楊武昌

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》指出：“義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程其基本出發(fā)點(diǎn)是促進(jìn)學(xué)生全面、持續(xù)、和諧地發(fā)展，它不僅要考慮數(shù)學(xué)自身的特點(diǎn)，更應(yīng)遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展?！闭n改實(shí)踐證明，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合現(xiàn)實(shí)的問題情境構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行解釋和應(yīng)用，能很好地促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，提高教學(xué)效果。一位教師在教學(xué)“乘法分配律”時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實(shí)的、結(jié)構(gòu)化的問題情境中發(fā)現(xiàn)不同算法間的聯(lián)系，讓學(xué)生舉出類似的等式，并對(duì)這些等式進(jìn)行分析和比較，主動(dòng)探究數(shù)學(xué)規(guī)律、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型，使學(xué)生在獲得對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)理解、技能掌握的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度等方面得到進(jìn)步和發(fā)展。下面是其教學(xué)片段的實(shí)錄及評(píng)析。

片段一：讓知識(shí)在順向中誘導(dǎo)模型

教師出示下面的算式：

（1）8×43+57×8 （2）102×43

（3）265×99+265 （4）64×201-64

并提問：讀完這些算式，同學(xué)們能立即說出答案嗎？

學(xué)生注意力一下子集中了起來，個(gè)個(gè)躍躍欲試。就在學(xué)生“心求通而未得，口欲言而未能”之時(shí)，教師指出，本節(jié)課就來學(xué)習(xí)以上各算式的簡(jiǎn)便計(jì)算規(guī)律。接著出示下面的兩組算式要求學(xué)生口算，并根據(jù)每組題中兩個(gè)算式的得數(shù)想一想這兩個(gè)算式有什么聯(lián)系。

（1）①（2+3）×4②2×4+3×4

（2）①8×（7+3）②8×7+8×3

學(xué)生口算后回答：每組里的兩個(gè)算式的得數(shù)都相等，得數(shù)相等的兩個(gè)算式應(yīng)相等。

教師肯定學(xué)生的回答后，隨即分別把每組的兩個(gè)算式用等號(hào)連接起來，把學(xué)生觀察的焦點(diǎn)由計(jì)算結(jié)果引向算式的關(guān)系上，獲得乘法分配律具體表達(dá)方式的初步印象。

教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察每一組中的算式①，要求學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述出來，并說說它們表示什么意思。

生：這兩個(gè)算式表示的是兩個(gè)數(shù)的和乘一個(gè)數(shù)。

師：那么每組中的算式②呢？

生：表示兩個(gè)積的和。

師：請(qǐng)同學(xué)們想一想，這兩組算式說明了什么。

生：兩個(gè)數(shù)的和乘一個(gè)數(shù)的得數(shù)與兩個(gè)數(shù)分別乘這個(gè)數(shù)再把積加起來的得數(shù)是相同的。

［評(píng)析：數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)是對(duì)問題情境中某種內(nèi)在的數(shù)學(xué)關(guān)系、規(guī)律的概括、提煉與總結(jié)，它依賴于一定的現(xiàn)實(shí)情境，可以說，情境是模型生成、發(fā)生、發(fā)展的誘因。課伊始，教師創(chuàng)設(shè)了良好的數(shù)學(xué)問題情境，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲望，注重引導(dǎo)學(xué)生在自主解決問題的過程中體會(huì)同一情境所得出的不同算式之間的內(nèi)在聯(lián)系，初步形成有關(guān)的數(shù)學(xué)模型，為隨后數(shù)學(xué)模型的抽象和概括打下了基礎(chǔ)，實(shí)現(xiàn)了新舊知識(shí)的正遷移，體現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)必須建立在學(xué)生已有的認(rèn)知水平上，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有現(xiàn)實(shí)性和挑戰(zhàn)性。］

片段二：讓規(guī)律在探究中構(gòu)建模型

接著，課件出示教材第33頁(yè)“植樹”主題情境圖，要求學(xué)生帶著例3中的問題：“一共有多少名同學(xué)參加了這次植樹活動(dòng)”去看主題情境圖。

在學(xué)生觀察主題情境圖，積極思考的基礎(chǔ)上，教師組織學(xué)生討論、交流、匯報(bào)。

生：（看著“植樹”主題情境圖）一共有25個(gè)小組，每組里4人負(fù)責(zé)挖坑、種樹，2人負(fù)責(zé)抬水、澆樹。要求一共有多少名同學(xué)參加植樹活動(dòng)，可以用每組的人數(shù)乘組數(shù)，即：（4+2）×25=150（人）。

生：從圖上知道每組人數(shù)是4+2=6（人），有25個(gè)小組。要求一共有多少名同學(xué)參加了這次植樹活動(dòng)，可以用每組人數(shù)乘組數(shù)來計(jì)算。

師：說得真不錯(cuò)！還有別的方法嗎？

生：先分別算出挖坑、種樹的人數(shù)與抬水、澆樹的人數(shù)，算式是4×25=100（人），2×25=50（人），再求一共有多少名同學(xué)參加這次植樹活動(dòng)。算式是：100+50=150（人）。還可以用綜合算式表示為：4×25+2×25=150（人）。

生：我是這樣想的，先算出挖坑、種樹和抬水、澆樹各有多少人，再把兩個(gè)積相加，算式是4×25+2×25=150（人）。

師：通過計(jì)算，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了什么？

生：兩種解法雖然算式不同，但計(jì)算的結(jié)果相同，可以用等號(hào)連接這兩個(gè)算式，即：（4+2）×25=4×25+2×25

師：這兩個(gè)算式的意義有什么不同？

生：（4+2）×25是把4與2的和同25相乘；4×25+2×25是先用4與2分別乘25，再把兩個(gè)積相加，結(jié)果不變。

教師進(jìn)一步要求學(xué)生各自舉例闡述，在學(xué)生獨(dú)立思考、相互討論交流的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言表述上述規(guī)律。

師：如果用甲數(shù)、乙數(shù)、丙數(shù)分別表示三個(gè)數(shù)的話，你能用一個(gè)等式表示出左右兩邊算式之間的關(guān)系嗎？

生：（甲數(shù)+乙數(shù)）×丙數(shù)=甲數(shù)×丙數(shù)+乙數(shù)×丙數(shù)。

師：還可以用別的符號(hào)表示嗎？

生：如果用△、○、□分別表示三個(gè)數(shù)的話，還可以用等式（△+○）×□=△×□+○×□來表示。

生：我還發(fā)現(xiàn)如果用字母a、b、c分別表示三個(gè)數(shù)的話，那么可以用等式（a+b）×c=a×c+b×c來表示。

在教師啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)、字母歸納概括出兩個(gè)算式的等量關(guān)系后，進(jìn)一步點(diǎn)明：這就是這節(jié)課我們所學(xué)習(xí)的“乘法分配律”。（板書課題并請(qǐng)學(xué)生看課本第36頁(yè)上是怎樣表述乘法分配律的。最后，引導(dǎo)學(xué)生深入理解：等號(hào)右邊等式里的不相同因數(shù)，就是等號(hào)左邊算式里的兩個(gè)加數(shù)；右邊算式里相同因數(shù)，則是左邊算式里的一個(gè)乘數(shù)，把學(xué)生的思維引向認(rèn)知新天地。

［評(píng)析：集中呈現(xiàn)大量具有某種相似結(jié)構(gòu)的素材，是數(shù)學(xué)模型得以成功抽象、概括和提煉的關(guān)鍵。教師注重強(qiáng)化體驗(yàn)，誘導(dǎo)思維，讓學(xué)生始終參與探究新知的過程。同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維，拋開具體等式中的非本質(zhì)特征，概括出它們共同具有的本質(zhì)特征，并讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)，嘗試用自己喜歡的方式表示出來。教師及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生從符號(hào)表示過渡到用字母表示，體會(huì)到用字母表示數(shù)學(xué)模型的簡(jiǎn)潔性和形象性，從一組等式過渡到一個(gè)符號(hào)、文字或字母表示的等式，生動(dòng)地體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)于乘法分配律這一數(shù)學(xué)模型的抽象、概括，培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力。］

片段三：讓新知在應(yīng)用中深化模型

師：同學(xué)們真聰明！發(fā)現(xiàn)并探究了乘法分配律?，F(xiàn)在請(qǐng)應(yīng)用所掌握的知識(shí)獨(dú)立思考解決下面的問題。

師：（出示“（180+560）×23”）按原來的運(yùn)算順序，應(yīng)先算什么，后算什么？根據(jù)乘法分配律，還可以怎樣算？

學(xué)生做題后，教師引導(dǎo)討論。

師：（出示“9×47+53×9=9×（47+53）”）請(qǐng)同學(xué)們觀察、分析，從中發(fā)現(xiàn)了什么？

生：這道題中47和53都與9相乘，根據(jù)乘法分配律，可以先把47和53加起來，再將它們的和與9相乘，計(jì)算結(jié)果不變。

生：這道題中有一個(gè)因數(shù)9相同，另外兩個(gè)不相同因數(shù)47和53的和恰好湊成整百數(shù)，就可以根據(jù)乘法分配律，用這個(gè)相同因數(shù)與其他兩個(gè)因數(shù)的和相乘使計(jì)算變得簡(jiǎn)便。

師：現(xiàn)在我們?cè)賮砜匆豢凑n開始時(shí)要求回答的四個(gè)算式，想一想是兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘簡(jiǎn)便呢，還是先分別相乘，然后再求和簡(jiǎn)便？

生：我認(rèn)為（1）（3）題是兩積求和的算式，有一個(gè)因數(shù)是相同的，另外兩個(gè)不相同的因數(shù)的和恰好湊整，根據(jù)乘法分配律，用這個(gè)相同因數(shù)與另外兩個(gè)因數(shù)的和相乘?？梢杂每谒悖矗?/p>

（1）8×43+57×8=（43+57）×8=100×8=800

（3）265×99+265=（99+1）×265=100×265=26500

生：第（2）題我是這樣想的，因?yàn)?02最接近100，所以把102分解成（100+2），再用43分別去乘100和2，可以口算，即：102×43=43×（100+2）=43×100+43×2=4300+86=4386

師：現(xiàn)在請(qǐng)各小組交流，第（4）題在計(jì)算時(shí)與前面的幾道題有什么相同的地方和不同的地方？

生：我認(rèn)為，第（4）題是兩積求差的算式，在這個(gè)算式中，有一個(gè)因數(shù)64是相同的，另外兩個(gè)不同因數(shù)的差恰好湊整，根據(jù)乘法分配律，用這個(gè)相同因數(shù)與兩個(gè)因數(shù)的差相乘，可以口算，即：

64×201-64=64×（201-1）=64×200=12800

［評(píng)析：一個(gè)好的數(shù)學(xué)模型，往往因其抽象、概括的特點(diǎn)，對(duì)于具體的數(shù)學(xué)問題反而具有很強(qiáng)的解釋性和適用性，能有效解決現(xiàn)實(shí)生活及數(shù)學(xué)內(nèi)部各種各樣的問題。教師善于為學(xué)生創(chuàng)設(shè)豐富多彩的探究機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生在多樣化的解決問題的過程中，逐步深化對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。在練習(xí)中，注重知識(shí)的遷移，使學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)更加靈活、深刻、系統(tǒng)，從而加深了對(duì)乘法分配律的理解，真正體現(xiàn)了“運(yùn)用數(shù)學(xué)模型自主解決實(shí)際問題”的特點(diǎn)，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，落實(shí)了教學(xué)目標(biāo)。］

作者單位

祥云縣城區(qū)四小

◇責(zé)任編輯：曹文◇