李瑩 韓嘉業(yè) 沈中宇

【摘要】滬教版高三數(shù)學(xué)上冊(cè)第16章“排列組合和二項(xiàng)式定理”中的二項(xiàng)式系數(shù)表，即賈憲三角，是該章節(jié)教學(xué)的難點(diǎn)之一。文章從HPM的視角，以拓展課的形式設(shè)計(jì)和實(shí)施賈憲三角的教學(xué)，通過(guò)附加式、復(fù)制式和順應(yīng)式的史料運(yùn)用方式，讓學(xué)生了解其發(fā)展歷程，感悟其與二項(xiàng)式定理的聯(lián)系，從中發(fā)掘數(shù)學(xué)文化的多樣性，提升學(xué)生邏輯推理的核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】HPM;賈憲三角;教學(xué)設(shè)計(jì)

【作者簡(jiǎn)介】李瑩，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究;韓嘉業(yè)，華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院碩士研究生，主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究;沈中宇，華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院博士研究生，主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究。

【基金項(xiàng)目】上海高?！傲⒌聵?shù)人”人文社會(huì)科學(xué)重點(diǎn)研究基地之?dāng)?shù)學(xué)教育教學(xué)研究基地研究項(xiàng)目“數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的研究”

一、引言

滬教版高三數(shù)學(xué)上冊(cè)第16章“排列組合和二項(xiàng)式定理”中有一張二項(xiàng)式系數(shù)表，即賈憲三角?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》要求，教師在課堂教學(xué)時(shí)對(duì)二項(xiàng)式系數(shù)表進(jìn)行探究學(xué)習(xí)活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)并掌握組合數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納的能力，結(jié)合這一題材對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛(ài)國(guó)主義教育，激勵(lì)學(xué)生的民族自豪感[1]。教材歸納了二項(xiàng)式系數(shù)表通過(guò)觀察可得的部分規(guī)律，同時(shí)在單元后的閱讀材料中簡(jiǎn)單說(shuō)明了該數(shù)表就是賈憲三角，但并未對(duì)二項(xiàng)式系數(shù)表的來(lái)龍去脈進(jìn)行詳細(xì)介紹。

在現(xiàn)有教學(xué)中，教師一般會(huì)在課堂上簡(jiǎn)單介紹二項(xiàng)式系數(shù)表，即賈憲三角，但通常不會(huì)對(duì)賈憲三角的歷史背景做進(jìn)一步說(shuō)明，并且在課堂上主要以教師講授為主，學(xué)生對(duì)賈憲三角探究的機(jī)會(huì)較少[2-4]。上完課大部分學(xué)生對(duì)賈憲三角還是一知半解，具體表現(xiàn)為學(xué)生不了解它的發(fā)展歷程，不知道它與二項(xiàng)式定理的聯(lián)系;學(xué)生缺乏對(duì)數(shù)學(xué)文化多樣性的了解。

為了使學(xué)生真正認(rèn)識(shí)賈憲三角，教師可以從HPM的視角，以拓展課的形式設(shè)計(jì)和實(shí)施教學(xué)。教學(xué)設(shè)計(jì)立足教材，通過(guò)選擇相關(guān)歷史資料進(jìn)行拓展，滲透數(shù)學(xué)史的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注賈憲三角的歷史發(fā)展過(guò)程，理解賈憲三角產(chǎn)生的歷史背景和意義。教師通過(guò)恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生在已有知識(shí)基礎(chǔ)上探尋賈憲三角中的數(shù)學(xué)規(guī)律，并正確表述這些規(guī)律，體會(huì)賈憲三角與二項(xiàng)式定理之間的聯(lián)系。在課堂教學(xué)中設(shè)置探究環(huán)節(jié)，教師鼓勵(lì)學(xué)生使用不同于教材的方法證明規(guī)律，體會(huì)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。古今對(duì)照，讓學(xué)生感受古人對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)，提升文化自信，感受數(shù)學(xué)的多元文化。為此，筆者擬訂了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。

（1）理解賈憲三角產(chǎn)生的歷史背景及意義，了解賈憲三角所蘊(yùn)含的豐富規(guī)律，了解二項(xiàng)式定理的發(fā)展過(guò)程，理解賈憲三角與二項(xiàng)式定理之間的聯(lián)系。

（2）經(jīng)歷賈憲三角中數(shù)學(xué)規(guī)律的探究過(guò)程，加深對(duì)組合數(shù)性質(zhì)及二項(xiàng)式定理的理解，體會(huì)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納及邏輯推理的能力。

（3）引導(dǎo)學(xué)生在探究過(guò)程中感受祖國(guó)數(shù)學(xué)文化的豐富，感受世界數(shù)學(xué)文化的多元化和趣味性，激發(fā)學(xué)生的探究樂(lè)趣和學(xué)習(xí)熱情，樹(shù)立學(xué)生的文化自信，提升學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)和人文素養(yǎng)。

二、歷史材料及其運(yùn)用

從賈憲三角到二項(xiàng)式定理經(jīng)歷了6個(gè)世紀(jì)的發(fā)展歷程。本節(jié)課根據(jù)賈憲三角的發(fā)展脈絡(luò)，利用重構(gòu)的方式將相關(guān)的歷史素材融入教學(xué)之中。

（一）開(kāi)方作法本原圖

由于三次以上開(kāi)方的需要，11世紀(jì)中葉，中國(guó)數(shù)學(xué)家賈憲給出了一到六次冪的二項(xiàng)式系數(shù)表[5]（如圖1）。其中，第i層的數(shù)字即為（a+b）i-1展開(kāi)式的系數(shù)。賈憲稱整張二項(xiàng)式系數(shù)表為開(kāi)方作法本原圖，今稱賈憲三角。但賈憲并未給出二項(xiàng)式系數(shù)的一般公式，因而未能建立一般正整數(shù)次冪的二項(xiàng)式定理。

圖1

（二）賈憲三角

13世紀(jì)，楊輝在其《詳解九章算法》中引用了圖1，并注明了該圖出自賈憲的《釋鎖算書(shū)》[6]。賈憲的著作已經(jīng)失傳，而楊輝的著作流傳至今，所以今日很多人稱此圖為楊輝三角，但這并不準(zhǔn)確。

14世紀(jì)初，朱世杰在其《四元玉鑒》中復(fù)載此圖，并增加了兩層，添上了兩組平行的斜線，命名為古法七乘方圖[7]（如圖2）。由此可推知，朱世杰已總結(jié)出賈憲三角中相鄰兩層的關(guān)系。

圖2

（三）帕斯卡三角

在歐洲，13世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家約丹努斯在一本未出版的算術(shù)書(shū)中給出一張二項(xiàng)式系數(shù)表，形狀與賈憲三角一樣，但有11層。

1544年，德國(guó)數(shù)學(xué)家斯蒂菲爾在其《整數(shù)算術(shù)》中給出一到十六次的二項(xiàng)式系數(shù)表，并引入“二項(xiàng)式系數(shù)”這一術(shù)語(yǔ)。

1654年，法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡在《論算術(shù)三角形》一文中，詳細(xì)論述算術(shù)三角形的性質(zhì)、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用。帕斯卡還研究了二項(xiàng)式系數(shù)在自然數(shù)冪和、組合理論及概率計(jì)算等方面的應(yīng)用。由于他在數(shù)學(xué)史上具有突出貢獻(xiàn)，因此算術(shù)三角形至今仍以他的名字命名，即帕斯卡三角形（如圖3）。

圖3

（四）二項(xiàng)式定理的形成

1654年，法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡最早建立了一般正整數(shù)次冪的二項(xiàng)式定理[8]。1665年，英國(guó)數(shù)學(xué)家牛頓將二項(xiàng)式定理推廣到有理指數(shù)的情形[9]。18世紀(jì)，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉和意大利數(shù)學(xué)家卡斯蒂隆分別采用待定系數(shù)法和“先異后同”的方法證明了實(shí)指數(shù)情形的二項(xiàng)式定理[10]。

三、教學(xué)過(guò)程與實(shí)施

（一）結(jié)合教材，引入課題

師：我們已經(jīng)完成“排列組合和二項(xiàng)式定理”的學(xué)習(xí)，同學(xué)們是否知道課本中的二項(xiàng)式系數(shù)表又叫什么？

生（齊答）：賈憲三角。

師：你們最早知道賈憲三角大約是幾年級(jí)？

生1：六年級(jí)。

生2：四年級(jí)。

師：同學(xué)們好厲害。因?yàn)檫@張表是數(shù)學(xué)家賈憲原創(chuàng)的，所以我們稱之為賈憲三角。大家是否很好奇歷史上的賈憲三角是什么樣子的，它是怎么產(chǎn)生的。教材把這節(jié)內(nèi)容安排在二項(xiàng)式定理，那么它與二項(xiàng)式定理又有什么聯(lián)系呢？今天就讓我們一起探究賈憲三角。

為了讓大家能在較短時(shí)間內(nèi)了解賈憲三角和二項(xiàng)式定理的歷史背景及發(fā)展歷程，教師將相關(guān)歷史資料整理并制作了一個(gè)3分鐘的微視頻，并請(qǐng)學(xué)生帶著問(wèn)題先看微視頻《賈憲三角及二項(xiàng)式定理的發(fā)展歷程》。（微視頻內(nèi)容主要參考上文的史料，此處不贅述。）

【設(shè)計(jì)意圖】教師立足教材內(nèi)容，從二項(xiàng)式系數(shù)表引入賈憲三角，體現(xiàn)了賈憲三角與二項(xiàng)式定理之間的聯(lián)系，自然而然地呈現(xiàn)本課課題。通過(guò)微視頻，學(xué)生在最短的時(shí)間內(nèi)了解了賈憲三角產(chǎn)生的歷史背景以及它與二項(xiàng)式定理的內(nèi)在聯(lián)系，相關(guān)歷史展示了數(shù)學(xué)發(fā)展中的多元文化。

（二）回顧歷史，了解賈憲三角

師：看了微視頻，我們知道最初這張二項(xiàng)式系數(shù)表叫做開(kāi)方作法本原圖，那賈憲老師當(dāng)年做這張二項(xiàng)式系數(shù)表是要做什么？大家猜猜看。

生1：我猜測(cè)他是想把一個(gè)式子不同的開(kāi)方系數(shù)列出來(lái)做計(jì)算用。

師：做什么計(jì)算？

生2：做開(kāi)方計(jì)算。

師：沒(méi)錯(cuò)，當(dāng)年賈憲老師做這張二項(xiàng)式系數(shù)表確實(shí)是為了解決開(kāi)方的問(wèn)題。讓我們?cè)谡n堂中初步感受一下賈憲老師是怎么解決這個(gè)問(wèn)題的。

易知33在1和2之間，不妨設(shè)33=1+x，

∴（1+x）3=3，依據(jù)賈憲三角中第四層的數(shù)字可得1+3x+3x2+x3=3。

舍去1次以上的項(xiàng)，可得1+3x≈3，即x≈23，∴33≈1+23=53。

為了提高精確度，可以再次迭代，

設(shè)33=53+x，∴53+x3=3，∴533+3×532x+3×53x2+x3=3。

舍去1次以上的項(xiàng)，可得12527+253x≈3，即x≈-44225，

∴33≈53-44225≈1.47。

【設(shè)計(jì)意圖】教師通過(guò)介紹開(kāi)方作法本原圖的作用，讓學(xué)生了解中國(guó)古代數(shù)學(xué)家很早就利用這張二項(xiàng)式系數(shù)表解決開(kāi)方的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的民族自豪感。

（三）?探尋規(guī)律，證明命題

師：通過(guò)微視頻我們發(fā)現(xiàn)，不同時(shí)期的數(shù)學(xué)家都研究過(guò)這張二項(xiàng)式系數(shù)表。這張二項(xiàng)式系數(shù)表很神奇，因?yàn)樗泻芏嘁?guī)律。根據(jù)我們已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)，你知道多少關(guān)于這張二項(xiàng)式系數(shù)表的規(guī)律，請(qǐng)寫(xiě)在任務(wù)單上。

（以下命題基于教材上提供的二項(xiàng)式系數(shù)表，首行為“1?1”。）

1.發(fā)現(xiàn)規(guī)律，表達(dá)規(guī)律

學(xué)生積極思考后，在任務(wù)單上寫(xiě)出了他們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

（1）二項(xiàng)式系數(shù)表關(guān)于中間的軸對(duì)稱。

（2）每行第一個(gè)數(shù)和最后一個(gè)數(shù)都是1。

（3）第n行有n+1項(xiàng)。

（4）一行中相鄰兩個(gè)數(shù)相加等于它們下面中間的數(shù)。

（5）每行數(shù)字先增大，再減小，中間的數(shù)為最大值。

（6）從第一行起，每行的第二個(gè)數(shù)字就是行數(shù)。

（7）每一行的數(shù)字之和為2n。

2.證明規(guī)律

師：大家完成得非常好！如果我們有足夠的時(shí)間，相信大家一定會(huì)發(fā)現(xiàn)更多的規(guī)律。

關(guān)于“每一行的數(shù)字之和為2n”這個(gè)結(jié)論，我們以前學(xué)過(guò)，是怎么證明的？

生1：通過(guò)組合數(shù)的方式，從C0n一直加到Cnn，其之和為2n。

師：請(qǐng)你說(shuō)一下大致的思路。

生1：在二項(xiàng)展開(kāi)式中只要令a和b都為1，則左邊為2n，右邊就是從C0n一直加到Cnn。

師：同學(xué)們，如果我們穿越回到14世紀(jì)，那時(shí)還沒(méi)有建立二項(xiàng)式定理，那么我們能不能用不同于教材的方法來(lái)證明“每一行的數(shù)字之和為2n”？

師：我們先把命題用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)。為了方便表達(dá)，我們把二項(xiàng)式系數(shù)表中第i行第j列的數(shù)記為T(mén)?ji，那么這個(gè)命題怎么表達(dá)？

（學(xué)生通過(guò)討論，得出數(shù)學(xué)命題：T1n+T2n+…+T?n+1n=2n。教師巡視學(xué)生課堂證明情況，發(fā)現(xiàn)有學(xué)生采用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。）

師：我很欣喜地看到同學(xué)們都有比較明確的思路，我想請(qǐng)生2告訴我，你是怎么想的，你打算用什么方法證明呢？

生2：我打算用數(shù)學(xué)歸納法證明。

師：你為什么用數(shù)學(xué)歸納法證明？

生2：因?yàn)槲铱吹降谝恍幸呀?jīng)列出來(lái)了，符合這個(gè)命題。所以可以設(shè)當(dāng)n=k時(shí)符合這個(gè)命題，然后證明當(dāng)n=k+1時(shí)也符合這個(gè)命題。

師：很好。同學(xué)們，你們認(rèn)同這種做法嗎？（全體學(xué)生點(diǎn)頭同意），既然大家都同意用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，請(qǐng)大家把自己的證明過(guò)程寫(xiě)在任務(wù)單上。

（教師觀察學(xué)生的證明情況，適時(shí)回答學(xué)生的問(wèn)題，并請(qǐng)學(xué)生在黑板上演示證明過(guò)程。）

師：通過(guò)努力，我們用數(shù)學(xué)歸納法完成了證明。教材上利用二項(xiàng)式定理證明，我們用數(shù)學(xué)歸納法證明。同學(xué)們能體會(huì)這兩種不同的證明方法中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想嗎？（停頓，讓學(xué)生思考）

師：我們是先算第1項(xiàng)和第k項(xiàng)，這叫什么？屬于什么情況？

生3：特殊情況。

師：最后證明的是什么情況？

生4：一般情況。

師：這種數(shù)學(xué)思想我們稱為什么？

生5：從特殊到一般。

師：我們用二項(xiàng)式定理證明時(shí)，只要在二項(xiàng)展開(kāi)式中取特定值，令a=b=1就可以了，這是從什么到什么？

生6：從一般到特殊。

師：所以數(shù)學(xué)歸納法體現(xiàn)的是從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，而二項(xiàng)式定理本身就是一個(gè)高度概括的結(jié)論，體現(xiàn)的恰恰是從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想。

【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)歸納法是高中重要的數(shù)學(xué)方法之一。對(duì)同一個(gè)命題采用不同于教材的證明方法可以幫助學(xué)生開(kāi)闊思路，提高他們解決問(wèn)題的能力。同時(shí)，這個(gè)命題的兩種證明方法非常巧妙、和諧地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的兩種證明思路：一是從特殊到一般，二是從一般到特殊。教師在引導(dǎo)學(xué)生證明的過(guò)程中，有效培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理能力和辯證思維能力。

（四）課堂小結(jié)，總結(jié)收獲

師：同學(xué)們，這節(jié)課即將結(jié)束。老師在課前提出的三個(gè)問(wèn)題，大家是否已經(jīng)知道答案了呢？（學(xué)生紛紛點(diǎn)頭表示知道答案。）

師：哪位同學(xué)說(shuō)一下？

生1：賈憲三角最早由賈憲提出，原名是開(kāi)方作法本原圖。

師：第三個(gè)問(wèn)題，賈憲三角與二項(xiàng)式定理有什么聯(lián)系？（停頓，讓學(xué)生思考）

師：賈憲三角其實(shí)就是二項(xiàng)式定理，是二項(xiàng)式系數(shù)表形式的二項(xiàng)式定理。11世紀(jì)，人們還不會(huì)用字母表示數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律后只能一行行寫(xiě)下來(lái)。到了17世紀(jì)，有了字母表示數(shù)，人們就把二項(xiàng)式系數(shù)表形式的二項(xiàng)式定理用一個(gè)代數(shù)式高度概括了。所以，賈憲三角的本質(zhì)就是二項(xiàng)式系數(shù)表形式的二項(xiàng)式定理。從數(shù)表形式到代數(shù)式形式，二項(xiàng)式定理的發(fā)展經(jīng)歷了6個(gè)世紀(jì)。

師：大家覺(jué)得賈憲三角在表達(dá)形式上有什么優(yōu)勢(shì)？

生2：直觀。

師：那二項(xiàng)式定理在表達(dá)形式上的優(yōu)勢(shì)又是什么？

生3：簡(jiǎn)潔。

師：大家說(shuō)得非常好。

【設(shè)計(jì)意圖】課堂小結(jié)與課題引入形成前后呼應(yīng)。通過(guò)課堂小結(jié)，教師引導(dǎo)學(xué)生思考賈憲三角與二項(xiàng)式定理的聯(lián)系，讓學(xué)生明白知識(shí)的得來(lái)并非一蹴而成，而是在前人不斷地嘗試與努力下才得到的。

四、學(xué)生反饋

為了解本節(jié)課的教學(xué)效果，筆者對(duì)全班41名學(xué)生進(jìn)行了課前測(cè)試和課后測(cè)試。分別從賈憲三角的歷史、賈憲三角的應(yīng)用、賈憲三角的性質(zhì)和賈憲三角與其他知識(shí)的聯(lián)系進(jìn)行檢測(cè)。

在課前測(cè)試中，“對(duì)于賈憲三角，你有什么想要了解的知識(shí)？”的問(wèn)題，48.8的學(xué)生想了解賈憲三角的歷史，14.6的學(xué)生想知道它有哪些應(yīng)用，7.2的學(xué)生想知道它有哪些性質(zhì)，7.2的學(xué)生想知道它和數(shù)列、二項(xiàng)式定理等知識(shí)的聯(lián)系，其余學(xué)生未給出有效回答。

（一）有關(guān)賈憲三角的歷史

在課前測(cè)試中，對(duì)于問(wèn)題“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要結(jié)合數(shù)學(xué)史的內(nèi)容”，有85.4的學(xué)生同意這一觀點(diǎn);在課后測(cè)試中，對(duì)于類似的問(wèn)題，有94.7的學(xué)生同意這一觀點(diǎn)。在課前測(cè)試中，對(duì)于問(wèn)題“賈憲三角的內(nèi)容很有趣”，有73.2的學(xué)生同意這一觀點(diǎn);在課后測(cè)試中，對(duì)于類似的問(wèn)題，有89.5的學(xué)生同意這一觀點(diǎn)。

（二）有關(guān)賈憲三角的應(yīng)用

在課前測(cè)試中，對(duì)于問(wèn)題“你覺(jué)得人們?yōu)槭裁匆芯抠Z憲三角？”，學(xué)生的回答多種多樣，例如有“解決乘法問(wèn)題”“研究二項(xiàng)式定理”“找規(guī)律”“探究數(shù)學(xué)原理”“古老、歷史悠久”“解決實(shí)際生活中的問(wèn)題”等。而在課后測(cè)試中，對(duì)于類似的問(wèn)題，學(xué)生的回答主要是“進(jìn)行開(kāi)方的運(yùn)算”“解決開(kāi)方問(wèn)題”等。

（三）有關(guān)賈憲三角的性質(zhì)

在課前測(cè)試中，對(duì)于問(wèn)題“組合恒等式C?m-1n+Cmn=Cmn+1為什么是正確的？”，70.7的學(xué)生用組合數(shù)性質(zhì)驗(yàn)證，12.2的學(xué)生用賈憲三角驗(yàn)證，其余學(xué)生未給出有效回答。而在課后測(cè)試中，對(duì)于類似的問(wèn)題，61.1的學(xué)生用賈憲三角驗(yàn)證，27.8的學(xué)生用組合數(shù)性質(zhì)驗(yàn)證，還有11.1的學(xué)生用數(shù)學(xué)歸納法驗(yàn)證。

（四）有關(guān)賈憲三角與其他知識(shí)的聯(lián)系

在課前測(cè)試中，對(duì)于問(wèn)題“當(dāng)你看到賈憲三角時(shí)，你會(huì)想到什么？”，其中39.9的學(xué)生回答與賈憲三角的規(guī)律有關(guān)，15.7的學(xué)生回答與賈憲三角的來(lái)歷和歷史有關(guān)，12.1的學(xué)生回答與賈憲三角的幾何形狀相關(guān)，8.1的學(xué)生回答聯(lián)系了二項(xiàng)式定理，4.1的學(xué)生回答想知道賈憲三角有何實(shí)際應(yīng)用，其余回答與賈憲三角和二項(xiàng)式定理無(wú)直接聯(lián)系。而在課后測(cè)試中，對(duì)于類似的問(wèn)題，45.5的學(xué)生回答與賈憲三角的規(guī)律有關(guān)，18.2的學(xué)生回答與賈憲三角的歷史有關(guān)，15.5的學(xué)生回答聯(lián)系了二項(xiàng)式定理，4.8的學(xué)生聯(lián)想到了開(kāi)方問(wèn)題，其余回答與賈憲三角、二項(xiàng)式定理和開(kāi)方問(wèn)題無(wú)直接聯(lián)系。

在課后測(cè)試中，有關(guān)“這節(jié)課你印象最深的是什么？”問(wèn)題，學(xué)生的典型回答主要有：

古代開(kāi)方的運(yùn)算方法，因?yàn)樗w現(xiàn)了古人的智慧，告訴了我數(shù)學(xué)發(fā)展的探索過(guò)程;

用數(shù)學(xué)歸納法證明賈憲三角，因?yàn)樗屛覐囊粋€(gè)新的角度理解了二項(xiàng)式定理;

數(shù)學(xué)研究歷程充滿趣味性;

古人思考問(wèn)題的方式與現(xiàn)代人應(yīng)用賈憲三角、二項(xiàng)式定理、開(kāi)方作法本原圖來(lái)解決問(wèn)題很神奇;

賈憲三角發(fā)展史，讓我對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展史有了新的認(rèn)識(shí)。

五、結(jié)語(yǔ)

（一）史料運(yùn)用靈活，呈現(xiàn)方式多樣

本節(jié)課中，數(shù)學(xué)史的運(yùn)用方式有附加式、復(fù)制式和順應(yīng)式。用附加式的方法制作微視頻，展示賈憲三角的歷史起源和二項(xiàng)式定理的發(fā)展歷程;用復(fù)制式的方法再現(xiàn)賈憲通過(guò)開(kāi)方作法本原圖求方根的問(wèn)題;用順應(yīng)式的方法利用數(shù)學(xué)歸納法證明賈憲三角中的數(shù)學(xué)規(guī)律。

（二）課堂教學(xué)有效，教育價(jià)值豐富

本節(jié)課中，數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值主要體現(xiàn)在如下幾方面。（1）知識(shí)之諧：教學(xué)中教師從學(xué)生的已有認(rèn)識(shí)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生思考賈憲三角與二項(xiàng)式定理的聯(lián)系，通過(guò)展示二項(xiàng)式定理產(chǎn)生的歷史過(guò)程，讓學(xué)生明白從賈憲三角到二項(xiàng)式定理并非一蹴而成;（2）探究之樂(lè)：課堂上教師引導(dǎo)學(xué)生用不同的方法證明命題，在活動(dòng)過(guò)程中不斷激發(fā)學(xué)生的探究興趣，讓學(xué)生體會(huì)用知識(shí)解決問(wèn)題的樂(lè)趣;（3）能力之助：基于史料的探究活動(dòng)，讓學(xué)生體會(huì)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，充分培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的核心素養(yǎng);（4）文化之魅：通過(guò)介紹歷史上不同時(shí)期、不同國(guó)家的數(shù)學(xué)家對(duì)賈憲三角的貢獻(xiàn)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的趨同性，感悟數(shù)學(xué)文化的多元性;（5）德育之效：通過(guò)微視頻追溯賈憲三角的歷史起源，讓學(xué)生感受中國(guó)古代數(shù)學(xué)家的卓越智慧，激發(fā)學(xué)生的民族自豪感，增強(qiáng)學(xué)生的文化自信。

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