摘要：數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要任務(wù)是教學(xué)生數(shù)學(xué)建模，即如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，從而建立數(shù)學(xué)模型求解?！坝|礁、穿越、影響”等問題是生活中典型的實(shí)際問題，它們對應(yīng)的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)是什么呢？本文通過實(shí)例分析、說明，歸納、介紹了這類問題的解題思路與方法。

關(guān)鍵詞：實(shí)際問題;數(shù)學(xué)思想;解法

在學(xué)習(xí)了勾股定理、直角三角函數(shù)等知識后，解題中不時會遇到輪船航行中會不會觸礁、修建高速公路會不會穿越保護(hù)區(qū)及大貨車通過某路段時其噪聲會不會影響學(xué)校教學(xué)等實(shí)際問題，學(xué)生由于不明白實(shí)際問題的數(shù)學(xué)意義，不能將“實(shí)際問題”轉(zhuǎn)化為“數(shù)學(xué)模型”，往往不知所措，不得不依依不舍地放棄。

仔細(xì)分析總結(jié)觸礁、穿越、影響等問題不難發(fā)現(xiàn)，雖然這些問題的表達(dá)形式不同，解題方法、過程也各有特點(diǎn)，但它們所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)卻是一致的，那就是“兩理一法” 即“垂線段最短原理、勾股定理和比較法”的應(yīng)用。只不過有的側(cè)重于“長度比較”，有的側(cè)重于“長度再應(yīng)用”而已。同學(xué)們只要明白了這個實(shí)質(zhì)，再掌握一些相關(guān)知識，如直角三角形性質(zhì)（包括直角三角函數(shù)）、等腰三角形性等，解題時能綜合應(yīng)用，困難就會迎刃而解了。下面舉例說明。

一、長度比較問題

這類問題的結(jié)論往往是：“會不會怎樣？”的問法，如會不會觸礁？能不能穿越？或會不會影響？等等實(shí)際問題，數(shù)學(xué)問題就是“長度比較”，即點(diǎn)到線的距離與已知半徑比較，本質(zhì)是求直角三角形的邊長。方法一般是：首先，利用“垂線段最短”數(shù)學(xué)原理，過公園（或海島）所在位置（點(diǎn)）作前進(jìn)方向線所在直線的垂線，利用勾股定理及三角函數(shù)等性質(zhì)求出垂線段的長;然后，將垂線段長與公園半徑進(jìn)行比較;第三，根據(jù)比較結(jié)果問答、解決問題，當(dāng)垂線段長大于半徑時，不會的; 當(dāng)垂線長不大于半徑時，會的。

例1、某地要修建東西走向的一條高速公路，工程行進(jìn)到點(diǎn)A時，發(fā)現(xiàn)北偏東60的方向有一個小公園P，當(dāng)公路修建向前推進(jìn)10千米時到達(dá)點(diǎn)B時，測得公園正好在東北方向。中途由于資金問題高速公路修建停工了一年多，在此期間，隨著人們健康意識提高和當(dāng)?shù)攸h委、政府的重視，小公園將擴(kuò)建成半徑為的15千米的圓形“主題健身公園”，試問，復(fù)工后高速公路再修建會影響“主題健身公園”嗎？為什么？

分析：本題是一個實(shí)際問題，解決問題的關(guān)鍵是“會不會影響公園修建”這個實(shí)際問題對應(yīng)的數(shù)學(xué)問題是什么呢？其實(shí)就是公路修建結(jié)束后公園還能不能按計劃修建，也就是公園中心到高速路的距離是不是比公園的計劃半徑大的問題。這就轉(zhuǎn)化成了“求點(diǎn)到直線的距離”，也就是求“長度”的數(shù)學(xué)問題了。

解：過點(diǎn)P作PC ⊥ AB，交AB的延長線于點(diǎn)C，如圖，由題意得，∠PCA=90°，

∠PAC=90°-60°=30°，∠PBC=45°，所以，BC=PC，AP=2PC，由勾股定理得：AC=PC.

因?yàn)锳C-BC=AB，AB=10，所以，PC-PC=10，解得，PC=5（? +1）=13.66，因?yàn)?3.66<15，所以，會影響公園修建。

二、影響時間問題

這類問題往往是在前面問題基礎(chǔ)上的進(jìn)一步深化，數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)是長度小于半徑時，求公園等目標(biāo)點(diǎn)為頂點(diǎn)，底邊在前進(jìn)方向線上腰長為公園半徑的特殊等腰三角形的底邊長，然后，再利用物理知識求時間。

例2、如圖，公路MN和PQ在點(diǎn)P處交匯，已知QPN=30，點(diǎn)A處有一所小學(xué)，AP=160米，假使拖拉機(jī)行駛時，周圍100米內(nèi)會受到噪音影響，那么拖拉機(jī)在公路上沿PN方向行駛時，學(xué)校是否受到噪音影響？若受影響，已知拖拉機(jī)的速度為18千米/小時，那么學(xué)校受影響的時間是多少？

分析：學(xué)校教學(xué)受到影響的條件是點(diǎn)A到公路MN的距離小于100，這個問題的解決首先要求出AB的長，才能作出判斷;如果AB<100，就要考慮在直線MN上什么范圍內(nèi)的點(diǎn)到A的距離不大于100.于是，轉(zhuǎn)化為研究特殊的等腰三角形底邊計算。

解：過點(diǎn)A作直線MN的垂線AB，垂足為B，如圖，由題意知，∠ABP=90°，∠APB=30°，AP=160，所以，AB=80，BP=80，因?yàn)?0<100，所以學(xué)校教學(xué)分受到影響。設(shè)拖拉機(jī)行進(jìn)至點(diǎn)C時影響開始，到點(diǎn)D時影響結(jié)束，如圖，連接AC和AD。由題意得，AC=AD=100，而AB=80，所以由等腰三角形性質(zhì)和勾股定理得BC=BD=60，所以CD=2BC=120，影響時間t=120/18=20/3小時=24秒。因此，學(xué)校受影響的時間是24秒。

作者簡介：婁金智（1965-）男，貴州余慶人，本科，中學(xué)高級教師，研究方向：初中數(shù)學(xué)教學(xué)與解題研究.