須勤

[摘? 要] 符號意識是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)符號意識是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo). 文章梳理概括了數(shù)學(xué)符號意識的內(nèi)涵及構(gòu)成要素，提出了可以通過創(chuàng)設(shè)具體教學(xué)情境、重視數(shù)學(xué)探究活動(dòng)、注重綜合實(shí)踐、滲透數(shù)學(xué)思想方法來培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)符號意識.

[關(guān)鍵詞] 符號意識;內(nèi)涵理解;培養(yǎng)策略

英國數(shù)學(xué)家羅素曾經(jīng)說過：“數(shù)學(xué)是一種只涉及符號的奇特的真理.”[1]由此可以看出，數(shù)學(xué)符號對數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展，起著至關(guān)重要的作用. 可以說，整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展史就是數(shù)學(xué)符號完善的歷史.數(shù)學(xué)符號包括字母、數(shù)字和數(shù)學(xué)關(guān)系式等，它作為數(shù)字知識的載體，具有簡潔美;作為一種數(shù)學(xué)語言，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，是在解決數(shù)學(xué)問題的過程中用于表示、計(jì)算和推理論證的工具.國外很多國家，如英國、德國、美國、加拿大、芬蘭、新加坡等的課程標(biāo)準(zhǔn)中都有發(fā)展“數(shù)學(xué)符號意識”這一重要目標(biāo).在我國，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)符號意識是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，也是《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）提出的數(shù)學(xué)課程目標(biāo)之一. 因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，使學(xué)生懂得數(shù)學(xué)符號的意義，指導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)符號來解決問題，是數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)之一，我們應(yīng)該發(fā)展和培養(yǎng)學(xué)生的符號意識.

數(shù)學(xué)符號意識的內(nèi)涵及構(gòu)成要素

當(dāng)前，國內(nèi)外學(xué)者對數(shù)學(xué)符號意識的理解有兩類主要觀點(diǎn). 第一類觀點(diǎn)側(cè)重“學(xué)科”性，認(rèn)為數(shù)學(xué)符號代表的是數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，從數(shù)學(xué)文化層面上來講，是正確并靈活使用數(shù)學(xué)符號的一種較高水平能力，更側(cè)重于對數(shù)學(xué)符號的描述，是主動(dòng)使用數(shù)學(xué)語言，在文字符號與圖形符號之間合理轉(zhuǎn)化的一種方法與理念，將其視為數(shù)學(xué)符號語言的一種表征形式. 第二類觀點(diǎn)主要強(qiáng)調(diào)“意識”層面，認(rèn)為數(shù)學(xué)符號意識作為數(shù)感的邏輯延伸，它是超越數(shù)感的較高的一種能力水平，是人們對數(shù)學(xué)符號的感悟及態(tài)度，要在理解、運(yùn)用、交流數(shù)學(xué)符號的過程中體現(xiàn)主觀能動(dòng)性[2].

符號意識有五個(gè)構(gòu)成要素：客觀事物、符號表征、思想方法、數(shù)學(xué)理解和思維結(jié)構(gòu). 其中，思維結(jié)構(gòu)是最核心的要素，客觀事物間的本質(zhì)屬性通過概括思維，被抽象出來，用數(shù)學(xué)符號來表征，這對數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展有著極其重要的作用. 而數(shù)學(xué)表征的起點(diǎn)和終點(diǎn)是數(shù)學(xué)理解，最終通過求解思維的指導(dǎo)，利用數(shù)學(xué)思想方法來解決問題[3]. 基于以上對符號意識的內(nèi)涵的理解及這五個(gè)構(gòu)成要素，數(shù)學(xué)符號意識可劃分為以下四個(gè)維度：數(shù)學(xué)符號感知維度、數(shù)學(xué)符號表征維度、數(shù)學(xué)符號推理維度、數(shù)學(xué)符號運(yùn)算維度.

數(shù)學(xué)符號意識的培養(yǎng)策略

數(shù)學(xué)教育的根本任務(wù)是提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，而數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中，最重要的一項(xiàng)是數(shù)學(xué)符號意識，它是衡量符號化思想和抽象思維的重要指標(biāo).在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，應(yīng)該伴隨數(shù)學(xué)符號的教學(xué)，使學(xué)生掌握并理解各類數(shù)學(xué)符號，正確運(yùn)用數(shù)學(xué)符號進(jìn)行推理和運(yùn)算，是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)符號意識，應(yīng)該貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)的始終.

（一）創(chuàng)設(shè)具體教學(xué)情境，提升學(xué)生對數(shù)學(xué)符號的感知能力

從數(shù)學(xué)符號的發(fā)展歷程來看，從客觀事物抽象成規(guī)范統(tǒng)一的數(shù)學(xué)符號經(jīng)歷了漫長的過程，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，不能把數(shù)學(xué)符號作為一種記號直接灌輸給學(xué)生，認(rèn)為學(xué)生理所應(yīng)當(dāng)能掌握，而是應(yīng)該講清每個(gè)符號的由來與發(fā)展歷史，由淺入深、循序漸進(jìn). 要讓學(xué)生在習(xí)得過程中理解，主動(dòng)地去接受，而不是被動(dòng)接受. 比如，在對數(shù)知識的教學(xué)中，由于學(xué)生剛剛接觸這個(gè)新的符號，接受起來會(huì)感覺困難比較大. 此時(shí)，我們應(yīng)該怎么辦？首先，教師應(yīng)該講清對數(shù)符號的由來及發(fā)展歷史：16、17世紀(jì)之交，隨著航海、天文、軍事及貿(mào)易的不斷發(fā)展，改進(jìn)數(shù)字計(jì)算方法成了當(dāng)務(wù)之急.約翰·納皮爾在研究天文學(xué)的過程中，為了簡化其中的計(jì)算而發(fā)明了對數(shù).對數(shù)的發(fā)明是數(shù)學(xué)史上的里程碑，被恩格斯列為17世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大成就之一. 伽利略也說過：“給我空間、時(shí)間及對數(shù)，我就可以創(chuàng)造一個(gè)宇宙.”可見對數(shù)的意義之重大.另外，對數(shù)的引入還可以設(shè)置這樣一個(gè)教學(xué)情境：莊子曰：“一尺之棰，日取其半，萬事不竭.”請問取4次，還有多長？取多少次，還有■？由指數(shù)的運(yùn)算，我們不難看出，取4次，還有■■=■尺;如果取x次，還有■尺，則有■■=■，這里x在指數(shù)的位置上，這個(gè)方程如何求解呢？由此引入對數(shù)的概念. 此處，要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)，logaN這是一個(gè)整體的符號，一定要規(guī)范書寫對數(shù)符號，同時(shí)讓學(xué)生明白這是指數(shù)的逆運(yùn)算.這樣，一方面讓學(xué)生了解了對數(shù)發(fā)展的歷史，感悟了數(shù)學(xué)文化;另一方面，也幫助學(xué)生理解了對數(shù)符號的意義，提升了學(xué)生對數(shù)學(xué)符號的感知能力.

（二）重視數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)符號的表征能力

一部分?jǐn)?shù)學(xué)知識的獲取靠模仿，另一部分?jǐn)?shù)學(xué)知識的獲取需要讓學(xué)生親身體驗(yàn)感悟，只有通過反復(fù)體悟，有了深刻的理解，才能真正獲取. 如果只是被動(dòng)地吸收符號，就無法達(dá)到創(chuàng)造性地使用符號，甚至更高層次. 讓學(xué)生從具體事物抽象得到數(shù)學(xué)符號的過程，這是學(xué)生認(rèn)知層面的一種遷躍. 例如，我們對于向量a·b數(shù)量積符號的引入，從實(shí)際問題：一個(gè)物體在力F的作用下發(fā)生了位移s，那么該力對物體所做的功是多少？我們知道，如果力F與物體位移s方向的夾角為θ，那么力F所做的功W應(yīng)該為W=F·scosθ. 若把W看成兩個(gè)向量F與s的某種運(yùn)算結(jié)果，那么這個(gè)結(jié)果是一個(gè)數(shù)量，它不僅與兩個(gè)向量的長度有關(guān)，而且還與這兩個(gè)向量的夾角有關(guān)，這是一種新的運(yùn)算. 從而得到向量數(shù)量積的定義. 這樣的一番探究活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷了從客觀事物抽象成數(shù)學(xué)符號的過程，有效地內(nèi)化了向量數(shù)量積這個(gè)數(shù)學(xué)符號，而不是僅僅停留在記憶層面.

另外，要注意數(shù)學(xué)符號的書寫一定要規(guī)范！在授課過程中，要注意讓學(xué)生把正確的數(shù)學(xué)符號深深地刻進(jìn)腦海.要跟學(xué)生強(qiáng)調(diào)，a·b中的“·”不能省略也不能寫成“×”，因?yàn)橄蛄繑?shù)量積的運(yùn)算不同于代數(shù)中的乘法運(yùn)算，而如果中間用“×”，會(huì)變成兩個(gè)向量的另外一種運(yùn)算，這是我們以后會(huì)學(xué)到的.書寫錯(cuò)誤的學(xué)生實(shí)際上是對這些符號的意義不理解或者理解不透徹造成的.還要注意數(shù)學(xué)符號的讀法，這也是不容忽視的.有的學(xué)生認(rèn)為只要寫出來就行，如何讀無所謂，這是錯(cuò)誤的. 正確地讀出數(shù)學(xué)符號可以幫助我們正確記憶它，如這里兩個(gè)向量的數(shù)量積a·b，之所以稱這兩個(gè)向量的數(shù)量積是因?yàn)檫\(yùn)算結(jié)果是“數(shù)量”而不是“向量”，所以讀清楚讀完整這個(gè)數(shù)學(xué)符號可以幫助我們得到正確的運(yùn)算結(jié)果，a·b我們還可以讀成向量a“點(diǎn)積”或“點(diǎn)乘”向量b，這樣的讀法也可以幫助我們正確記憶這個(gè)數(shù)學(xué)符號，中間的“·”就不會(huì)因?yàn)椴蛔⒁舛┑艋驅(qū)懗伞啊痢保霈F(xiàn)書寫錯(cuò)誤了.

這樣學(xué)生才真正理解了向量數(shù)量積的定義，并且能對這個(gè)數(shù)學(xué)符號形成正確表征.在整個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中，發(fā)展了學(xué)生的抽象思維，也推動(dòng)了學(xué)生的心理從被動(dòng)接受數(shù)學(xué)符號轉(zhuǎn)化成主動(dòng)使用并喜愛數(shù)學(xué)符號，在這樣的探究過程中，學(xué)生形成了積極的數(shù)學(xué)符號意識，加強(qiáng)了數(shù)學(xué)符號的表征能力.

（三）注重綜合實(shí)踐，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)符號的推理能力

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最終目的是應(yīng)用，要用已有的數(shù)學(xué)知識激發(fā)他們的符號意識. 在教學(xué)過程中，教師要關(guān)注學(xué)生利用數(shù)學(xué)符號通過運(yùn)算、推理等解決實(shí)際問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生符號化的過程. 用符號表示數(shù)學(xué)中的變化規(guī)律及表達(dá)數(shù)量之間的關(guān)系，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)符號的應(yīng)用，可以揭示問題的普遍性和一般性.如以下這個(gè)數(shù)列問題：已知數(shù)列■，■，■，…，■，…（1）計(jì)算S1，S2，S3，S4;（2）根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想Sn的表達(dá)式;（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.這里的第一小題，涉及分?jǐn)?shù)乘法和加法的運(yùn)算;第二小題，學(xué)生要從以上得到的計(jì)算結(jié)果中尋找規(guī)律，這四個(gè)計(jì)算結(jié)果之間有怎樣的關(guān)系，讓學(xué)生猜想寫出Sn的表達(dá)式，即是讓學(xué)生使用數(shù)學(xué)符號表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系，運(yùn)用相關(guān)條件和線索，形成從特殊到一般的合情推理過程;第三小題，要求學(xué)生用數(shù)學(xué)歸納法對其進(jìn)行嚴(yán)格的推理證明，驗(yàn)證符號所得的一般結(jié)論的正確性，培養(yǎng)了學(xué)生對數(shù)學(xué)符號的推理證明能力.

（四）滲透數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)符號的運(yùn)算能力

對于數(shù)學(xué)運(yùn)算而言，數(shù)學(xué)符號是基礎(chǔ)，是載體. 要讓學(xué)生用自己的話理解，表達(dá)各種數(shù)學(xué)符號，提高記憶. 對于難記的復(fù)雜的公式，可以通過圖示或列表等方法進(jìn)行對比記憶. 對于一些典型錯(cuò)誤，要辨析并加以糾正. 可以采用變式教學(xué)，舉正反例來加以強(qiáng)化. 有些學(xué)生在解題過程中，靈活度不夠，從而造成運(yùn)算過程煩瑣而出錯(cuò)，因而在教學(xué)中可以穿插一些靈活性較高的題目，加以訓(xùn)練，鼓勵(lì)學(xué)生一題多解，在各種解法中滲透數(shù)學(xué)思想方法，如“換元思想”“數(shù)形結(jié)合思想”等. 同時(shí)讓學(xué)生養(yǎng)成解完題總結(jié)運(yùn)算規(guī)律及運(yùn)算技巧的習(xí)慣.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 史寧中. 數(shù)學(xué)思想概論——圖形與圖形關(guān)系的抽象[M]. 長春：東北師范大學(xué)出版社，2009.

[2]? 李艷琴，宋乃慶. 小學(xué)低學(xué)段數(shù)學(xué)符號意識的含義及其表現(xiàn)形式[J]. 課程·教材·教法，2016（3）.

[3]? 朱立明，馬云鵬. “數(shù)學(xué)符號意識”研究：內(nèi)涵與維度[J]. 教育理論與實(shí)踐，2015（32）.