朱佳怡

［摘? 要］ 盡管數(shù)學(xué)思考是內(nèi)隱性的，但深度思考是體現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力的重要標(biāo)識。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要用問題驅(qū)動學(xué)生的深度思考，用操作輔助學(xué)生的深度思考，用結(jié)構(gòu)優(yōu)化學(xué)生的深度思考，用互動助推學(xué)生的深度思考。有深度的數(shù)學(xué)思考能有效拓展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的寬度與深度，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效度。

［關(guān)鍵詞］ 小學(xué)數(shù)學(xué)；深度學(xué)習(xí)；深度思考

鄭毓信教授認為，數(shù)學(xué)教學(xué)必須要超越具體的知識、技能層面，要深入學(xué)生的思維層面。深度學(xué)習(xí)的實質(zhì)是學(xué)生“思維深度參與”的學(xué)習(xí)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引發(fā)學(xué)生的深度思考。深度思考是指“以數(shù)學(xué)核心內(nèi)容為載體，以數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、問題解決和數(shù)學(xué)分析為重點的一種思維活動”［１］。盡管數(shù)學(xué)思考是內(nèi)隱性的，但深度思考是體現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力的重要標(biāo)識。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要通過一定的教學(xué)手段激發(fā)學(xué)生深度思考，助推學(xué)生深度思考。

一、用問題引發(fā)學(xué)生深度思考

問題是溝通數(shù)學(xué)學(xué)科知識與學(xué)生已有認識的橋梁。在問題場中，學(xué)生能產(chǎn)生一種內(nèi)在的認知沖突。這種認知沖突是學(xué)生在把握自我已有知識與新知關(guān)系的過程中所產(chǎn)生的一種不適表現(xiàn)。通過認知沖突，學(xué)生會產(chǎn)生積極的心理同化與心理順應(yīng)的內(nèi)在需求。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要精心設(shè)計問題，讓問題能觸及數(shù)學(xué)知識本質(zhì)，能引發(fā)、驅(qū)動學(xué)生的深度思考。在教學(xué)實踐中，筆者發(fā)現(xiàn)，許多教師設(shè)計的問題往往比較膚淺、瑣碎，這樣的問題容易制約學(xué)生的思維。對此，教師要設(shè)計關(guān)鍵性、核心性、主導(dǎo)性的大問題，用大問題驅(qū)動學(xué)生進行深度思考。

相較于傳統(tǒng)的問題，大問題往往能賦予學(xué)生更大的思考時空，能開辟更多的思考可能性。比如，復(fù)習(xí)“2、5的倍數(shù)的特征”“3的倍數(shù)的特征”這一部分內(nèi)容之后，筆者先幫助學(xué)生復(fù)習(xí)鞏固2、3、5的倍數(shù)的特征。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生思考：為什么2、5的倍數(shù)的特征只需要看個位上的數(shù)，而3的倍數(shù)的特征則需要看各個數(shù)位上數(shù)字的和。這是一個牽涉到2、3、5的倍數(shù)特征的本質(zhì)問題，能激發(fā)學(xué)生超越一個數(shù)的倍數(shù)特征的淺表性思考的深層次的數(shù)學(xué)問題。圍繞核心問題，學(xué)生借助教師提供的直觀方塊學(xué)具進行操作。在操作中，學(xué)生逐步理解了一個數(shù)原來是由幾個一、幾個十、幾個百等組成的。

一個整十?dāng)?shù)一定是2、5的倍數(shù)。因此，判斷一個數(shù)是否是2、5的倍數(shù)，關(guān)鍵就是看這個數(shù)個位上的數(shù)是否具備2、5的倍數(shù)的特征。同樣，對于3的倍數(shù)的特征，有的學(xué)生借助于直觀的方塊圖進行探索，有的學(xué)生將10分成9和1，將100分成99和1。幾個十、幾個百、幾個千等不一定是3的倍數(shù)，因此判斷一個數(shù)是否是3的倍數(shù)不能只看個位上的數(shù)。學(xué)生通過觀察、思考發(fā)現(xiàn)，9、99等相關(guān)的數(shù)一定是3的倍數(shù)。因此，判斷一個數(shù)是否是3的倍數(shù)，關(guān)鍵是看一個數(shù)減去若干個9、99、999等剩下來的數(shù)，而這些數(shù)正好是各個數(shù)位上數(shù)字的和。通過引導(dǎo)學(xué)生對2、3、5的倍數(shù)的特征的追問、比較、思考，學(xué)生能深刻地洞察2、3、5的倍數(shù)的特征背后相同的數(shù)理、算理。問題能夠引發(fā)學(xué)生的深度思考，促進學(xué)生的數(shù)學(xué)思維向數(shù)學(xué)知識本質(zhì)更深處漫溯。

問題是驅(qū)動學(xué)生深度思考的動力引擎，不同的問題能產(chǎn)生不同的教學(xué)效果。由點及面地問，能完善學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)；由淺入深地問，能讓學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程；由表及里地問，能讓學(xué)生感受、體驗深度思考的內(nèi)在的魅力。通過問題引領(lǐng)、問題驅(qū)動，實現(xiàn)學(xué)生與數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)過程之間的深度契合，能激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力，助力學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

二、用操作助推學(xué)生深度思考

教育心理學(xué)家皮亞杰認為，“學(xué)生的思維是從動作開始的，如果我們切斷動作與思維的關(guān)聯(lián)，學(xué)生的思維就不能得到充分的發(fā)展”［２］。外顯的操作能讓學(xué)生的思維可視化，是學(xué)生思維的重要支撐。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要重視學(xué)生的操作，讓學(xué)生通過“量一量”“擺一擺”“折一折”“畫一畫”等相關(guān)的操作，充分經(jīng)歷知識的數(shù)學(xué)化誕生過程。在操作過程中，學(xué)生能深刻地把握操作對象的特征，進而認識到操作對象的本質(zhì)、非本質(zhì)屬性。同時，在操作過程中產(chǎn)生的活動經(jīng)驗會沉淀到學(xué)生的內(nèi)心深處，成為學(xué)生的一種數(shù)學(xué)化的能力、素養(yǎng)等。

比如，教學(xué)“長方體和正方體的認識”時，很多教師都會提供一個現(xiàn)成的長方體框架，讓學(xué)生觀察，并在學(xué)生對長方體的特征形成猜想的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生進行驗證。這樣的借助于學(xué)生視覺觀察的學(xué)習(xí)方式，無法讓學(xué)生形成深刻性的學(xué)習(xí)體驗，難以激發(fā)學(xué)生的深度思考。筆者在教學(xué)時為學(xué)生提供了結(jié)構(gòu)性的素材，給學(xué)生提供了動手操作的機會，引導(dǎo)學(xué)生直面長方體的特征。筆者給學(xué)生的主要任務(wù)是：選擇合適的小棒，動手做一個長方體。在這個過程中，學(xué)生積極地思考怎樣的小棒才能搭成一個長方體？于是，學(xué)生積極地選擇相關(guān)規(guī)格的小棒：有的學(xué)生將小棒分為三種不同的規(guī)格，其中每一種規(guī)格的小棒都是4根；有的學(xué)生將小棒分成了4組，每一組都是3根不同規(guī)格的小棒等。顯然，不同學(xué)生思考的路徑不同，操作的表征就不同。教師要尊重學(xué)生的思考路徑，鼓勵學(xué)生開展多樣化操作。在操作的過程中，學(xué)生會積極地調(diào)適自己的思維，讓自己的思維更加嚴謹、科學(xué)、合理。比如，在搭建長方體框架的過程中，有的學(xué)生先做一個長方形，然后建構(gòu)長方體；有的學(xué)生先做了幾個相交于同一個頂點的三條棱的模型，然后借助小棒中的三通將這些模型拼接成一個長方體等。

學(xué)生的數(shù)學(xué)智慧在指尖跳躍。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生進行數(shù)學(xué)操作，能讓學(xué)生直面數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)內(nèi)涵，引導(dǎo)學(xué)生充分地經(jīng)歷、感受、體驗用小棒搭建長方體的過程。學(xué)生積極主動地參與數(shù)學(xué)操作實踐活動，開展有深度的活動體驗，能將活動中的體驗、經(jīng)驗等提煉、抽象為數(shù)學(xué)的思想方法。通過這樣的提煉、抽象過程，能引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的淺層學(xué)習(xí)向深層學(xué)習(xí)過度、躍遷。

三、用結(jié)構(gòu)優(yōu)化學(xué)生深度思考

學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的深度思考，不僅要求學(xué)生通過思考把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，更要求學(xué)生通過思考把握數(shù)學(xué)知識的關(guān)聯(lián)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生對相關(guān)數(shù)學(xué)知識進行結(jié)構(gòu)化的梳理，用結(jié)構(gòu)優(yōu)化學(xué)生的深度思考。通過聯(lián)結(jié)與融通數(shù)學(xué)知識，讓學(xué)生在頭腦中將這些知識連點成線、連線成面、勾面成體；通過結(jié)構(gòu)化的深度思考，優(yōu)化學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)、思維結(jié)構(gòu)，不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思考力、探究力、實踐力。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要關(guān)注數(shù)學(xué)知識的縱向結(jié)構(gòu)，還要關(guān)注數(shù)學(xué)知識的橫向結(jié)構(gòu)。關(guān)注數(shù)學(xué)知識的縱向結(jié)構(gòu)，就是要關(guān)注數(shù)學(xué)知識的來龍去脈、前世今生；關(guān)注知識的橫向結(jié)構(gòu)，就是要關(guān)注數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生在不同數(shù)學(xué)知識之間進行轉(zhuǎn)化、遷移。結(jié)構(gòu)能引導(dǎo)學(xué)生打破思維的固化格局，打破思維的固定邊界，幫助學(xué)生形成由此及彼、由表及里、觸類旁通地思考問題的能力。

關(guān)注數(shù)學(xué)知識的縱向結(jié)構(gòu)，能打通數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在脈絡(luò)；關(guān)注數(shù)學(xué)知識的橫向結(jié)構(gòu)，能打通數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)節(jié)。比如教學(xué)“多邊形的面積”這一部分內(nèi)容時，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生把握每一個圖形面積的推導(dǎo)過程，還要引導(dǎo)學(xué)生把握圖形面積推導(dǎo)過程之間的邏輯關(guān)聯(lián)，把握圖形面積公式表征的關(guān)聯(lián)。比如教學(xué)“三角形的面積”這一部分內(nèi)容時，教師在引導(dǎo)學(xué)生將“三角形的面積”轉(zhuǎn)化成“平行四邊形的面積”或者“長方形的面積”之后，學(xué)生會積極主動地聯(lián)系“平行四邊形面積”的推導(dǎo)過程，并進行深入思考：圖形面積的轉(zhuǎn)化有怎樣的共同點？如此，學(xué)生會主動地對相關(guān)圖形的面積推導(dǎo)進行比較、抽象、概括，從而提煉出轉(zhuǎn)化思想的精髓——將“陌生圖形轉(zhuǎn)化成熟悉圖形”，將“未知圖形轉(zhuǎn)化成已知圖形”。這樣的比較、抽象、概括所形成的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)、方法結(jié)構(gòu)、思想結(jié)構(gòu)，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)積極的正向遷移。

數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)化、整體化、系統(tǒng)化、關(guān)聯(lián)化，有助于促進、優(yōu)化學(xué)生的深度思考；反過來，深度思考也有助于學(xué)生開展系統(tǒng)化的建構(gòu)，有助于學(xué)生進行數(shù)學(xué)知識的整體性認知，有助于引領(lǐng)學(xué)生走向結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)。從這個意義上說，數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)化與學(xué)生的深度思考是相互關(guān)聯(lián)、相互促進的。

四、用互動助推學(xué)生深度思考

互動是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要方式。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的互動包括師生互動、生生互動、生本互動等。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要激發(fā)學(xué)生的互動需求，優(yōu)化學(xué)生的互動媒介，讓不同水平的學(xué)生互補、互促，從而促進學(xué)生的抱團發(fā)展。在師生互動中，學(xué)生的互動類型比較豐富，包括依附性的互動、參與性的互動和融洽性的互動。顯然，互動的最高境界應(yīng)當(dāng)是一種融合性、融洽性的互動。融洽性的互動應(yīng)當(dāng)是一種多維性的互動，多維性的互動有助于促進學(xué)生的數(shù)學(xué)深度思考，有助于促進學(xué)生的數(shù)學(xué)認知建構(gòu)。

只有通過互動，才能有效改變學(xué)生的認知方式、思維方式和行動方式?；硬皇莻鹘y(tǒng)的教師“一言堂”，也不是傳統(tǒng)的教師“唱獨角戲”，而是師生、生生的一種平等的對話、交往。教師要創(chuàng)設(shè)互動的時空，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會互動，讓學(xué)生善于互動、樂于互動等。比如，教學(xué)“用字母表示數(shù)”這一部分內(nèi)容時，筆者引導(dǎo)學(xué)生表示“青蛙”“青蛙的嘴”“青蛙的眼睛”“青蛙的腿”。于是，有的學(xué)生用一個具體的數(shù)來表示，比如“一只青蛙一張嘴、兩只眼睛四條腿”等。采用這樣的表示方法，學(xué)生之間開展積極的互動。

有的學(xué)生說：“這樣的表示方法不具有普遍性，只能表示一種情況。”于是，在互動之中，有的學(xué)生產(chǎn)生了新的表示方法，比如“a只青蛙a張嘴，a只眼睛a條腿”“a只青蛙b張嘴，c只眼睛d條腿”“a只青蛙a張嘴，2a只眼睛4a條腿”等。采用符號字母表示數(shù)量關(guān)系的方式，學(xué)生之間開展了平等的互動與交流：有的學(xué)生認為，青蛙的眼睛、嘴巴、腿的數(shù)量不可能相同；有的學(xué)生認為，最后一種表示青蛙、嘴巴、眼睛、腿的數(shù)量的方式比較合理，不僅具有一種通用性，還可以看出青蛙、青蛙的嘴巴、青蛙的眼睛、青蛙的腿之間的數(shù)量關(guān)系等。在這個過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)認知、數(shù)學(xué)思維等相互碰撞，并基于他人的觀點不斷修正、審視自己的見解、主張等。在不斷交流、互動、碰撞、審視、反思的過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)思考走向深度。

在互動中，教師還要適時地引導(dǎo)學(xué)生思辨。只有引導(dǎo)學(xué)生積極主動地質(zhì)疑、辨析、反思，才能不斷激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)智慧、靈感，啟迪學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新，讓學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)知識的來龍去脈、數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)、關(guān)聯(lián)等。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師用問題驅(qū)動學(xué)生的深度思考，用操作輔助學(xué)生的深度思考，用結(jié)構(gòu)優(yōu)化學(xué)生的深度思考，用互動助推學(xué)生的深度思考，能有效拓展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的寬度與深度，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效度。

參考文獻：

［１］ 朱國榮. 實現(xiàn)數(shù)學(xué)實驗育人價值的路徑探索［Ｊ］. 小學(xué)數(shù)學(xué)教育，２０１８（０８）：７－８.

［２］ 陸麗萍. 設(shè)活“課眼”，掀起數(shù)學(xué)教學(xué)高潮［Ｊ］. 中小學(xué)教師培訓(xùn)，２００１（０１）：４０－４２.