阿依夏木古麗·夏爾皮

【摘 要】高三數(shù)學(xué)中的恒成立問題，涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)、圖象，滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，有利于考查學(xué)生的綜合解題能力，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用。因此也成為歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn)。恒成立問題在解題過程中大致可分為以下幾種類型：①一次函數(shù)型；②二次函數(shù)型；③變量分離型；④根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì)；⑤直接根據(jù)函數(shù)的圖象。

【關(guān)鍵詞】高三數(shù)學(xué)；恒成立；解題過程

一、一次函數(shù)型

給定一次函數(shù)y=f（x）=ax+b（a≠0），若y=f（x）在[m，n]內(nèi)恒有f（x）>0，則根據(jù)函數(shù)的圖象（直線）可得上述結(jié)論等價(jià)于

ⅰ）或ⅱ）可合并定成

同理，若在[m，n]內(nèi)恒有f（x）<0，則有

例1：對(duì)于滿足|p|≤2的所有實(shí)數(shù)p，求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范圍。

分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)字母：x及P，關(guān)鍵在于該把哪個(gè)字母看成是一個(gè)變量，另一個(gè)作為常數(shù)。顯然可將p視作自變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在[-2，2]內(nèi)關(guān)于p的一次函數(shù)大于0恒成立的問題。

解略

二、二次函數(shù)型

若二次函數(shù)y=ax2+bx+c=0（a≠0）大于0恒成立，則有

若是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問題，還可以利用韋達(dá)定理以及根與系數(shù)的分布知識(shí)求解。

例2：設(shè)f（x）=x2-2ax+2，當(dāng)x∈[-1，+∞）時(shí)，都有f（x）≥a恒成立，求a的取值范圍。

分析：題目中要證明f（x）≥a恒成立，若把a(bǔ)移到等號(hào)的左邊，則把原題轉(zhuǎn)化成左邊二次函數(shù)在區(qū)間[-1，+∞）時(shí)恒大于0的問題。

解：設(shè)F（x）= f（x）-a=x2-2ax+2-a.

?。┊?dāng)Δ=4（a-1）（a+2）<0時(shí)，即-2

ⅱ）當(dāng)Δ=4（a-1）（a+2）≥0時(shí)由圖可得以下充要條件：

即得-3≤a≤-2；

綜合可得a的取值范圍為[-3，1]。

三、變量分離型

若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個(gè)變量，其中一個(gè)變量的范圍已知，另一個(gè)變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個(gè)變量分別置于等號(hào)或不等號(hào)的兩邊，則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解。

例3：已知當(dāng)x∈R時(shí)，不等式a+cos2x<5-4sinx+恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

分析：在不等式中含有兩個(gè)變量a及x，其中x的范圍已知（x∈R），另一變量a的范圍即為所求，故可考慮將a及x分離。

解：原不等式即：4sinx+cos2x<-a+5

要使上式恒成立，只需-a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述問題轉(zhuǎn)化成求f（x）=4sinx+cos2x的最值問題。

f（x）= 4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2（sinx-1）2+3≤3，

∴-a+5>3即>a+2

上式等價(jià)于

或

解得a<8.

注：注意到題目中出現(xiàn)了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x，故若把sinx換元成t，則可把原不等式轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的二次函數(shù)類型。

另解：a+cos2x<5-4sinx+即

a+1-2sin2x<5-4sinx+，令sinx=t，則t∈[-1，1]，

整理得2t2-4t+4-a+>0，（ t∈[-1，1]）恒成立。

設(shè)f（t）= 2t2-4t+4-a+則二次函數(shù)的對(duì)稱軸為t=1，

∴f（x）在[-1，1]內(nèi)單調(diào)遞減。

∴只需f（1）>0，即>a-2.（下同）

四、根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì)

若函數(shù)f（x）是奇（偶）函數(shù)，則對(duì)一切定義域中的x ，f（-x）=-f（x）

（f（-x）=f（x））恒成立；若函數(shù)y=f（x）的周期為T，則對(duì)一切定義域中的x，f（x）=f（x+T）恒成立。

例4：若f（x）=sin（x+α）+cos（x-α）為偶函數(shù)，求α的值。

分析：告訴我們偶函數(shù)的條件，即相當(dāng)于告訴我們一個(gè)恒成立問題。

解：由題得：f（-x）=f（x）對(duì)一切x∈R恒成立，

∴sin（-x+α）+cos（-x-α）=sin（x+α）+cos（x-α）

即sin（x+α）+sin（x-α）=cos（x+α）-cos（x-α）

2sinx·cosα=-2sinx·sinα

∴sinx（sinα+cosα）=0

∵對(duì)一切x∈R恒成立，∴只需也必須sinα+cosα=0。

∴α=k.（k∈Z）

五、直接根據(jù)圖象判斷

若把等式或不等式進(jìn)行合理的變形后，能非常容易地畫出等號(hào)或不等號(hào)兩邊函數(shù)的圖象，則可以通過畫圖直接判斷得出結(jié)果。尤其對(duì)于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷。

例5：當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，不等式（x-1）2

分析：若將不等號(hào)兩邊分別設(shè)成兩個(gè)函數(shù)，則左邊為二次函數(shù)，圖象是拋物線，右邊為常見的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，故可以通過圖象求解。

解：設(shè)y1=（x-1）2，y2=logax，則y1的圖象為右圖所示的拋物線，要使對(duì)一切x∈（1，2），y11，并且必須也只需當(dāng)x=2時(shí)y2的函數(shù)值大于等于y1的函數(shù)值。

故loga2>1，a>1，∴1