唐惠玉

摘 要：生活中往往蘊(yùn)藏著很多無關(guān)緊要的信息，影響了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)知識(shí)的體驗(yàn)與感知。這就要求教師捕捉蘊(yùn)含在其中的數(shù)學(xué)信息，將具體的生活場景轉(zhuǎn)化為符號(hào)化的數(shù)學(xué)問題，即在建模的過程中還原數(shù)學(xué)本質(zhì)。本文提出要尊重學(xué)生，在直覺性思維中進(jìn)行提煉；協(xié)調(diào)商定，在統(tǒng)一性原則下達(dá)成共識(shí)；化繁為簡，在簡易性思維中再現(xiàn)本質(zhì)；反思質(zhì)變，在反復(fù)性抽象中廣泛拓展，從而促進(jìn)學(xué)生建模能力的生長。

關(guān)鍵詞：尊重學(xué)生；反思質(zhì)變；化繁為簡；數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)源自于生活，但生活中往往蘊(yùn)藏著很多無關(guān)緊要的信息，影響了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)知識(shí)的體驗(yàn)與感知。這就要求教師捕捉蘊(yùn)含在其中的數(shù)學(xué)信息，將具體的生活場景轉(zhuǎn)化為符號(hào)化的數(shù)學(xué)問題，即在建模的過程中還原數(shù)學(xué)本質(zhì)。而這一切需要學(xué)生抽象化思維的不斷參與，筆者就以四年級(jí)中“用數(shù)對(duì)確定位置”這一內(nèi)容的教學(xué)為例，談?wù)勛约旱囊恍┧伎寂c實(shí)踐。

一、尊重學(xué)生，在直覺性思維中進(jìn)行提煉

直覺是生命個(gè)體憑借自身的感知意識(shí)，在不經(jīng)意狀態(tài)下所形成的一種體驗(yàn)認(rèn)知。人們?cè)诜治錾钪械某Ｒ姮F(xiàn)象時(shí)，就可以依據(jù)自身的直覺意識(shí)對(duì)生活中的現(xiàn)象進(jìn)行抽象，這其中就包括了人們默認(rèn)的一些規(guī)則和策略。

比如教學(xué)伊始，教師組織學(xué)生開展“猜謎語”的游戲，先出示一排學(xué)生喜愛的小動(dòng)物，然后選擇其中一只小動(dòng)物將其所處的位置告知學(xué)生，讓該生借助手語的方式將小動(dòng)物的位置信息傳遞給其他學(xué)生，看誰能夠更好地理解該生的動(dòng)作，找出這只小動(dòng)物。一位學(xué)生豎起了4根手指，很多學(xué)生都能意識(shí)到是從左向右數(shù)第4個(gè)。而后，教師加大游戲難度，出示了6×6的動(dòng)物方陣，以同樣的方式展開游戲，當(dāng)一位學(xué)生用雙手表達(dá)出3和5兩個(gè)數(shù)字時(shí)，其他學(xué)生則說出了很多不同的理解，所確定的位置也千差萬別。

面對(duì)一排和方陣兩種不同的排列方式，學(xué)生自主運(yùn)用了一個(gè)數(shù)字和兩個(gè)數(shù)字的方式表示位置，這種抽象式的表達(dá)技巧，是學(xué)生自發(fā)形成的，是在規(guī)避了言語表達(dá)情況下學(xué)生意識(shí)中的一種自覺。簡單的游戲卻讓學(xué)生經(jīng)歷了一次從直觀鮮明到問題抽象的過程，初步感知了數(shù)學(xué)建模的思想。學(xué)生在自主性抽象直覺體驗(yàn)成果時(shí)，一般都能依循生活中的思維習(xí)慣。如在方陣排列時(shí)，教師了解到有的學(xué)生將其看成是書頁上的文字，有的學(xué)生將其視為做操時(shí)排列的隊(duì)伍，用具體的數(shù)字表示第幾行第幾個(gè)。也正因?yàn)槿绱?，學(xué)生才出現(xiàn)了理解上的歧義。

不管何種方法，都是學(xué)生自主意識(shí)中對(duì)生活問題的提煉與抽象，都是學(xué)生內(nèi)在意識(shí)進(jìn)行建模的開始。這就要求教師在教學(xué)中要善于把握學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，依循學(xué)生原始的思維習(xí)慣展開引領(lǐng)，從而為抽象化的建模服務(wù)。

二、協(xié)調(diào)商定，在統(tǒng)一性原則下達(dá)成共識(shí)

由于生命個(gè)體內(nèi)在的差異性，他們?cè)冀?jīng)驗(yàn)不同、直覺思維不同，依循自己直覺而抽象出來的模型也有著一定的差異，與他人進(jìn)行交流分享時(shí)，自然會(huì)出現(xiàn)一些錯(cuò)誤和障礙。但數(shù)學(xué)模型的結(jié)構(gòu)應(yīng)該是相同的，應(yīng)該呈現(xiàn)出一種固有的形態(tài)，應(yīng)該得到所有人的認(rèn)可和接受。這就意味著教師要在尊重學(xué)生個(gè)性直覺的過程中，實(shí)行統(tǒng)一性原則，從而便于學(xué)生的認(rèn)知與理解。

比如在這節(jié)課中，學(xué)生面對(duì)方陣排列出現(xiàn)了不同的理解狀態(tài)，教師應(yīng)該給予學(xué)生表達(dá)自我的空間，說說自己的理解：有的學(xué)生至上而下地理解，有的學(xué)生從左到右，有的學(xué)生先行后列，有的學(xué)生先列后行……正是理解方式的不同，所以對(duì)位置確定的結(jié)果也就五花八門。針對(duì)這一現(xiàn)象，教師組織同桌兩人先協(xié)調(diào)商定，然后再進(jìn)行游戲，此時(shí)兩人就形成了“心有靈犀一點(diǎn)通”的效果，沒有再出現(xiàn)歧義。在反思分析中，很多學(xué)生指出同桌兩人之間已經(jīng)有了明確的規(guī)定，對(duì)表達(dá)的順序和方式有了統(tǒng)一的方法，就一定可以準(zhǔn)確地理解對(duì)方的意思，從而明確小動(dòng)物所處的位置。這種方式下的建模，其抽象的程度更高，對(duì)學(xué)生內(nèi)在思維能力的要求也自然水漲船高。教師引領(lǐng)學(xué)生繼續(xù)思考：那怎樣才能讓全班學(xué)生都一下子猜對(duì)小動(dòng)物所處的位置呢？學(xué)生紛紛指出可以在全班范圍內(nèi)統(tǒng)一規(guī)則，就可以形成統(tǒng)一的表達(dá)原則，問題也就迎刃而解了。

這一板塊中的抽象方法，是在學(xué)生個(gè)體直覺抽象的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，學(xué)生與自己的合作伙伴交流商討，就是為了統(tǒng)一規(guī)則，為更深入的抽象提煉奠定基礎(chǔ)。只有在這種狀態(tài)下所提煉出來的抽象模型，才能被所有的人接受。更高級(jí)別的問題情境中，數(shù)學(xué)家嘗試用數(shù)對(duì)的方式表示事物的具體位置，也是基于統(tǒng)一原則的前提下進(jìn)行的，否則也容易出現(xiàn)理解的誤區(qū)，導(dǎo)致科學(xué)實(shí)踐的失敗。

三、化繁為簡，在簡易性思維中再現(xiàn)本質(zhì)

數(shù)學(xué)是一門追求從復(fù)雜到簡單的學(xué)科，嘗試運(yùn)用最為簡練的語言和符號(hào)，來表示紛繁復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系。因此，教師在引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行模型建構(gòu)時(shí)，應(yīng)該尊重?cái)?shù)學(xué)課程簡化性的特點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)意識(shí)的高效發(fā)展。

如為了讓學(xué)生更深入地理解“數(shù)對(duì)”在確定事物位置時(shí)所起到的作用，教師利用課件出示了教室里的座位圖，引領(lǐng)學(xué)生以教師站立在講臺(tái)前的視角觀察學(xué)生的座位，了解教師就是依照“先列后行”的方式確定位置的，而數(shù)學(xué)家所提倡的“數(shù)對(duì)”也是如此。教師可以引導(dǎo)學(xué)生將每個(gè)座位視為一個(gè)小圓點(diǎn)，將座位圖轉(zhuǎn)化為更簡潔的點(diǎn)陣圖，形象的生活元素變成了抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)，但其內(nèi)在的規(guī)則并沒有變化。這就讓學(xué)生意識(shí)到在“萬變不離其宗”的大前提下，可將一些無關(guān)緊要的內(nèi)容剔除，將具有生活氣息的數(shù)學(xué)內(nèi)容抽象成為數(shù)學(xué)問題進(jìn)行表達(dá)。

隨后，教師引領(lǐng)學(xué)生思考：第3列第4行的表述方法，還可以怎樣簡化呢？教學(xué)中，教師依次報(bào)了一串?dāng)?shù)對(duì)，要求學(xué)生記錄這些動(dòng)物的位置，速度越報(bào)越快，很多學(xué)生難以記錄，但也有學(xué)生能夠完整記錄，并分毫不差地確定了這些小動(dòng)物的位置。在經(jīng)驗(yàn)分享時(shí)，這部分學(xué)生表示在心中默認(rèn)了先列后行的原則，只要記錄兩個(gè)數(shù)字，即可準(zhǔn)確定位。隨后，教師則引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用（3，4）的格式記錄數(shù)對(duì)，將簡化性的特點(diǎn)貫徹在學(xué)生學(xué)習(xí)過程中。

教師運(yùn)用這種方式，逼迫著學(xué)生更加快速地記錄數(shù)對(duì)、確定位置，不僅讓學(xué)生自主生發(fā)出簡化數(shù)對(duì)表達(dá)的方式，更認(rèn)識(shí)到在確定位置過程中簡化的必要性。由此不難看出，將生活中形象直觀的數(shù)學(xué)問題提煉成相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)模型的過程中，簡化是一種明智的選擇，不僅讓抽象而成的數(shù)學(xué)模型更加簡潔，一看就懂，更契合了數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的內(nèi)在需要，可謂一舉兩得。

四、反思質(zhì)變，在反復(fù)性抽象中廣泛拓展

數(shù)學(xué)模型是生命個(gè)體高度抽象之后的成果，但因?yàn)閿?shù)學(xué)知識(shí)體系相對(duì)復(fù)雜，往往一個(gè)相對(duì)復(fù)雜的模型之中就蘊(yùn)含著許多其他的模型。這就要求教師在引領(lǐng)學(xué)生建構(gòu)出模型之后，要及時(shí)進(jìn)行必要的反思，促使學(xué)生在思維升格的基礎(chǔ)上將模型的建構(gòu)上升到一個(gè)全新的高度。

如在提煉抽象出數(shù)對(duì)模型之后，教師引導(dǎo)學(xué)生從自己的生活實(shí)際出發(fā)，想想生活中還有哪些場景是需要運(yùn)用數(shù)對(duì)來確定位置的，不少學(xué)生紛紛指出：電影票上的座位號(hào)、地圖上的經(jīng)緯線、圍棋的棋盤……都需要借助數(shù)對(duì)的方式來確定位置。教師引領(lǐng)學(xué)生運(yùn)用已經(jīng)形成的數(shù)對(duì)模型，對(duì)這些生活中的場景進(jìn)行深入對(duì)比與分析，其實(shí)這些方法都是依據(jù)兩條完全不同的直線交叉于一點(diǎn)來確定位置的。如此一來，學(xué)生對(duì)于數(shù)對(duì)模型的感知就又上了一個(gè)臺(tái)階，為構(gòu)建更為廣泛的模型結(jié)構(gòu)奠定了基礎(chǔ)。緊接著，教師引導(dǎo)學(xué)生深入分析了一維隊(duì)列和二維點(diǎn)陣確定位置的技巧，學(xué)生發(fā)現(xiàn)一維隊(duì)列中，只需要一個(gè)數(shù)字就可以確定事物的位置，而二維點(diǎn)陣中要羅列兩個(gè)確定的數(shù)字才能準(zhǔn)確地把握事物的位置。隨后，教師出示了學(xué)生喜歡玩的魔方，引導(dǎo)學(xué)生思考：魔方中的位置需要借助幾個(gè)數(shù)字才能確定呢？借助如此深入而清晰的分析，學(xué)生對(duì)原本形成的模型又有了更加深入的感知，實(shí)現(xiàn)了向一般模型的廣泛拓展。

由此不難看出，教師在“用數(shù)對(duì)確定位置”這一課的教學(xué)過程中，引領(lǐng)學(xué)生先后經(jīng)歷了四次不同程度的抽象與提煉，依循著從低級(jí)到高級(jí)，步步為營、層層剝筍的方式，讓學(xué)生在親身經(jīng)歷的過程中感受數(shù)學(xué)建模抽象化的特征，促進(jìn)了學(xué)生建模能力的發(fā)展，更為數(shù)學(xué)核心能力的提升奠定了基礎(chǔ)。endprint