李亞瓊 寧連華

【摘 要】結(jié)構(gòu)化教學(xué)是新課標(biāo)背景下深化課堂教學(xué)改革的重要方式，有助于培養(yǎng)學(xué)生的結(jié)構(gòu)性思維，有效發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)知識觀視角下的結(jié)構(gòu)化教學(xué)，需要基于數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu)，以現(xiàn)行教材單元重構(gòu)知識，關(guān)注單元與單元、課時與單元之間的關(guān)聯(lián)性、承接性來設(shè)計教學(xué)，使得學(xué)生獲得更為系統(tǒng)的知識和經(jīng)驗。結(jié)構(gòu)化教學(xué)需要關(guān)注教材的二次開發(fā)，指向知識重組；需要基于學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)階，關(guān)注課堂留白；需要設(shè)計評價任務(wù)貫穿教學(xué)始終，指向教學(xué)評一致性。本文以圓的復(fù)習(xí)課作為研究對象進(jìn)行教學(xué)實踐反思：以解題為載體，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識再建構(gòu)；設(shè)置課堂留白，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行開放性思考；設(shè)置問題鏈，關(guān)注教學(xué)過程中評價任務(wù)的貫穿性。

【關(guān)鍵詞】結(jié)構(gòu)化教學(xué)；數(shù)學(xué)知識觀；學(xué)習(xí)進(jìn)階；教學(xué)評一致性

一、引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂版）》（簡稱“2017課標(biāo)”）中強(qiáng)調(diào)“優(yōu)化課程結(jié)構(gòu)”“突出數(shù)學(xué)主線，凸顯數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯和思想方法”的基本理念。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“2022課標(biāo)”）強(qiáng)調(diào)“設(shè)計體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化特征的課程內(nèi)容”，并倡導(dǎo)“設(shè)立跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)活動，加強(qiáng)學(xué)科間相互關(guān)聯(lián)，帶動課程綜合化實施，強(qiáng)化實踐性要求”［1］。教學(xué)中，教師必須把握數(shù)學(xué)學(xué)科知識的整體架構(gòu)，關(guān)注數(shù)學(xué)知識的關(guān)聯(lián)性，多角度建立知識的相互聯(lián)系，形成立體化的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。新課標(biāo)背景下，教學(xué)研究應(yīng)重視能在實踐中引起共鳴的教學(xué)思考或者實踐嘗試［2］，以促進(jìn)研究的傳遞性和持續(xù)性。

結(jié)構(gòu)化教學(xué)是新時代背景下深化課堂教學(xué)改革的重要方式，有目的、有計劃地開展結(jié)構(gòu)化教學(xué)，有助于提升學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)化和思維結(jié)構(gòu)化水平，有效發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)，推動育人方式變革。［3］不管是數(shù)學(xué)學(xué)科本身，還是數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間，都存在著聯(lián)系，這就需要教師以整體的眼光，引導(dǎo)學(xué)生明晰數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，并能跳出知識的內(nèi)在框架，完善知識網(wǎng)絡(luò)，構(gòu)建認(rèn)知體系。弗賴登塔爾在《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》中提出：數(shù)學(xué)知識充滿聯(lián)系，數(shù)學(xué)教學(xué)不要教孤立的片段，應(yīng)該教連貫的材料；聯(lián)系不僅僅是學(xué)科內(nèi)部的聯(lián)系，也不完全是數(shù)學(xué)內(nèi)部的聯(lián)系，這種聯(lián)系需要遵循學(xué)科知識發(fā)展的自然邏輯。［4］72-73 數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師會關(guān)注數(shù)學(xué)知識的整體結(jié)構(gòu)，但學(xué)生很難理解整個知識體系，因為整個體系過于抽象，以至于關(guān)注內(nèi)部聯(lián)系的同時容易忽視外部關(guān)聯(lián)。［4］73所以，結(jié)構(gòu)化是教學(xué)的應(yīng)然追尋，強(qiáng)調(diào)教學(xué)中需要追尋知識的整體性和結(jié)構(gòu)性以及教學(xué)本身的結(jié)構(gòu)性。結(jié)構(gòu)化教學(xué)中需要重視知識整體性，但更需要分清知識的層次，在關(guān)注知識內(nèi)部整體性、關(guān)聯(lián)性的同時，也要關(guān)注外部關(guān)聯(lián)性和結(jié)構(gòu)性思維。

數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)中，如何將理念層面的結(jié)構(gòu)化教學(xué)落實到具體數(shù)學(xué)課堂之中，這是需要關(guān)注的。本文基于數(shù)學(xué)知識觀對結(jié)構(gòu)化教學(xué)的支撐作用，剖析數(shù)學(xué)知識觀視角下結(jié)構(gòu)化教學(xué)的特征，并結(jié)合具體教學(xué)案例進(jìn)行結(jié)構(gòu)化教學(xué)實踐反思。

二、數(shù)學(xué)知識觀為結(jié)構(gòu)化教學(xué)提供理論支撐

（一）結(jié)構(gòu)化教學(xué)關(guān)注知識重組

2017課標(biāo)和2022課標(biāo)均指向有效開展結(jié)構(gòu)化教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)。信息化背景、一致性視角等為結(jié)構(gòu)化教學(xué)提供了理論借鑒，而教學(xué)設(shè)計、教學(xué)片段思考、課例分析、變式教學(xué)等則指向結(jié)構(gòu)化教學(xué)的實踐落實。把學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為認(rèn)知結(jié)構(gòu)［5］，要求教學(xué)圍繞知識的核心內(nèi)容，循著“創(chuàng)設(shè)情境激活已有知識—提煉主題建構(gòu)結(jié)構(gòu)化知識—構(gòu)建任務(wù)層級—實踐創(chuàng)新遷移”的教學(xué)實施路徑，對教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)步驟進(jìn)行具體設(shè)計，構(gòu)建結(jié)構(gòu)化教學(xué)體系。結(jié)構(gòu)化教學(xué)強(qiáng)調(diào)模式的構(gòu)建與理解、識別與應(yīng)用、反思與完善，強(qiáng)調(diào)知識的結(jié)構(gòu)化整合，以促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，落實數(shù)學(xué)的育人價值。［6］結(jié)構(gòu)化教學(xué)不僅關(guān)注優(yōu)化學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，而且還強(qiáng)調(diào)促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成。［7］因此，結(jié)構(gòu)化教學(xué)指向知識重組，關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)力的有效提升，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（二）數(shù)學(xué)知識觀助力結(jié)構(gòu)化教學(xué)

數(shù)學(xué)教學(xué)需要基于學(xué)科邏輯，內(nèi)部強(qiáng)調(diào)知識本體和結(jié)構(gòu)的實踐理性，外部強(qiáng)調(diào)主體內(nèi)在性和主體間性的社會建構(gòu)。無論是數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在理性還是外在社會性，都與人的主體性認(rèn)識息息相關(guān)。［8］數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)從數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)和學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，以自主、合作、探究的方式，完善和發(fā)展學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，發(fā)展學(xué)生的學(xué)習(xí)力與研究力。［9］數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)加強(qiáng)對客觀現(xiàn)象的歸納與抽象，提升學(xué)生將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力；引導(dǎo)學(xué)生按照數(shù)學(xué)規(guī)律建構(gòu)數(shù)學(xué)知識，并關(guān)注數(shù)學(xué)理性的局限性。［10］

數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，包括數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)能力結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)狀態(tài)結(jié)構(gòu)（見圖1）。數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)包括數(shù)學(xué)知識自身的邏輯結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)知識之間的組織結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)能力結(jié)構(gòu)包括數(shù)學(xué)思維方法和數(shù)學(xué)問題解決所用的方法、能力。數(shù)學(xué)狀態(tài)結(jié)構(gòu)包含認(rèn)知主體的心理狀態(tài)要求和數(shù)學(xué)精神層面的要求。［11］數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)本質(zhì)是數(shù)學(xué)知識本身所固有的一種內(nèi)在統(tǒng)一性與規(guī)律性，明確數(shù)學(xué)知識的內(nèi)容、能力和狀態(tài)結(jié)構(gòu)是進(jìn)行結(jié)構(gòu)化教學(xué)的前提和基礎(chǔ)。

所以，知識結(jié)構(gòu)不僅需要關(guān)注知識的內(nèi)容維度，更應(yīng)關(guān)注個人知識的能力和狀態(tài)發(fā)展的默會知識維度，回歸數(shù)學(xué)知識生成的本源性問題。結(jié)構(gòu)化教學(xué)需要以數(shù)學(xué)知識觀來指導(dǎo)，關(guān)注學(xué)習(xí)進(jìn)階，以現(xiàn)行教材單元（模塊或主題）重構(gòu)教學(xué)單位，注意單元與單元、課時與單元之間的關(guān)聯(lián)性、承接性，使得學(xué)生獲得更為系統(tǒng)的知識和經(jīng)驗。

三、知識觀視角下結(jié)構(gòu)化教學(xué)的特征

結(jié)合對結(jié)構(gòu)化教學(xué)的再思考，知識觀視角下的結(jié)構(gòu)化教學(xué)需要關(guān)注教材的二次開發(fā)，指向知識重組；需要基于學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)階，關(guān)注課堂留白；需要設(shè)計評價任務(wù)貫穿教學(xué)始終，指向教學(xué)評一致性。

（一）關(guān)注教材的二次開發(fā)，指向知識重組

課時知識是學(xué)生開展結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)知識重組的來源。單元是有意義的知識組織集合，教材中的單元往往是一類數(shù)學(xué)知識的集合，教師可以在參考教材單元編排形式的基礎(chǔ)上，以單元知識為載體重組單元、創(chuàng)生單元。［7］數(shù)學(xué)教學(xué)中，使用教材時教師常會出現(xiàn)對課時內(nèi)容、知識點和單元結(jié)構(gòu)的“單薄斷層”式、“零散割裂”式以及“失序鋪排”式解讀，如此不利于學(xué)生建構(gòu)知識整體結(jié)構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)。［12］結(jié)構(gòu)化教學(xué)需要關(guān)注知識的整合與拓展，教師可以對不同版本的教材進(jìn)行比較與分析，基于數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu)，豐富教材二次開發(fā)的課程資源，從而促進(jìn)知識重組。

（二）基于學(xué)習(xí)進(jìn)階，設(shè)置課堂留白

學(xué)習(xí)進(jìn)階（Learning Progression）是指，在一個較大時間跨度內(nèi)，學(xué)生對某一主題的思考和認(rèn)識不斷豐富、精致和深入的一種過程，旨在揭示學(xué)生在相當(dāng)長一段時間內(nèi)學(xué)習(xí)和研究某一主題的思考、理解和實踐活動的認(rèn)知發(fā)展。［13］學(xué)習(xí)進(jìn)階可以促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行有效的認(rèn)知構(gòu)建，可以引發(fā)學(xué)生將經(jīng)驗知識轉(zhuǎn)化為科學(xué)知識，形成學(xué)習(xí)范式。結(jié)構(gòu)化教學(xué)的本質(zhì)在于引導(dǎo)學(xué)生開啟智慧，而學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展具有差異化和復(fù)雜性，同時又需要連續(xù)性，若教學(xué)提供不同的認(rèn)知情境，則學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展方向可能會發(fā)生變化。所以，在課堂教學(xué)中，教師需基于學(xué)習(xí)進(jìn)階，有意識地進(jìn)行課堂留白，留出適當(dāng)?shù)臅r間和空間，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)體驗和探究［14］，實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)?；诖?，結(jié)構(gòu)化教學(xué)中，教師需要關(guān)注知識的整體結(jié)構(gòu)性，基于學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)階，設(shè)計課堂留白，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)和創(chuàng)新意識。

（三）設(shè)計評價任務(wù)貫穿教學(xué)始終，指向教學(xué)評一致性

學(xué)生的知識掌握、數(shù)學(xué)理解等是隨著學(xué)習(xí)過程的變化而發(fā)展的，因此教師要重視學(xué)生的學(xué)習(xí)行為和思維過程，通過過程評價激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性。［15］新課標(biāo)背景下的教學(xué)評價應(yīng)融入教學(xué)活動過程的每個環(huán)節(jié)［16］，采用迭代的方式對教學(xué)活動進(jìn)行優(yōu)化，并且要基于學(xué)科素養(yǎng)，關(guān)注知識目標(biāo)、能力目標(biāo)、社會參與目標(biāo)及學(xué)生自主發(fā)展目標(biāo)。在信息技術(shù)快速發(fā)展的大數(shù)據(jù)時代，評價標(biāo)準(zhǔn)逐漸開始關(guān)注“學(xué)”與“評”的內(nèi)在聯(lián)系，樹立“學(xué)生中心”“為學(xué)而教”“以學(xué)評教”等科學(xué)的教學(xué)評價觀。結(jié)構(gòu)化教學(xué)需關(guān)注教材的邏輯與內(nèi)容結(jié)構(gòu)，立足于學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)階，厘清課標(biāo)的相關(guān)要求，分析學(xué)生的認(rèn)知準(zhǔn)備與心理準(zhǔn)備，基于此確立學(xué)習(xí)目標(biāo)，之后確立與之相匹配的評價任務(wù)，并考慮如何將評價任務(wù)嵌入教學(xué)過程，這樣才能體現(xiàn)教學(xué)評的一致性及整體性。

當(dāng)然，結(jié)構(gòu)化教學(xué)不能一味追求知識的形式結(jié)構(gòu)而忽視知識的外在關(guān)聯(lián)性，教學(xué)中教師需要設(shè)置系統(tǒng)化的真實情境，借助情境的融合指向?qū)W生知識結(jié)構(gòu)的建構(gòu)，從而促進(jìn)學(xué)生形成知識遷移能力，達(dá)成學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng)。

四、結(jié)構(gòu)化教學(xué)的實踐反思

基于數(shù)學(xué)知識觀視角下結(jié)構(gòu)化教學(xué)的思考，本文以蘇科版九年級數(shù)學(xué)上冊“圓的復(fù)習(xí)課”一課為研究對象進(jìn)行教學(xué)實踐反思。本文基于這節(jié)課的課堂片段分析，呈現(xiàn)該復(fù)習(xí)課的問題設(shè)計、教學(xué)實施和實踐反思，為優(yōu)化結(jié)構(gòu)化教學(xué)提供借鑒。

（一）以解題為載體，引導(dǎo)學(xué)生再建構(gòu)“圓”的知識

以解題為載體進(jìn)行知識再梳理，是復(fù)習(xí)課教學(xué)的常見模式。結(jié)構(gòu)化教學(xué)并不是要摒棄原有的教學(xué)方式，再創(chuàng)造一種新的教學(xué)方式，而是強(qiáng)調(diào)教師要有結(jié)構(gòu)化的意識，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注知識的整體性和建構(gòu)性。當(dāng)然，這種知識的建構(gòu)過程具有開放性和差異性。

在“圓的復(fù)習(xí)課”中，教師設(shè)計解題任務(wù)：

例1 如圖2，在圓O中，P為圓外一點，PA、PC分別交圓O于B、D，已知PA=PC，求證：AB=CD。

教師通過觀察學(xué)生不同的證明方法，引導(dǎo)學(xué)生歸納用到哪些知識，在此過程中引導(dǎo)學(xué)生對相關(guān)知識進(jìn)行再建構(gòu)。在真實課堂教學(xué)中，學(xué)生呈現(xiàn)了多種方法。

教師追問學(xué)生是如何想到這個方法的，學(xué)生回答利用圓心角和弧的關(guān)系以及弦和弧的關(guān)系。教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考：“在圓的章節(jié)學(xué)習(xí)中，我們要證明線段相等，可以利用剛剛這位同學(xué)的方法，比利用三角形全等的策略更簡便，這也是學(xué)習(xí)圓的相關(guān)性質(zhì)的必要性。還有沒有其他的方法呢？”于是有如下方法：

方法2 連接AC，BD，如圖3所示，四邊形ACDB為圓O的內(nèi)接四邊形。

這個方法利用了圓的內(nèi)接四邊形的外角等于其內(nèi)對角，巧妙地解決了問題。課堂中還有其他方法：利用“同弧所對的圓周角相等”，繼而利用三角形全等以解決問題；觀察弦AB和弦CD，利用垂徑定理也能解決問題。

隨后，教師通過呈現(xiàn)不同的證明方法，引導(dǎo)學(xué)生再建構(gòu)整理圓的相關(guān)知識，同時在黑板上完善歸納（如圖4所示）。

值得再思考的是，這樣的結(jié)構(gòu)圖提煉出來后，就能幫助學(xué)生建構(gòu)知識嗎？解題教學(xué)中，“以題帶點”可以引導(dǎo)學(xué)生通過解決問題回憶知識，并能對原有知識結(jié)構(gòu)進(jìn)行再完善，但通過一道題能完整梳理圓的知識嗎？顯而易見，答案是否定的，所以教師需要設(shè)置幾個變式題組供學(xué)生課后鞏固，并且要求學(xué)生結(jié)合所學(xué)，自己去進(jìn)一步整理、完善圓的相關(guān)知識結(jié)構(gòu)圖。這樣的教學(xué)過程能培養(yǎng)學(xué)生的整體知識觀，同時也培養(yǎng)了學(xué)生的建模能力和抽象素養(yǎng)，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題方法的優(yōu)化，指向培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維能力和創(chuàng)新意識。

（二）設(shè)置課堂留白，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行開放式思考

結(jié)構(gòu)化教學(xué)中，教師需要關(guān)注教學(xué)的不確定性和學(xué)生的差異化，因此知識結(jié)構(gòu)的建構(gòu)過程具有差異性和開放性。教師在教學(xué)中，不要急于知識的提煉，有時需要設(shè)置開放性的問題，在課堂上留白和布白，等待學(xué)生主動參與補(bǔ)白。同時，學(xué)生補(bǔ)白可不急于課上必須完成，知識教學(xué)具有未竟性。比如圓的復(fù)習(xí)課中，教師在完成圖4后，可繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生完成如下變式題的思考。

變式 如圖5，圓O外一點P，過點P的直線切圓O于點A，AC是圓O的直徑，PC交圓O于點B、C，若PB=6，BC=2，求PA的長度。

教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解題過程，主要運(yùn)用“直徑所對圓周角為直角”及在三個直角三角形中運(yùn)用勾股定理，該題的計算量并不大，學(xué)生容易得出結(jié)果。此環(huán)節(jié)基于學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)階設(shè)置問題，在學(xué)生解題過程中啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論（直角三角形相似的相關(guān)性質(zhì)），可以為后續(xù)學(xué)習(xí)相似三角形埋下伏筆。但解題教學(xué)不僅僅是做題，而是要通過一道題去思考一類題的解題策略，甚至可以通過一道題去追問反思，幫助學(xué)生形成知識遷移能力和批判性思維能力。所以，解決該題后，教師可以設(shè)置留白——“證明PA2=PB·PC”，其實就是為后續(xù)學(xué)習(xí)三角形相似作鋪墊。此處留白可以讓學(xué)生課后思考，教師可引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用從特殊到一般的方法，并提供證明思路。

結(jié)構(gòu)化教學(xué)需要有知識結(jié)構(gòu)化提煉的過程，也需要留有空缺，在后續(xù)學(xué)習(xí)中繼續(xù)完善。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個循序漸進(jìn)的過程，具有開放性和未竟性。

（三）巧妙設(shè)置問題鏈，關(guān)注評價任務(wù)的貫穿性

教學(xué)應(yīng)注重教學(xué)評一致性，不僅要關(guān)注“為什么教”“教什么”“教到什么程度”，還要重視“怎么教”的具體指導(dǎo)。教學(xué)評一致性強(qiáng)調(diào)要改變以考試為主和忽視課堂評價的單一評價方式，構(gòu)建素養(yǎng)導(dǎo)向、主體多元、評價維度多元、形式多樣的評價體系。在教育評價范式中，評價不再是教學(xué)之后的一個環(huán)節(jié)，教學(xué)、學(xué)習(xí)、評價逐漸被看成“三位一體”的環(huán)節(jié)，評價應(yīng)與學(xué)習(xí)目標(biāo)相匹配，并持續(xù)鑲嵌于教學(xué)和學(xué)習(xí)的過程之中，教學(xué)、學(xué)習(xí)、評價三者應(yīng)共享目標(biāo)。［17］

利用問題鏈驅(qū)動課堂，教師可關(guān)注即時生成性資源，促使課堂生成，指向?qū)W生的深度學(xué)習(xí)。結(jié)構(gòu)化教學(xué)可借助問題鏈的設(shè)計，將評價任務(wù)貫穿于教學(xué)活動之中，從而激發(fā)學(xué)生的疑惑，引導(dǎo)學(xué)生主動參與思考，完成知識的建構(gòu)。比如在圓的復(fù)習(xí)課教學(xué)中，筆者精心設(shè)置了一些問題，嘗試將評價任務(wù)貫穿于教學(xué)活動中。

問題1 在圓O外畫一點P，請運(yùn)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)P在哪里？

問題2 過P點作一條直線，有多少條？

問題3 不妨取問題2中的兩條直線PA、PC（如圖2），分別與圓O相交于B、D，且PA=PC，求證：AB=CD。

問題4 將問題3的題設(shè)特殊化，若PA與圓O相切，PC與圓O相交于點B（如圖5），此時[△CAP]為直角三角形，若PB=6，BC=2，求PA的長。

問題5 通過問題4的思考，你有什么發(fā)現(xiàn)？

問題6 你能證明PA2=PB·PC？

五、結(jié)語

當(dāng)然，對結(jié)構(gòu)化教學(xué)的研究并不是對原有課堂的全盤否定，教學(xué)具有不確定性，結(jié)構(gòu)化教學(xué)也并非一節(jié)課就能達(dá)成，其具有批判繼承性、系統(tǒng)性和開放性。在新時代背景下，結(jié)合新課標(biāo)和新教材的要求，教師需要考慮教學(xué)的諸多不確定因素，嘗試關(guān)注數(shù)學(xué)知識的關(guān)聯(lián)性，但聯(lián)系不一定是直接的，也不一定是數(shù)學(xué)內(nèi)部的［4］73，還需要考慮知識的外在關(guān)聯(lián)性，使知識的內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu)和外部關(guān)聯(lián)融合共生，這也是結(jié)構(gòu)化教學(xué)需要繼續(xù)思考的方向。

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（責(zé)任編輯：潘安）