張澤霞

摘 要： 數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，它主要表現(xiàn)在把抽象的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為適當(dāng)?shù)膸缀螆D形，從圖形的直觀特征發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間存在的聯(lián)系，達(dá)到化難為易，化繁為簡(jiǎn)，化隱為顯的目的，使問(wèn)題簡(jiǎn)捷地得以解決.本文從培養(yǎng)數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想的重要性入手，結(jié)合幾個(gè)具體實(shí)例，從借助數(shù)軸、借助圖像、借助單位圓、借助復(fù)平面和借助幾何構(gòu)建這五個(gè)方面談?wù)勅绾芜\(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.

關(guān)鍵詞： 數(shù)形結(jié)合 思維能力 解題應(yīng)用 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

數(shù)學(xué)是研究客觀世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué).數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn)，華羅庚教授說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬(wàn)事休.”數(shù)形結(jié)合的思想就是充分運(yùn)用數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)和形的直觀，將抽象數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形語(yǔ)言結(jié)合起來(lái)，使抽象思維和形象思維結(jié)合，通過(guò)圖形的描述，代數(shù)的論證研究和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想方法.

一、培養(yǎng)“數(shù)形結(jié)合”思維能力的重要意義

數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)解題中常用的、重要的一種思想方法.數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì).數(shù)形結(jié)合的思想包括“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面.它可使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，從而達(dá)到優(yōu)化解題過(guò)程的目的，由于使用了數(shù)形結(jié)合方法，很多問(wèn)題便迎刃而解.

縱觀多年來(lái)的中、高考考題，巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可收到事半功倍的效果.不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡(jiǎn)化解題過(guò)程，這在解選擇題、填空題中優(yōu)勢(shì)更明顯.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)培養(yǎng)運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的思想引導(dǎo)學(xué)生思考，運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的技巧訓(xùn)練學(xué)生解題，有利于學(xué)生分析題中數(shù)量之間的關(guān)系，豐富表象，引發(fā)聯(lián)想，啟迪思維，拓寬思路，迅速找到解決問(wèn)題的方法，從而提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.注重?cái)?shù)形結(jié)合思想的教學(xué)，不僅能夠提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，而且能夠提高學(xué)生數(shù)形轉(zhuǎn)化能力和遷移思維能力，具有重大的意義.

二、“數(shù)形結(jié)合”思想方法的解題應(yīng)用

（一）借助數(shù)軸，直觀深刻.

實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，從數(shù)形結(jié)合的觀點(diǎn)出發(fā)，借助用數(shù)軸的思想使抽象的數(shù)及其運(yùn)算方法，讓人們易于理解和接受.這樣充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，能使繁、難的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單、明了.

例如用數(shù)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)就是數(shù)形結(jié)合思想的基石，這樣把數(shù)（實(shí)數(shù)）與形（數(shù)軸上的點(diǎn)），建立起了一種轉(zhuǎn)化對(duì)應(yīng)關(guān)系，用點(diǎn)表示數(shù)，形象直觀用數(shù)描述形，科學(xué)準(zhǔn)確，二者相輔相成.

例1.已知a>0，b<0，|a|>|b|，試比較a，-a，b，-b的大小.

【解析】本題中a，b的具體數(shù)值沒(méi)有確定，但能依據(jù)數(shù)軸形象地表示它們?cè)跀?shù)軸上的大致位置.如圖1，a>0，表示數(shù)a的點(diǎn)在原點(diǎn)右側(cè)，b<0表示數(shù)b的點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)，由絕對(duì)值的幾何意義知，|a|>|b|表示數(shù)a的點(diǎn)離原點(diǎn)的距離比表示數(shù)b的點(diǎn)離原點(diǎn)的距離大，從而確定數(shù)a數(shù)b在數(shù)軸上的大致位置.又由表示互為相反數(shù)的點(diǎn)分居在原點(diǎn)兩側(cè)，且離原點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)找到數(shù)軸上表示-a，-b的點(diǎn).觀察圖1，根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)，右邊總比左邊的大，知-a

圖1

例2.設(shè)集合A={x—x∈Z，且-10≤x≤-1}，B={x—x∈Z，且|x|≤5}，則A∪B中的元素個(gè)數(shù)是（ ）

A.11 B.10 C.15 D.16

【解析】這是求并集中的元素個(gè)數(shù)，A、B中的元素在數(shù)軸上易于表示，從數(shù)形結(jié)合的思想方法來(lái)解簡(jiǎn)單明了，如圖2所示，A∪B中含有整數(shù)點(diǎn)16個(gè)，因此答案為D.

圖2

（二）借助圖像，直觀易懂.

一般地，不等式的解集，函數(shù)的性質(zhì)等進(jìn)行討論時(shí)，可以借助函數(shù)圖像直觀解決，簡(jiǎn)單明了.

例3.一次函數(shù)y =a x+b 的圖像交x軸于點(diǎn)（1，0），一次函數(shù)y =a x+b 的圖像交x軸于點(diǎn)（7，0），且兩圖像交于點(diǎn)P（5，3），根據(jù)圖形3，指出當(dāng)x為何值時(shí)，y >y ？

【解析】這道題體現(xiàn)了圖像的直觀性，函數(shù)圖像就是直觀的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，用數(shù)形結(jié)合的思維方法，可以看到y(tǒng) 的值，當(dāng)x>5時(shí)，y 的值遞減；當(dāng)x>5時(shí)，y 的值遞增.所以當(dāng)x>5時(shí)y >y .

圖3

例4.設(shè)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x∈[-2，2]，函數(shù)f（x）=lg（3a-ax-x ）總有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解析】函數(shù)f（x）有意義，則3a-ax-x >0，即x +ax-3a<0在x∈[-2，2]上總成立.

設(shè)g（x）=x +ax-3a，即當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，g（x）<0總成立.

∴依拋物線y=g（x）的特征，將其定位，

有g(shù)（2）<0g（2）<0，如圖4所示∴4-5a<04-a<0，解得a>4.

圖4

因此，借助函數(shù)圖像的直觀性可使很難或很繁的問(wèn)題變得容易和簡(jiǎn)單.

（三）借助單位圓，直觀又簡(jiǎn)捷.

例5.如圖，極坐標(biāo)方程ρ=2sin（θ+π/4）的圖形是（ ）

A B C D

【解析】題目是由“數(shù)”的解析關(guān)系找“形”的位置，數(shù)形結(jié)合，由特殊的“數(shù)”否一般的“形”，當(dāng)θ=0時(shí)，ρ= ，點(diǎn)（ ，0）在極軸上，否“形”B、D，當(dāng)θ= 時(shí)，ρ=2，點(diǎn)（2， ）在極軸上半部，否A，所以應(yīng)選C.

此題用轉(zhuǎn)化的思想方法化極軸坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程，也可以確定圖形圓的位置，但較麻煩.

例6.求函數(shù)y= 的最值.

【解析】y可看成兩點(diǎn)P（cosx，sinx）與A（2，1）連線的斜率，其中A是定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在圓x +y =1上，過(guò)點(diǎn)A作⊙О的切線AB、AC，如圖5，則y =k ，y =k ，易求得k =0，k = .

∴y =0，y = .

圖5

（四）借助復(fù)平面，幾何意義明顯.

例7.設(shè)|z |=5，|z |=2，|z - |= ，求 的值.

【分析】利用復(fù)數(shù)模、四則運(yùn)算的幾何意義，將復(fù)數(shù)問(wèn)題用幾何圖形幫助求解.

【解】設(shè)z = ，z = 后，則z = ，z = ，

如圖6所示.由圖可知，| |= ，∠AOD=∠BOC，

圖6

由余弦定理得：

cos∠AOD= =

∴ = （ ± i）=2± i

此題運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”思想，把共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)與復(fù)平面上的向量表示代數(shù)運(yùn)算的幾何意義等都表達(dá)得淋漓盡致，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的生動(dòng)活潑，從而使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化.

例8.如果復(fù)數(shù)z滿足|z+i|+|z-i|=2，|z+i+1|的最小值是（ ）

A.1 B. C.2 D.

圖7

【解析】設(shè)復(fù)數(shù)-i，i，-（1+i）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為z ，z ，z ，因?yàn)閨z+i|+|z-i|=2，|z z |=2，所以點(diǎn)z的集合為線段z z ，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：動(dòng)點(diǎn)z在線段z z 上移動(dòng)，求|zz |的最小值，因?yàn)閦 z ⊥z z ，所以當(dāng)z與z 重合時(shí)，|zz |取最小值，|z z |=1，其幾何意義見(jiàn)圖7，故選A.

假如此題運(yùn)用代數(shù)法，轉(zhuǎn)化為普通函數(shù)求最值，則運(yùn)算相當(dāng)麻煩.

（五）借助幾何構(gòu)建，以形助數(shù).

例9.已知a、b均為正數(shù)，且a+b=2，求 + 的最小值.

【解析】如圖8，作線段AB=2，在AB上截取AE=a，EB=b，過(guò)A作AC⊥AB，且AC=2，過(guò)B作BD⊥AB，且BD=1.由勾股定理得：CE= ，BD= ，原題即求CE+ED的最小值.如圖8，延長(zhǎng)CA至G，使AG=AC，連接GE，由三角形兩邊之和大于第三邊，則G、E、D三點(diǎn)共線時(shí)，GE+ED=DG最短.作出圖形，延長(zhǎng)DB至F，使BF∥AG且BF=AG，連接GF.則在Rt△DGF中，DF=1+2=3，GF=AB=2

∴DG= = =

∴CE+DE的最小值是

即 + 的最小值是 .

小結(jié)：此題由式子特點(diǎn)聯(lián)想勾股定理，構(gòu)造圖形解決問(wèn)題.

圖8

例10.設(shè)f（x）=1+ ，a，b∈R且a≠b，求證：|f（a）-f（b）|<|a-b|

【解析】本題直接證明較繁.如能由f（x）= 的結(jié)構(gòu)形式，聯(lián)想到兩點(diǎn)間的距離公式，數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù)，則抓住了知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，解法新穎，巧妙簡(jiǎn)潔.

圖9

∵a≠b不妨設(shè)a>b，構(gòu)建如圖9的Rt△OAP，

其中OP=1，OA=a，OB=b

則PA= =f（a），PB= =f（b），AB=a-b

在Rt△OAP中，有|PA-PB|

∴|f（a）-f（b）|<|a-b|

從以上解題過(guò)程可以看出，借助數(shù)軸、圖像、單位圓、復(fù)平面和幾何構(gòu)建運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題可收到事半功倍的效果.數(shù)形結(jié)合的思想方法所表現(xiàn)出來(lái)的思路上的靈活，過(guò)程上的簡(jiǎn)便，方法上的多樣化是一目了然的，它可以巧妙地解決很多抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題.

可見(jiàn)，數(shù)形結(jié)合思想是很重要的思想，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中具有舉足輕重的作用，同時(shí)也是分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的有力工具.正確運(yùn)用數(shù)形結(jié)合這一思想思考問(wèn)題，學(xué)生能夠提高解題能力和創(chuàng)新能力.

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