關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；新加坡數(shù)學(xué)；問(wèn)題解決；數(shù)學(xué)建模；教學(xué)法；核心素養(yǎng)

2014年，教育部印發(fā)的《教育部關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見(jiàn)》提出了核心素養(yǎng)這一重要概念，并要求研制發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的體系以及學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)。為呼應(yīng)政策要求，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》首次提出了高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，其中包括數(shù)學(xué)建模等六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。隨后，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“2022課標(biāo)”）明確制定了模型意識(shí)、模型觀念等十大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)，“三會(huì)”之一的“會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界”，也就是善于應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題，而這個(gè)過(guò)程就是數(shù)學(xué)建模。故在小學(xué)階段就要培養(yǎng)學(xué)生的模型意識(shí)，從而發(fā)展模型觀念，以便在日后的現(xiàn)實(shí)生活中靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)建模來(lái)解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。新加坡小學(xué)《數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（2021年版）》（以下簡(jiǎn)稱“2021大綱”）將“問(wèn)題解決”定位于課程結(jié)構(gòu)的核心，將“應(yīng)用與建模”歸納為教學(xué)過(guò)程的重要環(huán)節(jié)[1]。國(guó)際數(shù)學(xué)與科學(xué)教育成就趨勢(shì)調(diào)查研究（TIMSS）和國(guó)際學(xué)生評(píng)估項(xiàng)目（PISA）在數(shù)學(xué)成就的國(guó)際研究中占重要地位。近年來(lái)，新加坡數(shù)學(xué)教學(xué)在TIMSS和PISA測(cè)試中屢次脫穎而出，而這些成就離不開教學(xué)大綱的思想引領(lǐng)，更離不開數(shù)學(xué)建模教學(xué)法的實(shí)踐指導(dǎo)。因此，要培養(yǎng)學(xué)生的模型意識(shí)與模型觀念，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，必須基于問(wèn)題解決來(lái)展開，這也是值得深入剖析和研究的一個(gè)方向。

國(guó)內(nèi)外現(xiàn)有的相關(guān)研究成果主要集中在以下兩方面：第一是新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)法的相關(guān)研究。新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)課程實(shí)施過(guò)程中除了最常用到的CPA模型與模型圖法之外，還有counting建模法、拆分組合建模法、word problem建模法。在新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用與建模的過(guò)程中，還常常使用ICT工具、PBL教學(xué)法、分析圖表的五步框架法，通過(guò)課程設(shè)置、教材處理、教學(xué)策略、學(xué)科綜合等措施來(lái)鞏固數(shù)學(xué)建模對(duì)學(xué)生產(chǎn)生的積極作用。第二是新加坡對(duì)“問(wèn)題解決”和“數(shù)學(xué)應(yīng)用與建?！痹谡n程中的定位的相關(guān)研究。以問(wèn)題解決為核心的五邊形課程框架1990年以來(lái)就一直是小學(xué)數(shù)學(xué)課程的特色，并且有學(xué)者重點(diǎn)解讀了新加坡數(shù)學(xué)課程是如何圍繞問(wèn)題解決來(lái)進(jìn)行設(shè)計(jì)的?？偟膩?lái)說(shuō)，學(xué)界對(duì)新加坡的問(wèn)題解決教學(xué)以及數(shù)學(xué)建模教學(xué)法的研究已經(jīng)取得了一定成果，但仍然處在初步探索階段，尤其是對(duì)以教學(xué)大綱核心思想為指導(dǎo)的研究較為薄弱。新加坡數(shù)學(xué)教學(xué)大綱作為課程的指揮棒，指導(dǎo)著教學(xué)內(nèi)容的制定與教學(xué)方法的實(shí)施。其教學(xué)大綱將問(wèn)題解決作為課程的核心，因此，本文將基于問(wèn)題解決來(lái)剖析新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)的建模教學(xué)法。通過(guò)研究新加坡數(shù)學(xué)課程的最新趨勢(shì)和內(nèi)容構(gòu)建，為我國(guó)落實(shí)課標(biāo)（2022年版）以及數(shù)學(xué)課程改革進(jìn)行橫向?qū)Ρ炔⑻峁﹨⒖?。筆者將以“數(shù)學(xué)建?！睘榍腥朦c(diǎn)對(duì)基于問(wèn)題解決的2021大綱中相關(guān)的內(nèi)容進(jìn)行解讀。

一、新加坡小學(xué)《數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》對(duì)于問(wèn)題解決的強(qiáng)調(diào)

為適應(yīng)教育變革的趨勢(shì)，新加坡教育部于2021年發(fā)布了數(shù)學(xué)教學(xué)大綱，涵蓋小學(xué)一年級(jí)至小學(xué)六年級(jí)的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容。2021大綱不僅是《數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（2013年版）》（以下簡(jiǎn)稱“2013大綱”）的進(jìn)一步發(fā)展，同時(shí)也標(biāo)志著新加坡數(shù)學(xué)教育新篇章的開始。新加坡的數(shù)學(xué)課程總目標(biāo)把問(wèn)題解決放在了數(shù)學(xué)研究中的核心位置，整個(gè)數(shù)學(xué)課程都圍繞著問(wèn)題解決這一核心展開，提倡以數(shù)學(xué)建模為主要手段和媒介，最終培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題解決能力。

（一）課程目標(biāo)：以生活應(yīng)用為旨?xì)w的21世紀(jì)能力培育

新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)教育的獨(dú)特之處在于合理吸收了中西方的教育傳統(tǒng)，制定了頗具新加坡特色的小學(xué)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)。新加坡2021大綱明確指出，數(shù)學(xué)教育旨在培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力，并發(fā)展學(xué)生邏輯推理及問(wèn)題解決能力。在小學(xué)階段，學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和思維得到了極大的刺激，該階段的教育不僅要為他們提供豐富的知識(shí)和技巧，還要為他們的日常生活提供解決問(wèn)題的方法，同時(shí)也要為他們未來(lái)的學(xué)習(xí)打下穩(wěn)固的基礎(chǔ)。與此同時(shí)，該階段的學(xué)習(xí)也要逐步培養(yǎng)學(xué)生對(duì)學(xué)科的信心和興趣，并幫助學(xué)生塑造對(duì)學(xué)科的正確態(tài)度。

基于此，2021大綱規(guī)定課程目標(biāo)為：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念和技能，以便在生活中應(yīng)用并持續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)；以問(wèn)題解決為核心，并將其貫穿數(shù)學(xué)課堂始終，通過(guò)解決問(wèn)題的方法教學(xué)，發(fā)展學(xué)生的思維、推理、溝通、應(yīng)用和元認(rèn)知技能，幫助學(xué)生建立信心，培養(yǎng)其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

（二）課程模型：以問(wèn)題解決為核心的五邊形課程模型

早在1981年，新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱就將問(wèn)題解決當(dāng)作發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要載體。以問(wèn)題解決為核心的五邊形課程模型（如圖1所示）是新加坡教育部于1990年首次在數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中提出的，其基本特征是相對(duì)穩(wěn)定和延續(xù)發(fā)展。首先，五邊形課程模型的相對(duì)穩(wěn)定。從首次引入五邊形課程模型開始，這種模型便被持續(xù)使用了很長(zhǎng)時(shí)間，盡管不同版本的教育大綱在闡述這種模型時(shí)各具特色，然而其總體結(jié)構(gòu)并未因此而產(chǎn)生大規(guī)模調(diào)整。其次，五邊形課程模型的持續(xù)發(fā)展。從縱向來(lái)看，該課程模型適用于小學(xué)到大學(xué)預(yù)科的所有年級(jí)，具有廣泛的適應(yīng)性；從橫向來(lái)看，該課程模型可以貫穿教學(xué)的全過(guò)程，對(duì)教、學(xué)、評(píng)有重要的導(dǎo)向作用。

2021大綱最突出的特點(diǎn)也是其五邊形課程模型，該課程模型以數(shù)學(xué)問(wèn)題解決為核心目標(biāo)，明確將問(wèn)題解決置于課程的中心位置。數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力指的是“在廣泛的范圍內(nèi)，面對(duì)非常規(guī)及開放性問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題時(shí)獲取和應(yīng)用數(shù)學(xué)概念和技能的能力”，該能力依賴著概念、技能、過(guò)程、態(tài)度、元認(rèn)知五個(gè)相互聯(lián)系的關(guān)鍵能力，它們對(duì)促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力的發(fā)展起著不可替代的作用。第一，概念是指解決數(shù)學(xué)問(wèn)題所需要的基本的數(shù)學(xué)知識(shí)；第二，技能是指學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)所使用的操作技能；第三，過(guò)程是指與數(shù)學(xué)問(wèn)題解決有關(guān)的思考技能和探索方法；第四，態(tài)度是指數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情感部分；第五，元認(rèn)知是指在解決問(wèn)題中對(duì)思維過(guò)程的控制能力。從五邊形課程模型圖的位置排列也可以看出這五個(gè)要素的地位并非等量齊觀，概念位于最底部，為數(shù)學(xué)問(wèn)題解決奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)；技能和過(guò)程位于課程模型圖中間的左右兩側(cè)，為數(shù)學(xué)問(wèn)題解決提供了媒介和途徑，它們和概念共同成為問(wèn)題解決中最直接的三個(gè)因素。態(tài)度和元認(rèn)知位于五邊形課程模型圖的最上端，若學(xué)生在問(wèn)題解決時(shí)融入了積極的態(tài)度，并發(fā)展了自己的元認(rèn)知，那么問(wèn)題解決將更加高質(zhì)高效。

（三）教學(xué)過(guò)程：以數(shù)學(xué)建模為媒介的問(wèn)題解決學(xué)習(xí)

1，數(shù)學(xué)建模的價(jià)值：學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)方法解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題

新加坡在20世紀(jì)80年代將數(shù)學(xué)模型引入了課程體系，從那時(shí)候開始，數(shù)學(xué)模型變成了新加坡數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)顯著性標(biāo)志，它是新加坡數(shù)學(xué)課程的標(biāo)志性特點(diǎn)。2003年，新加坡將應(yīng)用與建模引入數(shù)學(xué)課程框架，于2006年頒布的教學(xué)大綱文件中在原“過(guò)程”中的“思維技能和策略”的基礎(chǔ)上，增添“推理、交流和聯(lián)系”以及“應(yīng)用與建?！?，該教學(xué)大綱在2007年正式實(shí)施，自此，教師開始制定關(guān)于數(shù)學(xué)建模的教學(xué)計(jì)劃，為更好地實(shí)施數(shù)學(xué)應(yīng)用和模型教育，新加坡教育學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育學(xué)術(shù)小組、新加坡數(shù)學(xué)教育協(xié)會(huì)于2009年聯(lián)袂舉辦了以“數(shù)學(xué)應(yīng)用與建?！睘橹黝}的2009數(shù)學(xué)教師研討會(huì)（MTC），并將成果匯編成《數(shù)學(xué)應(yīng)用與建?！罚?010年鑒）一書予以出版，為一線教師提供應(yīng)用與模型教學(xué)的可靠參考資料。2013大綱指出，“數(shù)學(xué)建模是制定和改進(jìn)數(shù)學(xué)模型以表示和解決現(xiàn)實(shí)世界問(wèn)題的過(guò)程。通過(guò)數(shù)學(xué)建模，學(xué)生學(xué)會(huì)處理模糊性問(wèn)題，建立聯(lián)系，選擇和應(yīng)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)概念和技能，確定假設(shè)和反映現(xiàn)實(shí)世界問(wèn)題的解決方案，并根據(jù)給定或收集的數(shù)據(jù)做出明智的決定”。2021大綱對(duì)小學(xué)生的數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用進(jìn)行了補(bǔ)充，認(rèn)為“在小學(xué)階段的學(xué)生可能會(huì)遇到各種現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，他們通常會(huì)被要求制定答案并檢查答案的合理性”。

數(shù)學(xué)建模的重要特征之一是數(shù)學(xué)模型與現(xiàn)實(shí)情境緊密關(guān)聯(lián)。Blum和Boromeo指出，數(shù)學(xué)建模始于學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)情境的理解，基于現(xiàn)實(shí)情境建構(gòu)模型是數(shù)學(xué)建模的重要起點(diǎn)。學(xué)生在小學(xué)階段更應(yīng)關(guān)注現(xiàn)實(shí)世界中的問(wèn)題，教師更應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生概括各類現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的共同點(diǎn)，尋找其中的規(guī)律和特征，帶著模型意識(shí)總結(jié)出現(xiàn)實(shí)模型并解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，堅(jiān)持用數(shù)學(xué)的方法來(lái)表述問(wèn)題，在問(wèn)題的背景下檢查答案的合理性。這是學(xué)生未來(lái)提煉抽象數(shù)學(xué)模型、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要基礎(chǔ)和重要技能，他們將支持在二級(jí)水平上的數(shù)學(xué)建模。發(fā)展學(xué)生的模型思維不僅有利于加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的掌握和對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，還有助于在現(xiàn)實(shí)世界和數(shù)學(xué)世界之間搭建橋梁。

2．?dāng)?shù)學(xué)建模的過(guò)程：從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題到數(shù)學(xué)問(wèn)題的四步循環(huán)

Jonathan將問(wèn)題分為兩類，分別是結(jié)構(gòu)良好型問(wèn)題和結(jié)構(gòu)不良型問(wèn)題。一般來(lái)說(shuō)，結(jié)構(gòu)良好型問(wèn)題都有一套清晰的、標(biāo)準(zhǔn)化的條件，至少有一套結(jié)構(gòu)完整的問(wèn)題解決策略或規(guī)則，其答案在大多數(shù)情況下也是能夠確定的。反之，結(jié)構(gòu)不良型問(wèn)題往往與實(shí)際環(huán)境緊密相連，僅存在模糊的預(yù)設(shè)條件，缺乏清晰的應(yīng)對(duì)策略或準(zhǔn)則，而且其答案大多是開放的。教材和課堂中呈現(xiàn)的問(wèn)題通常為結(jié)構(gòu)良好問(wèn)題，但在現(xiàn)實(shí)生活中，學(xué)生要解決的大多是結(jié)構(gòu)不良型問(wèn)題，具有模糊性和開放性。將數(shù)學(xué)應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界的問(wèn)題通常需要建模，并做出合理的假設(shè)和簡(jiǎn)化，使問(wèn)題可以用數(shù)學(xué)的方式表述。新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱明確規(guī)定數(shù)學(xué)建模是解決問(wèn)題的重要環(huán)節(jié)之一，也是發(fā)展學(xué)生問(wèn)題解決能力的重要媒介。教師在教學(xué)過(guò)程中要注重發(fā)展學(xué)生的轉(zhuǎn)換能力和遷移思維，通過(guò)培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的建模能力，幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)世界和現(xiàn)實(shí)世界中靈活轉(zhuǎn)化，從而提高學(xué)生的問(wèn)題解決水平。

2013大綱明確了課堂教學(xué)中的數(shù)學(xué)建模過(guò)程（如圖2所示），并指出“應(yīng)用與建模使得學(xué)生將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)與真實(shí)的世界聯(lián)系起來(lái)，增強(qiáng)對(duì)關(guān)鍵數(shù)學(xué)概念和方法的理解，并培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力。學(xué)生應(yīng)該有機(jī)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)問(wèn)題解決和推理技能來(lái)解決各種問(wèn)題，包括開放式問(wèn)題和現(xiàn)實(shí)世界的問(wèn)題”。數(shù)學(xué)建模的過(guò)程大概可以分為四步。第一步，從實(shí)際問(wèn)題中建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。強(qiáng)調(diào)從現(xiàn)實(shí)世界中理解問(wèn)題，通過(guò)假設(shè)來(lái)簡(jiǎn)化問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的方式來(lái)表示問(wèn)題，進(jìn)而從現(xiàn)實(shí)世界中提煉出數(shù)學(xué)模型。第二步，用數(shù)學(xué)的思維求解數(shù)學(xué)模型。選擇和使用適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法和工具（包括ICT），求得數(shù)學(xué)問(wèn)題的解。第三步，結(jié)合生活實(shí)際解釋結(jié)果。依托實(shí)際的問(wèn)題情境來(lái)解釋數(shù)學(xué)結(jié)果，把數(shù)學(xué)問(wèn)題的解轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題的解，將實(shí)際問(wèn)題和數(shù)學(xué)問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)。第四步，反饋并修正數(shù)學(xué)模型。把實(shí)際問(wèn)題的解反饋到實(shí)際問(wèn)題中，修正并優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。總之，數(shù)學(xué)模型是在數(shù)學(xué)建模的過(guò)程中得到實(shí)際問(wèn)題的反饋并不斷修正和優(yōu)化，因此，數(shù)學(xué)建模的過(guò)程是螺旋式循環(huán)發(fā)展的。

二、新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)基于問(wèn)題解決的建模教學(xué)法的實(shí)踐探索

數(shù)學(xué)建模是新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)的一大特色，其教學(xué)理念為“CAP模型”，在教學(xué)法上具體表現(xiàn)為“模型圖”法、Counting建模法、Math Word Problem建模法。其教學(xué)大綱明確提出，為發(fā)展學(xué)生21世紀(jì)能力，鼓勵(lì)學(xué)生合理使用ICT，即信息通信技術(shù)，故ICT也是小學(xué)數(shù)學(xué)建模過(guò)程中的一項(xiàng)重要技術(shù)支持。

（一）教學(xué)理念：為問(wèn)題解決提供認(rèn)知模型

“CPA認(rèn)知模型”最初是由美國(guó)心理學(xué)家布魯納（ J.S.Bruner）提出的。他認(rèn)為，“人類通過(guò)三種系統(tǒng)來(lái)構(gòu)建他們的世界模型：通過(guò)行動(dòng)、通過(guò)圖像和通過(guò)語(yǔ)言”。新加坡數(shù)學(xué)教育中，基于“CPA認(rèn)知模型”將教學(xué)過(guò)程分為三個(gè)環(huán)節(jié)，即C -Concrete具象化、P-Pictorial形象化和A-Abstract抽象化。小學(xué)生在數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)中以建構(gòu)現(xiàn)實(shí)模型為主要學(xué)習(xí)任務(wù)，即將情境中具象化的物品轉(zhuǎn)化為形象化的圖形、圖表等。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的重點(diǎn)應(yīng)該放在具象化和形象化環(huán)節(jié)，這將為學(xué)生在中學(xué)的抽象化環(huán)節(jié)學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。第一，在具象化環(huán)節(jié)，要結(jié)合具體情境使用數(shù)學(xué)教具、生活中的實(shí)物，通過(guò)親身行動(dòng)和具身感受來(lái)幫助學(xué)生理解、學(xué)習(xí)抽象的數(shù)學(xué)概念。例如，在一年級(jí)“一位數(shù)加一位數(shù)”的課程中，設(shè)置在商店買蘋果的情景，把蘋果當(dāng)作具象化實(shí)物給學(xué)生提供支架，向?qū)W生演示并引導(dǎo)學(xué)生親身感受“3個(gè)蘋果+4個(gè)蘋果=7個(gè)蘋果”的過(guò)程，以此來(lái)幫助學(xué)生理解加法算式“3+4=7”的算法和算理。第二，形象化環(huán)節(jié)是連接具象化和抽象化過(guò)程的關(guān)鍵橋梁，該階段的任務(wù)是“Model Drawing”，主要是從具體實(shí)物過(guò)渡到形象化的圖像，將各個(gè)情境中的具象化實(shí)物用簡(jiǎn)單的幾何圖形來(lái)表示，由此不僅可以幫助學(xué)生建立自己的形象化思維、培養(yǎng)遷移和轉(zhuǎn)化能力，還可以通過(guò)提煉清晰明了、標(biāo)準(zhǔn)化的模型，為抽象化環(huán)節(jié)的過(guò)渡做準(zhǔn)備。以上一個(gè)環(huán)節(jié)中的買蘋果情境為例，新加坡的小學(xué)數(shù)學(xué)教材通常會(huì)先用“3個(gè)蘋果圖+4個(gè)蘋果圖=7個(gè)蘋果”圖來(lái)代替實(shí)物演示，再將蘋果圖轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)化的模塊圖，用“3個(gè)模塊+4個(gè)模塊=7個(gè)模塊”來(lái)表示這種加法，從而起到遷移、推廣的作用。第三，在抽象化環(huán)節(jié)，主要任務(wù)是將形象化階段的圖像轉(zhuǎn)化為抽象數(shù)學(xué)符號(hào)、方程式等數(shù)學(xué)語(yǔ)言。例如，將上述的加法算式轉(zhuǎn)化為“A+B=C”，A和B表示“加數(shù)”，C表示“和”，建立抽象的數(shù)學(xué)模型，有助于孩子們建立全面而系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維，這是初中生在數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)時(shí)的主要任務(wù)。

“CPA認(rèn)知模型”在數(shù)學(xué)理解的視角下，被視為一種關(guān)鍵的理解工具，并且它具備中介的功能。數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí)論模型表明，數(shù)學(xué)需要一定的符號(hào)系統(tǒng)來(lái)注冊(cè)和編碼知識(shí)。符號(hào)本身不具備實(shí)際意義，若將其置于實(shí)物情境中，借助具體實(shí)物來(lái)建構(gòu)媒介，那么符號(hào)便產(chǎn)生了特別的意義。從認(rèn)知發(fā)展階段論的角度出發(fā)，學(xué)生在不同的年齡階段有不同的認(rèn)知發(fā)展任務(wù)，其中7～11歲處于具體運(yùn)算階段，這一階段相當(dāng)于小學(xué)階段。在這個(gè)階段，孩子們的思維方式已經(jīng)展現(xiàn)出一定的靈活性，他們已經(jīng)掌握了長(zhǎng)度、體積、重量和面積等的恒定性，能夠利用具體的物體或者從這些物體中獲取的信息來(lái)進(jìn)行邏輯推理和集群運(yùn)算，但他們的思維仍然需要具體的物體來(lái)當(dāng)作支撐。也就是說(shuō)，該階段是小學(xué)生形象思維發(fā)展的巔峰時(shí)期，教師可以借助具體的事物來(lái)幫助學(xué)生理解數(shù)與數(shù)的關(guān)系，并輔之以模型圖來(lái)促進(jìn)學(xué)生的形象思維發(fā)展，進(jìn)而推動(dòng)后一階段抽象邏輯思維的發(fā)展。

（二）教學(xué)方法：為問(wèn)題解決提供手段

1．“模型圖”法

“模型圖”法起源于20世紀(jì)80年代，最初用于小學(xué)低年級(jí)學(xué)生解決應(yīng)用題，是培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題解決能力的重要策略之一，也是“CPA認(rèn)知模型”在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的具體應(yīng)用?！澳Ｐ蛨D”法通過(guò)落實(shí)“CPA認(rèn)知模型”中的具象化和形象化兩個(gè)環(huán)節(jié)，建構(gòu)具體事物的數(shù)學(xué)模型來(lái)解釋事物內(nèi)在的規(guī)律和關(guān)系，這是該方法的本質(zhì)。“模型圖”法利用圖形將數(shù)量關(guān)系可視化、直觀化，要求用畫圖的方式來(lái)表征事物之間的數(shù)量關(guān)系，促進(jìn)學(xué)生將基于具體情境的數(shù)量關(guān)系形象化，從而幫助他們能夠快速地捕捉到問(wèn)題中有效的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而建構(gòu)一個(gè)清晰的問(wèn)題解決思路。根據(jù)數(shù)學(xué)模型反映事物內(nèi)在規(guī)律和關(guān)系的不同，“模型圖”大致可以分為三類，即部分一整體模型、比較模型、變化模型。部分一整體模型是指將一個(gè)整體分成若干個(gè)部分，它可以用來(lái)表示部分與整體、部分與部分的關(guān)系。比較模型可用來(lái)比較兩個(gè)及以上的量之間多少的關(guān)系，它既可以用來(lái)求差，也可以用來(lái)求和。變化模型是指一個(gè)量增加或減少若干量后與原始量之間的關(guān)系。

2．Counting建模法

Counting建模法是在討論數(shù)量關(guān)系、數(shù)與運(yùn)算、計(jì)數(shù)等方面常用的方法。在使用Counting建模法來(lái)解決問(wèn)題時(shí)，一般需要從分組討論、分步討論和排除法三個(gè)方面來(lái)考慮。分組討論即把總的情況分類為集中互斥的情況來(lái)討論，再把所有情況下的可能性都加起來(lái)。分步討論則是把整個(gè)過(guò)程分成若干個(gè)互不干涉的步驟依次討論。排除法是考慮不符合條件的所有可能，再將它們從所有可能中減去。這三種方法分別對(duì)應(yīng)了加、乘、減三種基本運(yùn)算法則，是新加坡建模教學(xué)中的重要方法之一。

3．MathWord Problem建模法

Math Word Problem建模法常在解決數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題時(shí)用到，其目標(biāo)是在分析給定的數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中提取數(shù)學(xué)信息來(lái)建立相應(yīng)的模型，從而能夠推出正確的表達(dá)式。例如：“甲車和乙車的車速比為9：7，甲乙兩車同時(shí)從相距450km的兩城相對(duì)開出，在4.5小時(shí)之后，兩車之間的距離為90km，請(qǐng)你求出慢車的行駛速度為每小時(shí)多少km?！焙苊黠@，本題是一道典型的相遇問(wèn)題，要建立本題的模型，除了需要結(jié)合最基本的加減乘除法則之外，還需要結(jié)合題目中提到的比例問(wèn)題。

（三）教學(xué)支持：為問(wèn)題解決提供支架

1.ICT工具

ICT（Information Communication Technology）即信息通信技術(shù)，2013大綱提出了三條教學(xué)原則，其中原則3明確指出“教學(xué)應(yīng)將學(xué)習(xí)與真實(shí)世界聯(lián)系起來(lái)，利用信息和通信技術(shù)工具發(fā)展21世紀(jì)能力”。教學(xué)大綱將“問(wèn)題解決”置于課程模型的核心地位，而小學(xué)生要解決的多為生活中的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中提煉出現(xiàn)實(shí)模型是數(shù)學(xué)建模的第一步，也是小學(xué)生數(shù)學(xué)建模的重點(diǎn)內(nèi)容。ICT工具也是解決數(shù)學(xué)建模問(wèn)題的重要工具，小學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該“創(chuàng)造小組合作的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生運(yùn)用ICT工具解決建模問(wèn)題”。學(xué)生可以運(yùn)用ICT工具幫助自己表征數(shù)學(xué)問(wèn)題、收集數(shù)據(jù)并分析數(shù)據(jù)、呈現(xiàn)數(shù)學(xué)模型和復(fù)雜的計(jì)算過(guò)程等。

在小學(xué)階段，常用的ICT工具有計(jì)算器、計(jì)算機(jī)軟件、互聯(lián)網(wǎng)等。第一，計(jì)算器是新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中常用的工具，其《數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（2006年版）》明確提出“使用計(jì)算器有助于發(fā)展學(xué)生的高階思維”，這是新加坡有史以來(lái)第一次明確提出鼓勵(lì)學(xué)生使用計(jì)算器。所以，從2007年開始，新加坡各個(gè)小學(xué)開始鼓勵(lì)五、六年級(jí)的學(xué)生在合適的數(shù)學(xué)活動(dòng)中使用計(jì)算器來(lái)解決各種數(shù)學(xué)問(wèn)題。第二，教師通常會(huì)利用計(jì)算機(jī)軟件來(lái)展示數(shù)學(xué)模型建立的過(guò)程或展示相關(guān)的結(jié)果，例如Word、PowerPoint、Ex-cel、幾何畫板、Tinker Plots、Fathom等計(jì)算機(jī)軟件已在數(shù)學(xué)課堂中投入使用。要建立、檢驗(yàn)和修正數(shù)學(xué)模型，就需要依賴大量的數(shù)據(jù)，計(jì)算機(jī)具有記憶容量大、通信功能強(qiáng)的優(yōu)勢(shì)和特點(diǎn)，利用計(jì)算機(jī)軟件可以有效提高統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的效率并為學(xué)生提供視覺(jué)效果豐富的動(dòng)態(tài)建模過(guò)程。第三，互聯(lián)網(wǎng)已成為當(dāng)前重要的信息通信工具。將互聯(lián)網(wǎng)當(dāng)作工具進(jìn)行數(shù)學(xué)建模有助于提供相關(guān)閱讀材料；幫助學(xué)生樹立正確的知識(shí)觀，讓學(xué)生知道知識(shí)廣泛地存在于生活中；互聯(lián)網(wǎng)可利用儲(chǔ)存量大、記憶力強(qiáng)的特點(diǎn)，為師生提供建構(gòu)、驗(yàn)證和優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的數(shù)據(jù)庫(kù)?？傊?，運(yùn)用ICT工具的能力是學(xué)生21世紀(jì)能力的重要組成部分，ICT工具不僅可以通過(guò)形象化的方式模擬和再現(xiàn)數(shù)學(xué)模型，促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，而且可以提高課堂教學(xué)的效率。

2．?dāng)?shù)學(xué)建模資源工具包

新加坡的數(shù)學(xué)建模資源工具包對(duì)建模行為分成了“理解和簡(jiǎn)化問(wèn)題”“處理問(wèn)題并發(fā)展數(shù)學(xué)模型”“對(duì)問(wèn)題的結(jié)果做出解釋”以及“檢驗(yàn)與驗(yàn)證”四個(gè)方面。首先，學(xué)生在面對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題時(shí)，需要理解問(wèn)題的本質(zhì)，排除干擾條件來(lái)簡(jiǎn)化信息。通過(guò)假設(shè)、識(shí)別并建構(gòu)變量及變量關(guān)系來(lái)理解問(wèn)題、簡(jiǎn)化問(wèn)題。其次，學(xué)生需要選擇適合本題以及自己認(rèn)知特點(diǎn)的方法來(lái)表征問(wèn)題、推理問(wèn)題，這樣才能進(jìn)一步選擇合適的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法和工具來(lái)計(jì)算問(wèn)題、解決問(wèn)題。再次，解決完問(wèn)題需要再用描述性語(yǔ)言來(lái)和同伴交流結(jié)果，并對(duì)自己在解決問(wèn)題時(shí)使用到的數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)知識(shí)作出相應(yīng)的解釋。最后，需要檢驗(yàn)結(jié)果，在這個(gè)過(guò)程中驗(yàn)證并優(yōu)化自己使用到的數(shù)學(xué)模型?？傊瑪?shù)學(xué)建模資源工具包將數(shù)學(xué)建模能力進(jìn)行了分解和細(xì)化，是數(shù)學(xué)建模教學(xué)的重要工具支持。

三、新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)基于問(wèn)題解決的建模教學(xué)法的啟示

（一）抓住關(guān)鍵：以問(wèn)題解決為核心統(tǒng)整多維度多層次的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

1．重視問(wèn)題解決

新加坡2021大綱中的五邊形課程模型將問(wèn)題解決置于核心位置，且多次強(qiáng)調(diào)發(fā)展學(xué)生的能力，如問(wèn)題解決能力、邏輯思維能力、數(shù)學(xué)表達(dá)能力、合作學(xué)習(xí)能力、自主學(xué)習(xí)能力等，這些能力在學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中都發(fā)揮著重要的作用。相較而言，我國(guó)將問(wèn)題解決當(dāng)作課程目標(biāo)之一，2022課標(biāo)課程理念中強(qiáng)調(diào)了課程目標(biāo)之一是要發(fā)展學(xué)生的“四能”，即運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問(wèn)題的能力。雖然我國(guó)也重視了問(wèn)題解決能力的培養(yǎng)，但在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中，對(duì)學(xué)生問(wèn)題解決能力的重視與培養(yǎng)主要集中在高中階段，對(duì)小學(xué)生問(wèn)題解決能力的重視程度不夠，且缺乏相應(yīng)的評(píng)價(jià)模型。新加坡將問(wèn)題解決置于課程模型的核心地位，并在現(xiàn)實(shí)中和其他五個(gè)要素進(jìn)行了統(tǒng)整，而我國(guó)的數(shù)學(xué)教育長(zhǎng)期以來(lái)對(duì)于學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的培養(yǎng)一直是相對(duì)忽視的，忽視問(wèn)題解決能力培養(yǎng)的后果顯而易見(jiàn)，它使得學(xué)生不能在實(shí)際中順利遷移所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，從這個(gè)角度看，我國(guó)的數(shù)學(xué)教育應(yīng)重視對(duì)于問(wèn)題解決能力的培養(yǎng)是非常必要的。

2．豐富教學(xué)形式

2022課標(biāo)指出，“綜合與實(shí)踐是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要領(lǐng)域。學(xué)生將在實(shí)際情境和真實(shí)問(wèn)題中，運(yùn)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識(shí)和方法，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程”。在學(xué)習(xí)該領(lǐng)域的內(nèi)容時(shí)，可以適當(dāng)采用主題活動(dòng)以及項(xiàng)目式學(xué)習(xí)。這兩種學(xué)習(xí)形式與問(wèn)題解決學(xué)習(xí)最大的相通點(diǎn)就是以解決現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題為出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)。其中，項(xiàng)目式學(xué)習(xí)是新加坡一直提倡的一種有效的課堂教學(xué)形式，問(wèn)題的設(shè)計(jì)是項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的關(guān)鍵。一個(gè)真實(shí)且富有吸引力的驅(qū)動(dòng)性問(wèn)題可以吸引學(xué)生的好奇心，并激發(fā)其對(duì)學(xué)習(xí)的熱情和興趣，引導(dǎo)其在課程中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、收集信息、組織合作，以此來(lái)提高學(xué)生的綜合能力。雖然我國(guó)在課程標(biāo)準(zhǔn)中明確提出要適當(dāng)采用這種形式來(lái)進(jìn)行教學(xué)，但還應(yīng)該不斷豐富課程形式，優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容。

3．感受數(shù)學(xué)應(yīng)用

學(xué)校的學(xué)習(xí)最終要服務(wù)于生活，解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。生活中的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題多為結(jié)構(gòu)不良的復(fù)雜問(wèn)題，而學(xué)生在書本上遇到的大多為被“純化”了的結(jié)構(gòu)良好型問(wèn)題。數(shù)學(xué)建模就是讓學(xué)生把結(jié)構(gòu)不良的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)良好的數(shù)學(xué)問(wèn)題，并用數(shù)學(xué)知識(shí)及相應(yīng)的模型來(lái)解決問(wèn)題的過(guò)程。教師應(yīng)加強(qiáng)應(yīng)用題教學(xué)，為學(xué)生系統(tǒng)介紹常見(jiàn)的數(shù)學(xué)模型，幫助學(xué)生在解讀問(wèn)題的過(guò)程中順利簡(jiǎn)化問(wèn)題、提取信息并匹配到對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。當(dāng)然學(xué)生在解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題時(shí)，還可以適當(dāng)結(jié)合其他學(xué)科的相關(guān)知識(shí)，將學(xué)科融合和跨學(xué)科教學(xué)落到實(shí)處。

（二）重視過(guò)程：融入數(shù)學(xué)思維和方法的學(xué)習(xí)是達(dá)成素養(yǎng)的必要環(huán)節(jié)

1．把握過(guò)程與結(jié)果的關(guān)系

新加坡的數(shù)學(xué)教育兼具東方和西方特點(diǎn)，如果說(shuō)新加坡數(shù)學(xué)教育中對(duì)概念和技能等學(xué)習(xí)結(jié)果的重視體現(xiàn)了其東方數(shù)學(xué)教育的特色，那么對(duì)過(guò)程的重視就可以說(shuō)它表現(xiàn)了西方現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的特點(diǎn)。重視過(guò)程對(duì)問(wèn)題解決的效果有重要影響。第一，問(wèn)題解決需要學(xué)生思考和探索的過(guò)程。過(guò)程包括思考過(guò)程和探索過(guò)程，這是解決問(wèn)題中必備的環(huán)節(jié)，也是問(wèn)題解決的關(guān)鍵。第二，過(guò)程是問(wèn)題解決的必需和必要環(huán)節(jié)。從學(xué)科角度出發(fā)，數(shù)學(xué)問(wèn)題解決位于五邊形課程模型的核心，需要經(jīng)歷一定的建模過(guò)程才能解決問(wèn)題，因此，過(guò)程是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題必需的環(huán)節(jié)；從生活角度出發(fā)，當(dāng)學(xué)生面臨現(xiàn)實(shí)問(wèn)題時(shí)，需要進(jìn)行思考和探索才能解決問(wèn)題，因此，過(guò)程是解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題必要的環(huán)節(jié)。需要注意的是，在實(shí)際的數(shù)學(xué)教學(xué)中，不應(yīng)該把過(guò)程和結(jié)果截然地對(duì)立起來(lái)。從解決問(wèn)題的角度來(lái)看，正確的結(jié)果顯然也是我們所應(yīng)該要追求的。因此，結(jié)果和過(guò)程不是對(duì)立的，而是應(yīng)該同時(shí)兼顧的。

2．關(guān)注建模教育

新加坡的新教學(xué)大綱著重于數(shù)學(xué)建模，這不僅體現(xiàn)了全球范圍內(nèi)對(duì)于數(shù)學(xué)運(yùn)用和建模教育的日益關(guān)注，也因?yàn)檫@樣的方式有助于培養(yǎng)學(xué)生的高階思維?；凇癈PA認(rèn)知模型”的“模型圖”法是通過(guò)建構(gòu)客觀事物和對(duì)象之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型來(lái)揭示事物的本質(zhì)特征及其變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)方法。新加坡把運(yùn)用“模型圖”法作為一項(xiàng)重要的解題技巧和策略，能夠根據(jù)題意具體形象地表示數(shù)量之間的關(guān)系，其獨(dú)特優(yōu)勢(shì)也在學(xué)生問(wèn)題解決過(guò)程中得到了體現(xiàn)，對(duì)發(fā)展學(xué)生的高階思維起到了重要作用。數(shù)學(xué)模型構(gòu)成了數(shù)學(xué)理論與實(shí)際應(yīng)用的橋梁，通過(guò)研究和掌握這些模型，可以協(xié)助學(xué)生去尋找數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，激發(fā)其對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛(ài)，同時(shí)也能培育他們的創(chuàng)新思維和實(shí)踐技巧。強(qiáng)化數(shù)學(xué)建模的教育和訓(xùn)練，對(duì)于提升學(xué)生的智力有著重大的影響。

3．調(diào)整活動(dòng)過(guò)程

教學(xué)活動(dòng)需要根據(jù)學(xué)生的思維特點(diǎn)和年齡特征來(lái)進(jìn)行設(shè)計(jì)，第一學(xué)段和第二學(xué)段的教學(xué)活動(dòng)以游戲?yàn)橹?，第三學(xué)段的教學(xué)活動(dòng)以探究性活動(dòng)為主。在活動(dòng)進(jìn)行的過(guò)程中，應(yīng)多設(shè)置動(dòng)手操作的環(huán)節(jié)。通過(guò)使用教具，給學(xué)生帶來(lái)多感官的刺激，豐富其直接經(jīng)驗(yàn)，加深其對(duì)概念或原理的理解，在學(xué)生的探索和體驗(yàn)中，多途徑地參與到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，以此來(lái)強(qiáng)化學(xué)習(xí)效果。

（三）提供支持：合理利用工具支持，提高學(xué)習(xí)效率，發(fā)展資源利用能力

1．提供工具支持

ICT是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具，而數(shù)學(xué)建模又是問(wèn)題解決的關(guān)鍵性媒介，合理利用ICT工具輔助數(shù)學(xué)建模，將有效提高問(wèn)題解決的效率和質(zhì)量。將ICT工具融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有如下作用：第一，促進(jìn)問(wèn)題情境化。通過(guò)為學(xué)生呈現(xiàn)生動(dòng)的問(wèn)題情境，增強(qiáng)問(wèn)題解決的趣味性。第二，促使問(wèn)題自主化?；ヂ?lián)網(wǎng)、數(shù)據(jù)庫(kù)等可以提供大量的建模數(shù)據(jù)和資料，學(xué)生和教師可以主動(dòng)選擇自己需要的數(shù)據(jù)資料來(lái)進(jìn)行建模，進(jìn)而解決問(wèn)題。第三，幫助問(wèn)題可視化。小學(xué)生的抽象思維還相對(duì)薄弱，更容易接受直觀的和形象的事物。學(xué)生可以借助ICT工具來(lái)表征問(wèn)題并建立清晰的模型，用可視化的方式來(lái)呈現(xiàn)問(wèn)題。第四，推動(dòng)問(wèn)題系統(tǒng)化。教師可以利用ICT工具將教學(xué)資源進(jìn)行優(yōu)化整合，也可以利用ICT工具對(duì)教學(xué)資料進(jìn)行加工，這樣有助于教師在有限的課堂內(nèi)為學(xué)生系統(tǒng)地呈現(xiàn)更多的內(nèi)容，從而提高教學(xué)效率。綜上，在信息化時(shí)代，教師應(yīng)該合理利用ICT工具來(lái)進(jìn)行教學(xué)。提升學(xué)生的問(wèn)題解決能力有助于發(fā)展其學(xué)科綜合素養(yǎng)，培養(yǎng)其綜合能力。

2.加強(qiáng)教師培訓(xùn)

教師得到規(guī)范的培訓(xùn)是實(shí)施問(wèn)題解決的數(shù)學(xué)課程的重要保障。新加坡的教師教育以及專業(yè)發(fā)展較為完善，在預(yù)備教師的職前課程中，會(huì)有一個(gè)模塊專門介紹問(wèn)題解決的課程實(shí)施，此外，相關(guān)部門每年還會(huì)開展多次有關(guān)問(wèn)題解決的短期課程培訓(xùn)，這為相關(guān)課程的順利實(shí)施提供了必要性與可能性。只有教師具備相關(guān)的知識(shí)基礎(chǔ)和資源支持，學(xué)生才能順利習(xí)得相應(yīng)技能，這些都是值得我國(guó)關(guān)注和學(xué)習(xí)的。