摘 ? ?要：數學教學是在理解數學、理解教學、理解學生、理解技術基礎上的思維與實踐活動.高中數學模塊化研學基于知識模塊展開片段式和局部性的學習研究，追問本質，厘清關系，構建結構，使學生的思維過程條理化、顯性化、層次化，以數學思維的不斷進階，打通知識到素養(yǎng)的通道，實現造就優(yōu)秀大腦的目的.

關鍵詞：四個理解;模塊化研學;拋物線的標準方程;數學思維

高中數學模塊化研學是指在數學教學活動中，按知識的發(fā)生發(fā)展自然形成的若干學習模塊展開片段式和局部性的學習研究活動，通過不斷地追問本質、厘清關系、構建結構等一系列思維過程，促思維、長智慧、提學力，促進學生的研究力、理解力、應用力和創(chuàng)新力提升，形成系統(tǒng)思維的結構觀念[1].

數學教學要在理解數學、理解教學、理解學生、理解技術的基礎上設計和踐行活動.基于“四個理解”的高中模塊化研學如何促進學生形成積極的內在動機，形成兼具務真性、批判性、創(chuàng)造性的基本思維特征？現以《拋物線的標準方程》教學為例加以說明.

一、理解數學 ? 高中數學模塊化研學之本

理解數學，就是從整體上把握教材的結構，把握知識產生的背景和前后聯系，把握其蘊含的數學方法[2].章建躍博士認為：“要充分發(fā)揮‘一般化觀念對數學創(chuàng)新活動的引導作用，引導學生構建研究數學對象的基本路徑，獲得有價值的數學結論.” [3]拋物線是學生高中階段接觸到的第三種圓錐曲線，所以，橢圓、雙曲線的研究思路是學生開展研學活動的基礎.通過研學方法的聯想類比、遷移應用，讓數學思維在相關知識的軌道上運行和展現，能激發(fā)學生愿意嘗試和基于邏輯合理猜想的意愿，引發(fā)學生進行新知探索并產生高階思維，體現數學的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性、思維的系統(tǒng)性.

【教學實錄】概念起始模塊的研學過程

師：解析幾何的實質是用代數的方法解決幾何問題.前面我們學習了橢圓和雙曲線兩類圓錐曲線，那么研究它們的思路是什么？

生（齊答）：先推導標準方程，然后研究其性質.

師：如何推導標準方程呢？

生（齊答）：建系，設點，列式，化簡.

師：我簡單總結一下：以橢圓為例，首先看其圖形特征（到兩定點的距離和為定值），然后推導得出標準方程，接下來研究其性質.其過程是從形到數再到形.

教師板書總結.

師：今天，我們采用同樣的研究路徑來研究拋物線.

【設計意圖】模塊化研學通過從數學的角度抽象出一類事物本質特征，形成對相似問題的研究方法.沒有邏輯聯系，就沒有思想方法的統(tǒng)整，知識的生成就沒有生命力.本節(jié)課的起始模塊，選取與新知有相似關系的圓錐曲線進行類比聯系，喚醒學生已有的思維策略和思維方法.建系，設點，列式，化簡，證明，是學生熟悉的橢圓、雙曲線的研究方法，用其來審視拋物線，并將其遷移應用于拋物線標準方程的推導之中，能成功推導出拋物線的標準方程.這種有序的研究思路，能從整個圓錐曲線的知識模塊中進行類化方法系統(tǒng)，提升數學觀念.

二、理解教學 ? 高中數學模塊化研學之道

理解教學，就是靈活選擇教學活動的組織方式，引導學生以研學視野從不同角度看待問題、分析問題和思考問題，形成對一個問題更準確、更全面和更深刻的認識.課堂創(chuàng)新的本質在于教學過程中如何激發(fā)學生更好地思考，重視思維化教學.教學中，教師要幫助學生確立研究意愿，明確研究對象的一般邏輯順序，有意識地讓學生確立研究的框架和手段，引導學生注重內容、路徑、方法的歸納總結，幫助學生由“學科思維”逐步走向“學會思維”，由“認同性思維”走向“批判性思維”.

【教學實錄】拋物線標準方程推導模塊的研學過程

師（給出圖1）：研究了拋物線的定義后，下面我們應該做什么？

生（齊答）：推導方程.

師：推導圓錐曲線的標準方程，一般要經歷哪些過程？

生（齊答）：建系，設點，列式，化簡，證明.

師：很好，請大家來推導一下拋物線的方程，然后小組交流.為了研究的方便，我們統(tǒng)一約定定點F與定直線l間的距離為p.

（學生自行研究推導，并進行小組交流）

師：哪位同學來展示一下研學成果？

生1：我們以直線l為y軸，以過點F垂直于l的直線為x軸，建立如圖2所示的直角坐標系.

師：很好，具體推導過程給大家講一講.

生1：如圖2，顯然定點[F（p，0）]，設拋物線上任意一點[M（x，y）]，M在定直線l上的投影為[M′].根據題意[MF=MM′]，即[（x-p）2+y2=x] ，化簡可得方程為[y2=2px-p2].

師：從建系，設點，列式，化簡等研究步驟來看，上面的推導很完整，大家有沒有問題？

生2：我有一個疑問，等式中出現了[x]的絕對值，為什么？

師：這是一個很好的問題，大家想想這是為什么？要不要加？

生1：[x]的絕對值代表點到y(tǒng)軸的距離，如果點[M（x，y）]在點[M′]的左邊，這時候必須要加.

師：這位同學提出了一個很好的話題，涉及拋物線的不同開口方向問題，這一點，我們在后面會繼續(xù)研究.

師：還有其他的建系和推導方式嗎？

生2：我們是以F點為原點，平行于直線l的直線為y軸建立平面直角坐標系，我們得到的方程為[y2=2px+p2].（圖略）

生3：我們推導的方程更為簡單.我們在初中研究的拋物線，大多頂點在原點，因此，我們取過點F且垂直于l的直線為x軸，x軸與l交于N，以線段NF的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，我們得出的方程為[y2=2px].（圖略）

師：同學們的研究能力太強了.其實，建系的方式可以有[n]種，得出的拋物線方程也會有[n]種不同的形式.但這些方程有內在關聯.

生（一臉茫然）：有關聯嗎？

師：（幾何畫板演示，如圖3）我們可以從圖象的左右平移中發(fā)現其內在的關聯，看出方程間的關系.

師：所以，我們把形如[y2=2px（p>0）]的方程叫作拋物線的標準方程.

師：剛才有同學提出了拋物線的開口方向問題，我們來思考一下，可能會有幾種常見的不同開口方向？

生4：應該有四種吧.向右，向左，向上，向下.我不太確定.

師：好的.按照這位同學的猜想，大家來推導一下相應的標準方程.（學生小組合作進行推導并交流）

師：哪個小組來展示一下？

生5：我們組的研究結果是這樣的.（展臺展示，教師指正修改，如圖4）

師：不錯，這個組以拋物線的頂點為原點，推導了4種形式的拋物線方程.我們把形如[y2=2px（p>0）]，[y2=-2px（p>0）]，[x2=2py（p>0）]，[x2=-2py（p>0）]都稱為拋物線的標準方程.

師：我們來繼續(xù)研究.對于形如[y2=2px（p>0）]的拋物線，我們知道其開口向右，頂點為[0，0]，焦點[F（p2，0）]，準線方程為[x=-p2]，那么其他開口方向的拋物線的性質是怎樣的？請大家繼續(xù)研究.

生6：（展臺展示，教師及時指正）我們的研究結果如圖5.

【設計意圖】模塊化研學通過遷移進階化、思維可視化，加深對關聯概念之間差異性的認識，著力培養(yǎng)學生形成說理、批判、質疑、反思的理性思維習慣.本模塊的學習，借助熟悉的研究圓錐曲線的框架流程，以三種不同形式的建系方式，得出相應的方程，關聯比較后，自然得出標準方程.在此基礎上，推導不同開口方向的拋物線標準方程，并相應得出性質.這種從統(tǒng)領性問題出發(fā)，以一般性研究視角，不斷地將新概念納入已有概念體系，幫助學生在相互聯系中認識其本質，形成知識的系統(tǒng)結構，有利于學生獲得數學基本思想和基本活動經驗.

三、理解學生 ? 高中數學模塊化研學之要

理解學生，就是研判將學的數學知識與學生已有認知基礎的聯系，明察學生的思維層次，順應學生思維的“最近發(fā)展區(qū)”，創(chuàng)造適合學生認知水平且有挑戰(zhàn)性的研學活動，不斷豐富學生研學的視野，提煉一般的數學思想，建立研究問題的框架導圖.結構性思維的確立，教師要作為教學活動的引導者和組織者，通過設計新穎而不斷深入的問題情境，體現對學生探索、求知的尊重，引導學生確立研究問題的思維路徑，不斷地發(fā)現問題、生成問題，然后完善問題、發(fā)展問題.

【教學實錄】拋物線性質的研學過程

師：認識了拋物線的性質，下面我們一起來研究例1.（過程略）

例1 ? 求拋物線[y2=4x]的焦點坐標和準線方程.

變式探究1 ? 求拋物線[x2=4y]的焦點坐標和準線方程.

變式探究2 ? 求拋物線[y=4x2]的焦點坐標和準線方程.

變式探究3 ? 求拋物線[y2=ax（a≠0）]的焦點坐標和準線方程.

【設計意圖】模塊化研學通過概念理解、變式驅動、知能入框三大環(huán)節(jié)，實現理解數學概念、解釋數學思想、反思數學思維的效能.本模塊圍繞一個母題進行變式研究，通過不同形狀位置的反復變換，結合數形結合和分類討論兩種數學思想，確立“先定形，后定量”的同一類問題的思維導圖.這種基于一個問題的深度變式研究，能讓學生學會猜測合理的數學結論，提出解決問題的思路與方法，也讓學生對數學本質的認識逐步明朗且不斷深化，實現對核心問題的“明朗化”和“再聚焦”.

四、理解技術 ? 高中數學模塊化研學之效

理解技術，就是緊密圍繞課堂教學主線，在思維的疑難處和關鍵處，通過技術創(chuàng)設直觀的教育形態(tài)，突破學生思維的難點和盲點，促進更深層次的遷移性學習.現代教育技術具有“思維可視化”的特點，能突破傳統(tǒng)教學無法給學生提供的動態(tài)展示，使得抽象的數學模型變得直觀化，也讓學生數學地“看”和“學”有了更多的可能.合理使用教育技術，不僅可以改善課堂的教學形態(tài)，也為學生理解數學提供了新的認知途徑，思維時空得到突破，思維能力得到增強，探尋數學新知的能力得到鍛煉.

【教學實錄】拋物線定義理解模塊的研學過程

師：給出拋物線的定義.在平面內，與一個定點F和一條定直線l（l不經過點F）的距離相等的點的軌跡叫拋物線.（幾何畫板進行演示）

師：同學們，審視一下拋物線的定義，有怎樣的啟示？

（學生進行小組討論）

生：一個定點F和一條定直線l.

生：l不經過點F.

師（追問）：如果l經過點F，則點的軌跡是什么？

生：（展開討論）是過點F且垂直于l的一條直線.

（教師用幾何畫板進行驗證）

師：（板書）拋物線的定義可以概括為：一動三定.一動：即形成軌跡的動點M.三定：即一定點：F為焦點;一定直線：l為拋物線的準線;一定值：點M到點F的距離與它到定直線l的距離相等.

師：（總結）平面內到一定點距離與到一定直線距離相等的點的軌跡不一定是拋物線.當直線l經過點F時，點的軌跡是過定點F且垂直于定直線l的一條直線;當l不經過點F時，點的軌跡是拋物線.

【設計意圖】模塊化研學的過程體現為抽象化認識、圖表化演繹、研學化推進、框架化構建的特點，學生不斷提煉總結，從思路、知識、方法等方面進行歸納，形成模塊的思維邏輯結構.本節(jié)課，教育技術的使用雖然不多，但在本模塊的學習中，緊扣拋物線概念的組成要素，針對l不經過點F的知識模糊點等，借助幾何畫板進行一般觀念的直觀驗證，有利于學生深刻理解概念，形成研學思考的習慣.同時，在拋物線方程的推導過程中，為發(fā)現在不同建系方式下得出的不同方程間的內在聯系，借助幾何畫板，通過圖象移動，直觀地呈現出不同方程的內在聯系，自然地引出拋物線標準方程，有利于學生從形象思維和直覺思維過渡到邏輯思維.

總之，追尋數學的本源，把握數學的本質，體悟數學思想的內涵，培育分析探求、解決問題的科學思維習慣和理性精神，高中模塊化研學應當可以有更大的作為.

參考文獻：

[1]王曉東.高中數學教學：理論思考與研學實踐[M].南京：南京大學出版社，2019：105-114.

[2]蘇里陽.基于“三個理解”，踐行“取勢明道優(yōu)術”[J].中國數學教育（高中版），2020（3）：3-6.

[3]章建躍.數學抽象：從背景到概念再到結構[J].中國數學教育（高中版），2019（12）：8-15.