摘 要：數(shù)學(xué)抽象概括，既是形成數(shù)學(xué)思想與方法理論的核心思維方式，又是應(yīng)用數(shù)學(xué)思想與方法解決實(shí)際問題的核心素養(yǎng)能力。直觀想象與數(shù)據(jù)分析是數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)抽象后的形式化語言，而數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理均是數(shù)學(xué)形式化語言的演繹。發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)途徑為：重視感知 促進(jìn)事物層面的抽象;引導(dǎo)表述 促進(jìn)語言層面的抽象;啟迪建模 促進(jìn)形式層面的抽象;抓住精髓 促進(jìn)思想層面的抽象。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)抽象;數(shù)學(xué)感知;數(shù)學(xué)表述;數(shù)學(xué)建模;數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：數(shù)學(xué)是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進(jìn)行廣泛應(yīng)用的過程。從上面敘述可以看出：數(shù)學(xué)抽象概括，既是形成數(shù)學(xué)思想與方法理論的核心思維方式，又是應(yīng)用數(shù)學(xué)思想與方法解決實(shí)際問題的核心素養(yǎng)能力。有人把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)概括為數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等六個(gè)方面。就六大素養(yǎng)之間的內(nèi)在聯(lián)系來說，直觀想象與數(shù)據(jù)分析是數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)抽象后的形式化語言，而數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理均是數(shù)學(xué)形式化語言的演繹。故本人認(rèn)為，數(shù)學(xué)抽象才是數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的關(guān)鍵性素養(yǎng)。

數(shù)學(xué)抽象，指抽取出同類數(shù)學(xué)對象的共同的、本質(zhì)的屬性或特征，舍棄其他非本質(zhì)的屬性或特征的思維過程。在思維進(jìn)程方面，它包括“觀察發(fā)現(xiàn)”“分析歸納”“抽象概括”三個(gè)過程，其中“抽象概括”又必須經(jīng)歷“具體到抽象的語言表述→語言到符號的形式化→形式化到數(shù)學(xué)思想”這三個(gè)思維過程。文章依據(jù)數(shù)學(xué)抽象的思維過程特征，就小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)如何發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，談?wù)剛€(gè)人的認(rèn)識。

一、 重視感知 促進(jìn)事物層面的抽象

數(shù)學(xué)抽象是從不同形式或內(nèi)容中的諸多事物中，就數(shù)量或空間形式關(guān)系抽取出共同的、本質(zhì)的屬性或特征，然后用形式化的數(shù)學(xué)語言來描述這類事物，其中對數(shù)學(xué)問題的感知過程是數(shù)學(xué)抽象的前提，感知越豐富越全面，抽象才會越完善越深刻，而觀察與發(fā)現(xiàn)是感知的主要方式。因此，在數(shù)學(xué)概念的構(gòu)建教學(xué)中，教師應(yīng)從不同的角度和不同的層面來提供豐富的感知素材，讓學(xué)生去觀察，去發(fā)現(xiàn)，辨析它們的差異與共同點(diǎn)，為數(shù)學(xué)抽象奠定扎實(shí)的感知基礎(chǔ)。

如《分?jǐn)?shù)的意義》課題，教材是通過“兩個(gè)人分一個(gè)蘋果或一個(gè)月餅”來說明分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生，然后“用一根香蕉是4根香蕉的1/4”和“2個(gè)面包是8個(gè)面包的1/4”的事例來詮釋分?jǐn)?shù)的意義。本人認(rèn)為，這樣的感知素材既單一（均是實(shí)物），又難于充分體現(xiàn)分?jǐn)?shù)的本質(zhì)內(nèi)涵。因而教學(xué)中可以增設(shè)以下教學(xué)案例素材：

①8小時(shí)是一天時(shí)間的多少？②珠穆朗瑪峰的高度約為海拔8800米，福建武夷山的黃岡山的最高處約為海拔2200米，黃崗山高度是珠穆朗瑪峰高度的多少？③腐敗官員一頓飯花費(fèi)人民幣約為40000元，貧困山區(qū)的孩子一年的生活總費(fèi)用約為人民幣2000元，后者一年的生活總費(fèi)用是前者一頓飯花費(fèi)的多少？

在上面三個(gè)教學(xué)案例中，素材①是反映既看不見又摸不著且具有流失性的時(shí)間，素材②是反映我國某些地理位置的特征，素材③則是反映不同人之間的生活落差。這樣不僅能從不同的角度和不同的思想層面揭示了分?jǐn)?shù)的文化內(nèi)涵，同時(shí)又賦予了分?jǐn)?shù)深刻的思想內(nèi)涵，它能促使學(xué)生領(lǐng)悟：分?jǐn)?shù)既可以反映同一事物局部和整體的數(shù)量關(guān)系，也可以反映相近或相關(guān)兩個(gè)事物間在數(shù)量方面的局部與整體的數(shù)量意義。對于教材中“一個(gè)物體、一個(gè)計(jì)量單位或是一些物體等都可以看作一個(gè)整體，把這個(gè)整體平均分成若干份，這樣的一份或幾份都可以用分?jǐn)?shù)來表示”的描述，如果不增設(shè)上述事例，學(xué)生何以能理解這種抽象后外延被放大的“整體”含義。誠然，通過上述列舉的事例，雖然不能致使學(xué)生做到教材所要求的數(shù)學(xué)抽象理解，但對于發(fā)展學(xué)生在事物層面的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)卻有著很好的促進(jìn)作用。

二、 引導(dǎo)表述 促進(jìn)語言層面的抽象

由具體到抽象的語言表述是數(shù)學(xué)抽象的首要過程，它是把一個(gè)個(gè)具體事物共同的或本質(zhì)性特征抽取出來，然后用語言或文字進(jìn)行表述的過程。語言表述，簡單地說，就是下定義或提出新概念。準(zhǔn)確精煉的語言表述是建立數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)，其中既包含有分析與比較的辨異思維，又蘊(yùn)含著歸納與概括的求同思維，因而它是數(shù)學(xué)抽象的關(guān)鍵性過程。然而在實(shí)際的教學(xué)中，絕大多數(shù)教師都是用自己的講解來取代學(xué)生的理解性描述，一種能有效訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的機(jī)會則悄然流失。當(dāng)然，由具體到抽象的語言表述是一種很高的能力素養(yǎng)，尤其是小學(xué)生，要求他們能用精練準(zhǔn)確的語言來表述內(nèi)涵深刻的知識概念，似乎不可思議，但這就是課堂教學(xué)發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的突破點(diǎn)——如何引導(dǎo)學(xué)生來表述知識或概念。

首先，要訓(xùn)練學(xué)生的“同中辨異”和“異中求同”的比較思維，在認(rèn)知構(gòu)建方面能夠抓住事物共同性或本質(zhì)性的內(nèi)涵要點(diǎn)。其次，是教學(xué)學(xué)生學(xué)會提煉與概括，為對知識概念描述奠定認(rèn)知與能力基礎(chǔ)。

如對“平行四邊形”的認(rèn)識，教學(xué)中通常會給出正方形、長方形、菱形、一般的平行四邊形等圖形讓學(xué)生觀察，為了讓學(xué)生準(zhǔn)確地把握平行四邊形的共同特征，教師就可以設(shè)置如下問題讓學(xué)生進(jìn)行辨析思考：

①它們一共有幾條邊？兩組對邊具有什么特點(diǎn)？②相鄰兩邊一定相等嗎？③四個(gè)角相等嗎？對角呢？

如果學(xué)生能從這些圖形中歸納出“兩組對邊互相平行”“兩組對邊分別相等”“兩組對角分別相等”這三個(gè)共同特征，那么他們就能較為準(zhǔn)確地說出“平行四邊形”的概念內(nèi)涵?？赡茉诒磉_(dá)方面欠嚴(yán)密，如“平行四邊形是兩組對邊互相平行的圖形”，也可能欠精煉，如“平行四邊形是對邊平行、對邊相等、對角相等的四邊形”。這些表述，在概括方面雖有欠缺，但它正是學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力發(fā)展的真實(shí)反映，教學(xué)中只要稍加引導(dǎo)，學(xué)生的抽象概括能力自然會得到提升。

三、 啟迪建模 促進(jìn)形式層面的抽象

建模，即建立數(shù)學(xué)模型。所謂數(shù)學(xué)模型，就是應(yīng)用數(shù)字、符號、圖形并依據(jù)數(shù)理邏輯與方法來描述數(shù)學(xué)問題，其特征是形式簡潔，其作用是為形式演繹和邏輯推理提供捷徑。建模是數(shù)學(xué)問題在形式層面的抽象，與前面的語言表述相比，它更概括，更精煉，更簡約。如“分?jǐn)?shù)”，它是反映所有事物的局部與整體的數(shù)量關(guān)系?？梢?，建模是更高級的抽象，也是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論的重要形式和方法。

啟迪學(xué)生正確地建立數(shù)學(xué)模型，關(guān)鍵在于引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟或把握數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建原理與方法。關(guān)于原理與方法，它可能是某種數(shù)學(xué)原理，如計(jì)算長方形面積公式為“長×寬”;也可能是某種物理原理，如運(yùn)動問題中的“速度=路程÷時(shí)間”，還可以是某種數(shù)量關(guān)系，如“1小時(shí)等于60分鐘”等，不同的數(shù)學(xué)問題，其建模的原理與方法也有所不同，完全依賴于學(xué)生的知識基礎(chǔ)。所謂啟迪建模，就是指教學(xué)中注重啟發(fā)學(xué)生依據(jù)數(shù)理原理與方法并用數(shù)學(xué)語言來描述數(shù)學(xué)問題。如對于構(gòu)建小數(shù)模型，首先，要讓學(xué)生知道“是否是小數(shù)和小數(shù)的位數(shù)與所取的計(jì)量單位有關(guān)”。如“12厘米”的整數(shù)，如果取分米為單位，“12厘米”就是“1.2分米”，如果取米為單位，“12厘米”就是0.12米。其次，要讓學(xué)生把握計(jì)量單位的進(jìn)位制與換算方法，如1元=（100×1）分=100分，屬于百進(jìn)位制，那么1分=（1÷100）元=0.01元，注重引導(dǎo)學(xué)生把握其中的換算要領(lǐng)。當(dāng)學(xué)生領(lǐng)悟了上述構(gòu)建小數(shù)模型的原理與方法，那么學(xué)生對所有牽涉小數(shù)的生活事物，都能夠用小數(shù)模型表示。另外，在后面的小數(shù)加減法列豎式運(yùn)算中，學(xué)生自然會領(lǐng)悟?qū)ξ凰枷?。尤其在以后的乘除運(yùn)算結(jié)果的小數(shù)點(diǎn)取位方面，學(xué)生不僅能較好地掌握小數(shù)點(diǎn)的取位方法，而且能很好地理解其取位原理。

數(shù)學(xué)建模普遍用于解決生活中實(shí)際的數(shù)學(xué)問題，也就是數(shù)學(xué)老師常說的“解應(yīng)用題”。為什么大多數(shù)學(xué)生解應(yīng)用題的能力較低，其中最主要的原因就是不能正確地列出計(jì)算式或數(shù)學(xué)方程，其根源就是數(shù)學(xué)建模思維訓(xùn)練教學(xué)沒到位。知識概念形成中的數(shù)學(xué)建模是解應(yīng)用題中數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)。只有打?qū)嵒A(chǔ)，靈活應(yīng)變的綜合建模思維活力才能得以誘發(fā)。

四、 抓住精髓 促進(jìn)思想層面的抽象

數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)可以概括為三句話：能用數(shù)學(xué)眼光去觀察世界，能用數(shù)學(xué)思維去分析世界，能用數(shù)學(xué)語言去描述世界。指導(dǎo)并促進(jìn)這種行為的是數(shù)學(xué)思想，其中包含數(shù)學(xué)觀念與數(shù)學(xué)方法。從數(shù)學(xué)抽象的角度而言，它既是對數(shù)學(xué)知識體系的融會貫通，又是對數(shù)學(xué)方法的提煉與概括，更是對數(shù)學(xué)思維的統(tǒng)攝與活化。因此，數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟是數(shù)學(xué)抽象最高層次的產(chǎn)物，也是數(shù)學(xué)抽象的精髓。如由長方形的面積公式來推演平行四邊形面積公式、三角形面積公式、梯形面積公式乃至圓面積公式，其中所采用的數(shù)學(xué)方法均是“割補(bǔ)法”，而依據(jù)的數(shù)學(xué)思想則是“化歸思想”，即將未知的，陌生的，復(fù)雜的問題通過演繹歸納轉(zhuǎn)化為已知的，熟悉的，簡單的問題。這種“化歸思想”貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)課程體系，不僅可以用來研究數(shù)學(xué)問題，而且可以用來研究其他學(xué)科問題和分析與解決諸多的日常生活實(shí)際問題，這何以不是數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)。

小學(xué)數(shù)學(xué)知識內(nèi)容雖粗淺與簡單，但其中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想。如《認(rèn)識小數(shù)》課題，教材列舉“水果3.45kg、一支鉛筆0.85元、身高1.2米”等幾組數(shù)據(jù)來介紹小數(shù)，其意圖就是引導(dǎo)學(xué)生在歸納這幾組小數(shù)內(nèi)涵的基礎(chǔ)上來推知其他生活中的小數(shù)，這其中就蘊(yùn)含著“歸納推理”的數(shù)學(xué)思想。又如“分?jǐn)?shù)加減法”，它分“同分母分?jǐn)?shù)加減”和“異分母分?jǐn)?shù)加減”兩種情形，其中就蘊(yùn)含著“分類討論”的數(shù)學(xué)思想，而把“異分母分?jǐn)?shù)”轉(zhuǎn)化為“同分母分?jǐn)?shù)”就是數(shù)學(xué)“化歸”思想。如果教師在教學(xué)中能就這些數(shù)學(xué)思想或方法加以點(diǎn)撥或啟發(fā)，那么學(xué)生既能較好地領(lǐng)悟數(shù)學(xué)課程基本的研究方法和思維方法，又能融會貫通地把握數(shù)學(xué)知識與方法間的內(nèi)在聯(lián)系，這就是思想層面數(shù)學(xué)抽象的價(jià)值。

如何助進(jìn)學(xué)生在數(shù)學(xué)思想層面的抽象，關(guān)鍵在于創(chuàng)設(shè)相應(yīng)的教學(xué)問題。如促使學(xué)生領(lǐng)悟“函數(shù)思想”，教學(xué)中可以就三角形面積公式，讓學(xué)生分別計(jì)算“高相同而底邊不同”或“底邊相同但高不同”的多個(gè)三角形的面積，在比較分析的基礎(chǔ)上抽象出“面積隨底邊或高度的變化而變化”的“函數(shù)思想”。

文章是以“數(shù)學(xué)事物→數(shù)學(xué)內(nèi)涵→數(shù)學(xué)模型→數(shù)學(xué)思想”的數(shù)學(xué)抽象進(jìn)程來闡述數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的途徑與方法，但其中實(shí)際牽涉到數(shù)據(jù)分析、直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算等諸多數(shù)學(xué)素養(yǎng)，正好說明了數(shù)學(xué)抽象這種素養(yǎng)的核心價(jià)值，這也正是文章課題形成的緣由所在。

參考文獻(xiàn)：

[1]高茂軍.核心素養(yǎng)引領(lǐng)下的課堂教學(xué)革新[M].天津教育出版社，2018.

[2]林日福.基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)研究[M].西南師范大學(xué)出版社，2018.

作者簡介：

王慧玲，福建省三明市，福建省三明市寧化縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)。