幾里得的圖形在符號(hào)表征和圖形表征之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

《幾何原本》卷二命題5提出：如果把一條線(xiàn)段分成相等的線(xiàn)段，再分成不等的線(xiàn)段，則由兩不等線(xiàn)段所夾的矩形與兩分點(diǎn)之間一段上的正方形之和等于原線(xiàn)段一半上的正方形。［6］在課例“平方差公式”中，在學(xué)生應(yīng)用平方差公式解決計(jì)算問(wèn)題（如39.8[×]40.2、99.4[×]100.6）之后，教師提出問(wèn)題“能否用字母寫(xiě)出一般的等式？”，在學(xué)生給出恒等式ab=[a+b22]-[a-b22]之后，教師進(jìn)一步提出問(wèn)題：“古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中給出過(guò)上述等式的幾何證明，你能用幾何方法驗(yàn)證這個(gè)等式嗎？”有了之前用幾何方法驗(yàn)證平方差公式的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生成功地用圖3驗(yàn)證了上述公式。實(shí)際上，圖3簡(jiǎn)化了歐幾里得的原圖。

四、留論證之白，引思維延伸

現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)課程中的幾何命題大多可以追溯至《幾何原本》，但由于教科書(shū)采用的邏輯體系不同于《幾何原本》，因此，對(duì)一些命題的證明也隨之不同。此外，《幾何原本》中的有關(guān)命題往往可以成為有關(guān)數(shù)學(xué)推理的依據(jù)。在命題或問(wèn)題解決的教學(xué)中，教師可以參照歐幾里得的證明方法，讓學(xué)生通過(guò)小組合作對(duì)有關(guān)命題加以證明，從而留下“論證之白”。

《幾何原本》卷一命題5提出：等腰三角形的兩底角相等，將腰延長(zhǎng)，與底邊形成的兩個(gè)補(bǔ)角亦相等。［6］這就是著名的驢橋定理。歐幾里得的證明如下：如圖4，作等腰△ABC，使得AB=AC，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)D，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)E，使得BD=CE，依次證明△ABE△ACD，△BCD△CBE，即得命題的結(jié)論。后世數(shù)學(xué)家對(duì)歐幾里得的證明做了改進(jìn)，如3世紀(jì)末的帕普斯（Pappus）給出鏡像法：如圖5所示，將△ABC看成△ABC和△ACB的疊合，利用邊角邊定理，即得[∠B=∠C]。5世紀(jì)的普羅克拉斯（Proclus）給出攔腰法：如圖6所示，分別在AB和AC上取點(diǎn)D和E，使得AD=AE，依次證明△ABE△ACD，△BCD△CBE，即證得結(jié)論。

在“全等三角形判定”的教學(xué)中，教師在引導(dǎo)學(xué)生證明邊角邊定理之后，提出任務(wù)：利用邊角邊定理，如何證明等腰三角形底角相等？學(xué)生給出了多種不同的證明，其中包括普羅克拉斯的攔腰法和帕普斯的鏡像法，盡管沒(méi)有出現(xiàn)歐幾里得的驢橋法，但與歐幾里得一樣，先后兩次運(yùn)用了邊角邊定理。教師利用古今聯(lián)系策略，對(duì)學(xué)生的證明做出評(píng)價(jià)。

《幾何原本》卷六命題2提出：如果一條直線(xiàn)平行于三角形的一條邊，那么所截的邊成比例；如果三角形的邊被截成比例，那么通過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)平行于三角形的第三邊。［6］歐幾里得運(yùn)用面積的方法來(lái)證明該命題，證明如下：

（1）設(shè)在△ABC中，DE//BC，連接BE和CD。因?yàn)椤鰾DE和△CDE有共同底邊DE，且DE//BC，所以S△BDE = S△CDE，于是得S△BDE[∶]S△ADE = S△CDE[∶]S△ADE，從而B(niǎo)D[∶]AD=CE[∶]AE。

（2）設(shè)△ABC的邊AB和AC被分比例為BD[∶]AD=CE[∶]AE，因BD[∶]AD=S△BDE[∶]S△ADE，CE[∶]AE=S△CDE[∶]S△ADE，故S△BDE[∶]S△ADE = S△CDE[∶]S△ADE，于是S△BDE =S△CDE，DE//BC。

在課例“三角形中位線(xiàn)定理”［8］中，在學(xué)生解決三角形四等分問(wèn)題并通過(guò)剪紙猜想出中位線(xiàn)的性質(zhì)之后，教師提出“證明三角形中位線(xiàn)”的任務(wù)。學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想給出各種證明，包括形與形的轉(zhuǎn)化以及線(xiàn)與面的轉(zhuǎn)化。后一類(lèi)證明類(lèi)比了歐幾里得的方法：如圖7，在△ABC中，因?yàn)锽D=AD，所以S△BDE[=]S△ADE，同理S△CDE=S△ADE，所以S△BDE[=]S△CDE，又因?yàn)橛泄驳譊E，所以DE//BC；因?yàn)镾△EBC[=]S△ABE[=]2S△BDE，又因?yàn)椤鱁BC和△BDE等高，所以BC=2DE。

《幾何原本》卷一命題21提出：以三角形一邊的兩個(gè)端點(diǎn)向三角形以?xún)?nèi)引兩條相交線(xiàn)，那么交點(diǎn)到這兩個(gè)端點(diǎn)的這兩條線(xiàn)段的和小于三角形余下的兩條邊的和，所形成的角大于三角形同側(cè)的內(nèi)角。［6］歐幾里得的證明如下：如圖8，在△ABE中，AB+AE＞BE=BD+DE，在△CDE中，CE+DE＞CD，故得AB+AC=AB+AE+EC＞BD+DE+EC＞BD+CD。上述命題確定了三角形中兩條線(xiàn)段之和的單調(diào)性，成了有關(guān)幾何問(wèn)題解法的依據(jù)。2019年安徽中考的一道數(shù)學(xué)題就是其中一例：如圖9，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F將對(duì)角線(xiàn)AC三等分，且AC=12，點(diǎn)P在正方形的邊上，求滿(mǎn)足PE+PF=9的點(diǎn)的個(gè)數(shù)。該題的解題思路為：取點(diǎn)E關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′，連接E′F，交AB于點(diǎn)G，則E′F=[42+82=80]＜9，因此，在AB上點(diǎn)G的上方和下方各有一點(diǎn)P，滿(mǎn)足PE+PF=PE′+PF=9＞E′F。

對(duì)于上述解法，教師可以向?qū)W生提出以下問(wèn)題：為什么在點(diǎn)G的上下各只有一點(diǎn)滿(mǎn)足條件呢？學(xué)生如果能夠說(shuō)明從點(diǎn)G開(kāi)始，點(diǎn)P向上或向下運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，PE′+PF逐漸增大，問(wèn)題就得到了解決。因此，對(duì)于這道中考題的探討，可以讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)與歐幾里得的“對(duì)話(huà)”。

五、留發(fā)現(xiàn)之白，致新知?jiǎng)?chuàng)獲

《幾何原本》中，一些命題的證明過(guò)程往往蘊(yùn)含了新的命題。在教學(xué)中，教師可以讓學(xué)生對(duì)歐幾里得使用的圖形進(jìn)一步加以探究，從中發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論，從而留下“發(fā)現(xiàn)之白”。

《幾何原本》卷一命題47（勾股定理）提出：在任意一個(gè)直角三角形中，直角所對(duì)邊上的正方形，等于兩條直角邊上正方形之和。歐幾里得的證明如圖10所示，在Rt△ABC的三邊上分別作正方形ACDE、BCFG和ABMN，連接BE、AG、CM和CN，過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)H，交MN于點(diǎn)K，利用△ABE△ANC和△ABG△MBC，得到正方形ACDE和BCFG的面積分別等于長(zhǎng)方形ANKH和BMKH的面積，從而得到前兩者之和等于正方形ABMN的面積。

教師讓學(xué)生觀察圖10，進(jìn)一步思考：為什么直線(xiàn)BE、AG和CH交于同一點(diǎn)？為此，分別延長(zhǎng)ED和GF，交于點(diǎn)R，連接AR、BR和CR，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)許多新結(jié)論，例如：（1）Rt△CRDRt△CRF；（2）三點(diǎn)R、C和H共線(xiàn)；（3）AR//NC、BR//MC；（4）BE[⊥]AR、AG[⊥]BR；（5）EB=AR、GA=BR；（6）△AGR△BRE；（7）BE、AG和CH交于同一點(diǎn)O，點(diǎn)O是△ABR的垂心；（8）RH2=AF2+CH2；等等。作更多的輔助線(xiàn)，可發(fā)現(xiàn)更多新的結(jié)論。

六、留問(wèn)題之白，激探究興趣

《幾何原本》中的許多命題都留下了進(jìn)一步探究的空間。在教學(xué)中，教師可以介紹若干基于數(shù)學(xué)史的問(wèn)題提出策略［9］，進(jìn)而選擇《幾何原本》的某個(gè)命題作為出發(fā)點(diǎn)，讓學(xué)生通過(guò)條件操作、目標(biāo)操作、對(duì)稱(chēng)互換等策略，提出新的數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而留下“問(wèn)題之白”。

對(duì)于《幾何原本》卷一命題16（在任意三角形中，若延長(zhǎng)一邊，則外角大于任何一個(gè)內(nèi)對(duì)角），運(yùn)用對(duì)稱(chēng)互換策略，學(xué)生可以提出問(wèn)題：“如果一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都大于其不相鄰的內(nèi)角，那么該多邊形是否一定為三角形？”又如，針對(duì)卷一命題47，運(yùn)用對(duì)稱(chēng)互換策略，學(xué)生可以提出問(wèn)題：“在一個(gè)三角形中，如果一邊上的正方形面積等于另兩邊上的正方形面積之和，那么該三角形一定是直角三角形嗎？”運(yùn)用條件操作策略，學(xué)生可以提出如下問(wèn)題：

（1）若在直角三角形的三邊上分別作三個(gè)半圓，則其面積有何關(guān)系？（圖11）

（2）若在直角三角形的三邊上分別作以三邊為對(duì)應(yīng)邊的相似三角形，則其面積有何關(guān)系？（圖12）

（3）如何作一個(gè)正方形，使其面積等于已知長(zhǎng)方形的面積？（圖13）

《幾何原本》卷一命題37提出，同底且在相同的兩條平行線(xiàn)之間的三角形彼此相等。教師可以引導(dǎo)學(xué)生將該命題與軌跡問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，進(jìn)而提出如下新問(wèn)題：

（1）等腰三角形的底邊固定，則其頂點(diǎn)的軌跡是什么？

（2）三角形的底邊固定，其頂點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，三角形的面積保持不變，則頂點(diǎn)的軌跡是什么？

（3）三角形的底邊固定，其頂點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，三角形的面積保持不變，則頂點(diǎn)在什么位置時(shí)三角形的周長(zhǎng)最?。?/p>

（4）三角形的底邊固定，其頂點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，三角形的兩腰之比始終等于2∶1，則頂點(diǎn)的軌跡是什么？

《幾何原本》卷二命題10提出：在一條被二等分的線(xiàn)段的一端按原直線(xiàn)方向加上一條線(xiàn)段，那么，總線(xiàn)段上的正方形與加線(xiàn)段上的正方形之和，等于原線(xiàn)段一半為邊的正方形與另一半加上加線(xiàn)段之和為邊的正方形的和的兩倍。［6］采用自由式策略，對(duì)給定的線(xiàn)段賦值，并改變目標(biāo)，可以編制一道新的數(shù)學(xué)問(wèn)題：

如圖14，CE[⊥]AB，CA=CB=CE，EF//AB，DF//CE，F(xiàn)D與EB交于點(diǎn)G。線(xiàn)段賦值：BE=[2]，DB=[12]。

（1）求線(xiàn)段FG的長(zhǎng)度。

（2）設(shè)P是線(xiàn)段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），點(diǎn)P到AE與BE的距離是否為一個(gè)定值，若是，求出此定值。

（3）延長(zhǎng)EC至點(diǎn)H，使得CH=EC，連接BH、GH，求點(diǎn)B到GH的距離。

七、留超越之白，啟思想升華

在留白創(chuàng)造式教學(xué)中，教師在學(xué)生完成補(bǔ)白之后進(jìn)行古今聯(lián)系，并讓學(xué)生對(duì)命題證明或問(wèn)題解決背后的數(shù)學(xué)思想加以總結(jié)，或選取《幾何原本》中的典型命題及其證明，讓學(xué)生對(duì)其背后的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行提煉，從而留下“超越之白”。

《幾何原本》中的思想方法對(duì)于今日幾何教學(xué)有重要意義。在卷一眾多命題的證明中，學(xué)生可以感受到歐幾里得對(duì)轉(zhuǎn)化思想的普遍使用。如卷一命題20提出：在任何三角形中，任意兩邊之和大于第三邊。歐幾里得的證明如下：如圖15，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)D，使得AD=AC，則AB+AC=AD，于是將△ABC的兩邊之和轉(zhuǎn)化為△DBC的一條邊，在△DBC中，利用大角對(duì)大邊（卷一命題19），即證得結(jié)論。又如，對(duì)于上文提到的卷一命題16，歐幾里得通過(guò)作倍長(zhǎng)中線(xiàn)BF（圖16），將[∠A]轉(zhuǎn)化為[∠ACD]的一部分[∠ACF]，從而證得結(jié)論。

歐幾里得關(guān)于卷一命題47（勾股定理）的證明則是通過(guò)全等三角形實(shí)現(xiàn)正方形與長(zhǎng)方形之間的轉(zhuǎn)化。上文提到的卷六命題2的證明則實(shí)現(xiàn)了線(xiàn)與面的轉(zhuǎn)化。除了轉(zhuǎn)化，《幾何原本》中還有許多其他思想方法，如特殊到一般、分類(lèi)討論等。

此外，關(guān)于勾股定理，中國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽的證明方法（圖17）與歐幾里得迥然不同，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：當(dāng)歐幾里得“遇見(jiàn)”劉徽，他們會(huì)如何評(píng)價(jià)對(duì)方的證明呢？從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)證明功能的深刻理解。

八、結(jié)語(yǔ)

綜上，《幾何原本》在當(dāng)今初中數(shù)學(xué)課堂上大有可為：歐幾里得的定義是古今對(duì)話(huà)的素材，圖形是表征轉(zhuǎn)換的參照，命題是問(wèn)題提出的起點(diǎn)，方法是命題證明的依據(jù)?！稁缀卧尽窞榻袢粘踔袛?shù)學(xué)留白創(chuàng)造式教學(xué)提供了諸多啟示。

首先，增強(qiáng)留白意識(shí)。雖然《幾何原本》是經(jīng)典之作，內(nèi)容豐富，邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，但也處處留白，為后世留下廣闊的探索空間。因此，此書(shū)為初中留白創(chuàng)造式教學(xué)提供了思想啟迪。教師在課堂中應(yīng)讓學(xué)生成為補(bǔ)白的主體，給學(xué)生留下足夠的探究空間。

其次，豐富留白形式。借鑒歐幾里得的有關(guān)定義，可留陳述之白；參照歐幾里得的證明，可留方法之白和論證之白；叩問(wèn)歐幾里得的命題，可留發(fā)現(xiàn)之白和問(wèn)題之白；提煉歐幾里得的思想，可留超越之白。教師在教學(xué)過(guò)程中，可以設(shè)置不同的探究活動(dòng)，在新知引入、問(wèn)題設(shè)計(jì)、概念辨析、定理證明、公式推導(dǎo)、德育實(shí)施等環(huán)節(jié)進(jìn)行留白。

再次，確定留白策略。在留白創(chuàng)造式教學(xué)中，陳述之白、發(fā)現(xiàn)之白對(duì)應(yīng)“是什么”，論證之白對(duì)應(yīng)“為什么”，方法之白、問(wèn)題之白和超越之白對(duì)應(yīng)“還有什么”。因此，提出問(wèn)題是留白的策略之一，典型的問(wèn)題有“什么樣的四邊形是矩形”“如何證明三角形中位線(xiàn)定理”“可否用幾何方法驗(yàn)證完全平方公式”“歐幾里得運(yùn)用了什么思想方法”等；否定屬性策略改編問(wèn)題是留白的另一策略，可以讓學(xué)生編制豐富多彩的數(shù)學(xué)問(wèn)題，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新能力。

最后，加強(qiáng)補(bǔ)白評(píng)價(jià)。利用《幾何原本》中的素材實(shí)施留白創(chuàng)造式教學(xué)時(shí)，教師可以利用古今對(duì)照的策略，對(duì)學(xué)生的補(bǔ)白成效做出評(píng)價(jià)，使學(xué)生得以跨越時(shí)空，與古希臘數(shù)學(xué)家“對(duì)話(huà)”，從而提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心。例如，當(dāng)學(xué)生用拼圖法驗(yàn)證完全平方公式，用面積法證明三角形中位線(xiàn)定理時(shí)，教師可以稱(chēng)贊他們想數(shù)學(xué)家之所想，是“小小的數(shù)學(xué)家”。

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（責(zé)任編輯：潘安）