【摘要】兒童學習數學是一個既觸及“外部”又深入“內部”的緩慢推進過程，數學思考是貫通其中的關鍵要素。兒童數學學習的效果與他們數學思考的深度密切相關，兒童數學思考的深度則取決于他們鞏固、轉化和內化信息的能力。探尋深度思考的本質意義，架構促發(fā)兒童深度思考的基本路徑，有助于推動兒童的數學學習真正發(fā)生。

【關鍵詞】數學學習；深度思考；真正發(fā)生

【中圖分類號】G623.5 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2016）16-0037-03

【作者簡介】魏芳，江蘇省常熟市石梅小學（江蘇常熟，215500）教科室副主任，高級教師，蘇州市名教師。

小學數學教學應基于兒童已有的認知經驗與知識水平，引導他們展開積極有效的數學思考活動，以促進他們數學素養(yǎng)的全面提升。兒童的數學學習質量與其數學思考的深度密切相關，兒童數學思考的深度則取決于他們鞏固、轉換和內化信息的能力。檢視深度思考的內涵，探尋促發(fā)兒童深度思考的路徑，對于兒童的思維發(fā)展、素養(yǎng)提升等具有深遠的意義。

一、直面現象：剖析影響深度思考的因素

教學蘇教版四下《梯形的認識》一課，有這樣一道練習題：一個直角梯形的上底長2厘米，腰長10厘米。如果上底增加6厘米，這個直角梯形就變成了一個正方形。這個直角梯形的周長是多少厘米？學生出現的錯誤主要有這四類：（1）毫無目標，不會表征。（2）目標不明，表征錯誤。（3）部分信息表征錯誤。（4）表征正確，解答錯誤。其實，學生解決問題的過程就是他們進行深度思考的過程，需要經歷“分析表征→理清關系→解答反思”漸次推進的過程，任一環(huán)節(jié)失誤都會導致問題解決出現差錯。經過分析，筆者認為，學生出錯主要存在下述原因：

1.核心概念缺失，理解偏頗。

核心概念的形成主要依據直接經驗，從大量的具體例證中，通過歸納抽取一類數量關系或空間形式的共同屬性，并把其本質屬性推廣到同類事物中。學生對“兩腰不等”這個核心概念把握不準，對“上底增加6厘米后變成正方形”和“梯形周長”的意義理解出現了偏頗。

2.前擁知識經驗斷裂，無法遷移。

前擁知識經驗是指學生在進入新的學習與思考之前，已經積累的知識、技能、解決問題的策略等。學生在思考過程中，常常會借助他們的前擁知識經驗，把信息組織成有助于其遷移的概念框架，以便把已有的知識應用于新情境，更快速地解決相關問題。有的學生不會表征信息，不能在條件與問題之間建立起聯(lián)系，經驗鏈斷裂；有的雖然在經驗庫中找到了對等的前擁經驗，但不能與新情境完全對接，經驗遷移失敗。

3.精細加工策略失當，聯(lián)結差錯。

精細加工策略是一種將新學習的材料與頭腦中已有的知識聯(lián)系起來，從而增加新信息意義的深層加工策略。學生不能在正方形與直角梯形、梯形周長與正方形周長之間建立起正確的意義聯(lián)系，導致其記憶策略、視覺想象策略、聯(lián)系實際策略失當，而這關系到深度思考的核心要義。

二、檢視本質：深度思考的意義解析

學習是通過思考或親身經歷獲取知識、技能、態(tài)度、心理概念或價值觀的過程，也是促成腦記憶的可測變化的訓練過程。就思考的層次來說，大致可以分為簡單思考和深度思考。

簡單思考是浮于表層的，不需要反饋或糾錯，只需要機械思考。

深度思考是相對于簡單思考而言的。新知識或技能的獲得必須經過一步以上的思考與多水平的分析或加工，以便學生可以用改變思想、控制力或行為的方式來應用這些知識或技能。

1.觸及本質。當深度思考發(fā)生時，大腦較為活躍，一般而言，會理解、保持、應用得更好，更能觸及知識的本質與內核，有利于認知結構的系統(tǒng)建構。

2.注重背景。深度思考需要基本的背景知識，它比較耗時，要投入大量的精力和決心，過程和結果經常受批判性評論或其他觀點的影響，需要詳細而精確的加工程序。

3.高水平綜合。深度思考是一種高水平思考，需綜合加工，融入抽象性思考、發(fā)散性思考、創(chuàng)造性思考和批判性思考。與主要發(fā)生局部學習的簡單思考相比，深度思考時大腦的活動更具有發(fā)散性。

三、策略架構：讓深度思考促發(fā)兒童主動生長

美國教育家布魯納指出：教學某些知識領域，并不是帶著學生去銘記已有的結果，而是要教他如何去參與知識獲取的過程，其核心要素就是深度思考的參與。

（一）深入教材，以結構化的視角關聯(lián)核心知識

布魯納說：“獲得的知識，如果沒有完整的結構把它關聯(lián)在一起，那是一種多半會遺忘的知識?！睌祵W教學以數學內容為核心，幫助學生建構符合其認知需要的、具有思考價值的核心知識體系。

1.橫向鋪展，凸顯數學知識的核心內涵。

數學知識的橫向聯(lián)系，主要是指數學各知識領域之間的聯(lián)系，也指不同內容和方法之間的實質性聯(lián)系。即在教學一個核心概念時，要把知識看成一個整體，不僅要知道這一概念在整體中的作用，還要知道這一概念受到哪些概念或過程的支持。

4.5×1.2○4.5 7.2×1.4○7.2×0.9

0.63×0.9○0.63 0.9÷1.8○0.9÷0.5

教學蘇教版五上“小數乘法和除法”單元，復習小數乘除法計算時，可以借助上述題組引導學生開展多層次的思考活動：（1）整體感知，把握特點。學生獨立比較，發(fā)現這組算式的整體情況，將小數的乘法與除法有機地聯(lián)通起來，形成完整的知識結構。（2）分類梳理，思考聯(lián)想。運用分類與比較，引導學生梳理顯性思考，整體溝通小數乘除法的計算方法；同時，梳理隱性規(guī)律，讓學生體會到乘除法之間的可逆性。（3）反思策略，凸顯本質?；仡櫵伎歼^程，凸顯習題的本質內涵，促進學生系統(tǒng)掌握小數乘除法的結構特點。這樣，將知識橫向鋪展，串成線，連成面，結成網，在比較中實現知識的融會貫通。同時，還能滲透分類比較、抽象概括等隱性的數學思想，有助于學生掌握學習方法，感悟思考策略。

2.縱向貫通，建立數學知識的結構體系。

數學知識的縱向結構，既指所學知識與已有知識以及后續(xù)知識之間的邏輯聯(lián)系，也指核心概念和方法在不同階段的呈現方式和研究重點。

教學蘇教版四下《認識平行四邊形和梯形》一課，四邊形的認識是由淺入深推進的——直觀認識四邊形→認識長（正）方形的特征→認識平行四邊形和梯形的特征。具體如下：（1）基于經驗，探索特征。在低年級認識四邊形時，主要是引導學生從整體上觀察比較，感知圖形的特征，并用形象的語言來描述。三年級研究“長（正）方形的特征”時，主要是從邊和角兩個層面來探索長方形和正方形的特征與關系。（2）遷移方法，研究特征。四年級認識“平行四邊形和梯形的特征”時，重在激活學生已有的探索經驗，使他們在遷移中自主發(fā)現、歸納特征，理解兩種平面圖形的關系。（3）邏輯串聯(lián)，提領脈絡。在認識平行四邊形和梯形之后，組織學生對學過的四邊形進行縱向梳理，初步感悟“圖形的內涵增加，外延逐漸縮小”的結構特點。在教學每一個知識點時，若能穿透時空將知識縱橫相連，將有利于學生建構更完備的知識體系，為他們進行深度思考提供認知儲備。

（二）深度思考，讓數學學習真正發(fā)生

深度思考就是思維的深加工，也是學生鞏固、轉換和內化信息的過程，它是通往理解、領悟、運用的通道。教師要引導學生將原始資料加工成條理分明、完整和有意義的知識，并聯(lián)結到他們現有的認知結構上，觸發(fā)其深度思考。

1.全面覺知，個性化表征信息。

腦科學研究表明，覺知是意識到發(fā)生在周圍的事情，這意味著接受環(huán)境可以通過觀察、感覺和傾聽來實現。教學蘇教版四下《行程問題》，有這樣一道例題：小明和小芳同時從家出發(fā)走向學校（如圖1），經過4分鐘兩人在校門口相遇。他們兩家相距多少米？

學生在思考與探索中，需要經歷“動作表征→圖像表征→符號表征”的過程，理解關鍵信息的意義，為深度思考搭建階梯。多種表征方式可以直觀地幫助學生理解，如用“→←”表征相向而行，用“← →”表征相背而行，為理解“行走的路程和”提供形象的輔助工具；用“→→”表征同向而行，為理解“行走的路程差”提供直觀的圖式支撐。

2.從分析到綜合，外化思考過程。

學習理論認為，分析到綜合的過程是讓學生先了解整體和各個部分，然后重組或創(chuàng)造出一個新的整體。學習不是忙于吸收知識，而是將知識進行編碼，從而轉換成有意義的材料。語言是思考的工具，要培養(yǎng)學生規(guī)范有序的表達能力。如：“根據（ ）和（ ）可以求出（ ）”；“要求（ ）就要知道（ ）和（ ）”；“我是先算（ ），再算（ ），所以（ ）”……這樣的表達模式能為學生的有序思考提供支架。同時，應培養(yǎng)學生有序地分析與綜合的能力，如從眾多條件中選擇相關條件，把有用的信息適當組塊，聯(lián)結成解決問題的關鍵因素。另外，還要借助數學語言，外化學生的分析過程，展現信息的有效組合，觸發(fā)其深度思考的發(fā)生。

3.策略遷移，內化思考方法。

遷移應用的本質就是將習得的思考方法內化為自身的策略思想，能夠應用所學的思考方法來解決相關問題。這不是單純的知識再現過程，而是創(chuàng)造性地轉化信息、展示自己的思考，并進行更為精細和有效的學習的過程。蘇教版五上《解決問題的策略：列舉》一課有這樣一道例題：王大叔用22根1米長的柵欄圍一塊長方形花圃，怎樣圍面積最大？學生在解決這個問題時，需要經歷“理解題意→分析數量關系→解決問題→回顧反思”的全過程，理解列舉的本質是把符合要求的答案一個一個有序地列出來，積累解決問題的經驗。在此基礎上，出示相應的問題，引導學生應用所學的策略解決問題。學生在解決問題的過程中，能真切地體會到這類問題的共同之處，感悟到列舉策略之于解決這一類問題的價值，有效地內化思考的方法。

4.同化聯(lián)結，建構思考模型。

學生在遇到一個現實的問題情境時，如果能主動激活和提取頭腦中的模型經驗，就能順利地解決問題。條件化的知識是經過同化與聯(lián)結加工的知識，最容易被激活和提取。教學蘇教版五上《多邊形的面積》一課，學習平行四邊形的面積計算時，是把平行四邊形剪拼轉化成長方形，根據長方形的面積計算公式推導得出的。探索三角形的面積時，學生對先前的經驗進行聯(lián)結加工，建構起轉化的思考模型，由平行四邊形的面積計算公式推導而得。探索梯形的面積時，先前積累的模型經驗再次被激活，且更加牢固，學生能順利運用拼合轉化的思考模型推導出它的計算公式。最后，通過縱向聯(lián)結將圖形之間的關系以及推導方式的共性進行梳理和溝通，建構起多邊形面積計算公式推導的思考模型（如圖2）。這樣的思考模型也能為以后推導圓的面積、圓柱表面積和體積計算公式提供基礎。因此，同化是內容的中心，是信息以個人方式內化，是內容或技能與個人的聯(lián)結，是個人成長和轉變的關鍵。

學習可以看作由“表層結構”向“深層結構”轉變的過程，深度思考是其中最關鍵的要素。學習需要將新知識的學習固定在學生的背景知識上，當前擁經驗與新信息有效聯(lián)結時，意義形成就會更有力量；當學生能用準確的數學語言有序表征信息時，就為其內化應用提供了思考的階梯；當學生成功地激活和提取條件化的知識時，思考模型正在建構與聯(lián)結，這才表明他們深度思考了，如此，學習便真正發(fā)生了。

【參考文獻】

[1]約翰·D·布蘭思福特.人是如何學習的：大腦、心理、經驗及學校[M].程可拉，孫亞玲，王旭卿，譯.上海：華東師范大學出版社，2013.

[2]Eric Jensen，LeAnn Nickelsen.深度學習的7種有力策略[M].溫暖，譯.上海：華東師范大學出版社，2010.

[3]F.W.克羅恩.教學論基礎[M].李其龍，李家麗，徐斌艷，等，譯.北京：教育科學出版社，2005.

注：本文獲2015年江蘇省“教海探航”征文競賽一等獎，有刪改。