蔣春梅 王群智 楊東紅

【摘要】傳統(tǒng)的概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程的課堂教學(xué)難以滿足現(xiàn)代大學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，結(jié)合新興的互聯(lián)網(wǎng)+信息教學(xué)技術(shù)和移動教學(xué)平臺，對概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程的課堂教學(xué)改革是教學(xué)研究的重點?；谠瓢嗾n的教學(xué)平臺，采用混合式的教學(xué)模式應(yīng)用于概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程的課堂教學(xué)設(shè)計及案例實施中。教學(xué)實踐表明，線上線下混合的教學(xué)方式有助于提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性，也促進教師更新教學(xué)理念和方法，達到提高課堂教學(xué)質(zhì)量的效果。

【關(guān)鍵詞】云班課? 概率論與數(shù)理統(tǒng)計? 混合式

【中圖分類號】G642;O21-4 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2021）06-0122-03

一、研究背景

概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程是各大院校理工和經(jīng)管類各專業(yè)的基礎(chǔ)必修課程之一，是一門應(yīng)用性極強的數(shù)學(xué)學(xué)科。課程側(cè)重培養(yǎng)學(xué)生的隨機思維、數(shù)據(jù)意識和科學(xué)的思維能力，所提供的數(shù)學(xué)理論知識、思想方法不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)后繼課程的重要工具，也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新應(yīng)用能力的重要理論保障。概率統(tǒng)計教學(xué)基本以課堂教學(xué)為主，而課堂教學(xué)是高校人才培養(yǎng)的主陣地，《中共教育部黨組關(guān)于加強高效課堂教學(xué)建設(shè)提高教學(xué)質(zhì)量的指導(dǎo)意見》要求各高校適應(yīng)新時期課堂教學(xué)的特點，抓好課堂教學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。該門課程中的許多概念、公式、定理等理論知識比較抽象難懂，需要一定的大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識儲備，學(xué)生學(xué)習(xí)起來會感覺比較枯燥、乏味。

目前，概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)以“教師講，學(xué)生聽”的單向課堂為主，學(xué)生往往不知道為什么要學(xué)習(xí)相關(guān)理論知識，容易跟不上老師的思路和節(jié)奏，感到所學(xué)知識與實際工作所需要的技能、素質(zhì)嚴重脫節(jié)，他們在課堂投入的智力和情感程度較低，更難以滿足“互聯(lián)網(wǎng)+”時代下企事業(yè)單位對人才數(shù)學(xué)思維能力的要求。如何使抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容具體實例化，以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，如何加強課堂對學(xué)生學(xué)習(xí)效果的管理和監(jiān)測，實現(xiàn)以教師為中心、學(xué)生被動接受的傳統(tǒng)模式逐漸轉(zhuǎn)變以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體的教學(xué)模式轉(zhuǎn)變。結(jié)合實際教學(xué)經(jīng)驗，本文以“數(shù)學(xué)期望”教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計為案例給出新的嘗試，通過混合啟發(fā)式、互動式、討論式教學(xué)方法，線上線下相結(jié)合的教學(xué)模式，引導(dǎo)學(xué)生回歸數(shù)學(xué)的本質(zhì)，從理解概念的來源、期望概念的實際應(yīng)用和它的各類計算方法，設(shè)計問題來吸引學(xué)生的注意力，提高利用數(shù)學(xué)思維來分析和解決實際問題的能力。

二、混合式教學(xué)模式在概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學(xué)中的

設(shè)計和實踐

線上線下混合式的教學(xué)方式是將網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)優(yōu)勢和傳統(tǒng)教學(xué)模式優(yōu)勢相結(jié)合的教學(xué)模式，這種教學(xué)模式既能發(fā)揮教師在引導(dǎo)、啟發(fā)、管理學(xué)生學(xué)習(xí)方面的主導(dǎo)作用，又能充分調(diào)動學(xué)生的主動性和積極性，滿足學(xué)生差異化學(xué)習(xí)的需求。開展混合教學(xué)模式首要條件就是網(wǎng)絡(luò)平臺課程資源的搭建，在此基礎(chǔ)上才能設(shè)計實施混合式教學(xué)方案。本文主要借助云班課智能教學(xué)助手為學(xué)生進行自主學(xué)習(xí)和移動學(xué)習(xí)提供平臺，其中包括課程電子教案和課件，練習(xí)與測驗供學(xué)生課前預(yù)習(xí)、課堂熟練、課后鞏固提高，課程拓展資源等內(nèi)容，為課程打造為校級精品課程做籌備。下面以數(shù)學(xué)期望為例說明基于云班課的混合式教學(xué)模式的實踐應(yīng)用過程。

1.課前任務(wù)。數(shù)學(xué)期望是概率統(tǒng)計課程里非常重要的概念，它是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)統(tǒng)計推斷的常用數(shù)學(xué)工具。針對本節(jié)教學(xué)目標和重難點要求，教師課前在云班課平臺布置兩個預(yù)習(xí)任務(wù)：（1）回憶中學(xué)里平均值的含義，猜測離散型兩點分布隨機變量的平均值;（2）一個隨機變量與常數(shù)之間如何進行比較呢？預(yù)習(xí)小任務(wù)可以讓學(xué)生帶著問題進行自主學(xué)習(xí)，開始思考數(shù)學(xué)期望概念最開始的出處，它是平均值的推廣和一般化。

2.基于問題導(dǎo)入新課的內(nèi)容。通過兩個引例，射擊訓(xùn)練中的平均射中環(huán)數(shù)和嘉年華中經(jīng)典的擲三骰子游戲引入數(shù)學(xué)期望概念的來源，第一個引例學(xué)生很熟悉，將平均環(huán)數(shù)的數(shù)學(xué)形式變形成所有取值與其比例的乘積，來啟發(fā)學(xué)生加深對平均值的再認識——隨機現(xiàn)象的各種結(jié)果與其取值概率乘積的全求和。第二個引例，首先你需要下1美元的注，接著你可以擲三個骰子，如果結(jié)果中至少有一個骰子是6點，你將獲得2美元，如果結(jié)果中沒有一個骰子是6點，你沒有任何收益，問：值得玩此游戲么？教師先引導(dǎo)學(xué)生預(yù)料這個游戲可能的結(jié)果：（1）收益2美元，其概率為P{至少有一個骰子是6點}=1-=;（2）沒有收益，其概率為P{沒有一個骰子是6點}=，由引例1的經(jīng)驗提問學(xué)生，玩一局游戲可期待的收益為多少？不難得出結(jié)果2×+0×=0.84美元。對比投入1美元的，顯然收益對商家更為有利。為進一步理解這個式子，繼續(xù)提問學(xué)生擲三個骰子有多少種不同的等可能結(jié)果？63=216，其中53=125種結(jié)果的收益為0美元，63-53=91種結(jié)果的收益為2美元，如此=2×+0×，確實表示玩一局游戲的平均收益。

兩個引例直觀形象，與中學(xué)的平均值自然銜接，由此引入數(shù)學(xué)期望概念的含義。假設(shè)某隨機變量可能出現(xiàn)的數(shù)值為x1，x2，概率分別為p1，p2，這時的平均值就表示為x1p1+x2p2。更為普遍的情況，若隨機變量可能出現(xiàn)的結(jié)果有x1，x2，…，xn，相應(yīng)的概率為p1，…，pn，則這個隨機變量的平均值為x1p1+x2p2+…+xnpn。學(xué)生初步建立平均值是以概率為權(quán)重的加權(quán)平均思想，數(shù)學(xué)期望的概念即來源于此，從而誘導(dǎo)出離散型隨機變量數(shù)學(xué)期望的定義。

3.數(shù)學(xué)期望的定義及理論應(yīng)用。1657年，惠更斯將他和帕斯卡、費馬的討論整理成《關(guān)于賭博中的推斷》一書。書中，惠更斯明確提出數(shù)學(xué)期望的初始形式：數(shù)學(xué)期望是簡單算術(shù)平均的一種推廣，它也稱為均值。實際生活中平均值的概念廣泛存在，如某課程考試的平均成績，某國家人口的平均壽命，一段時間內(nèi)某城市新售商品房的平均單價等。下面來看離散型隨機變量數(shù)學(xué)期望的定義：

定義3.1 設(shè)X為離散型隨機變量，其分布律為P{X=xk}=pk（k=1，2，…）若級數(shù)xkpk絕對收斂，則稱此級數(shù)為隨機變量X的數(shù)學(xué)期望，記為E（X）。

這里解釋一下學(xué)生可能的困惑：條件中級數(shù)xkpk絕對收斂的原因，它是為保證級數(shù)求和與次序無關(guān)。教師啟發(fā)學(xué)生注意到數(shù)學(xué)期望是一個數(shù)字，不再具有隨機性。并指出數(shù)學(xué)期望的統(tǒng)計意義，它反映隨機變量眾多取值的中心位置，隨著對隨機變量觀察次數(shù)的增加，大量觀察值的平均值會越來越接近其數(shù)學(xué)期望E（X）。接下來以彩票中獎問題為例，彩票共100萬張，每張5元。頭獎8個，獎10萬元;二等獎100個，獎5000元;三等獎1000個，獎200元;四等獎100000個， 獎10元， 問買彩票是一種投資方式嗎？通過計算一張彩票的平均收益，學(xué)生發(fā)現(xiàn)買彩票并不是一種投資，只是一種獻愛心的行為。這里切入課程思政教育——大數(shù)據(jù)時代，不抱僥幸心理，有限的時間花在更有意義的事情上來。離散型中最常見的泊松分布作為練習(xí)題，學(xué)生自行練習(xí)，師生一起探討它的數(shù)學(xué)期望求解過程。

有了離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的概念，自然要問連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的概念，這也是本節(jié)教學(xué)內(nèi)容的難點。這里我們通過類比、轉(zhuǎn)化和遷移的常用思想方法，將連續(xù)問題離散化來引導(dǎo)學(xué)生理解連續(xù)型的數(shù)學(xué)期望定義。設(shè)X是連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為f（x），-∞

定義3.2? 設(shè)X為連續(xù)型隨機變量，其密度為f（x），若廣義積分xf（x）dx絕對收斂，則稱xf（x）dx的值為連續(xù)型隨機變量X的數(shù)學(xué)期望，記為EX。

教師啟發(fā)學(xué)生觀察3.1和3.2，兩種類型的數(shù)學(xué)期望定義雖然形式不同，究其本質(zhì)卻是相同的，即隨機變量的所有可能取值與相應(yīng)概率乘積的全求和。然后，以連續(xù)型中最常見的正態(tài)分布為例介紹的數(shù)學(xué)期望的具體求解方法。接下來，給學(xué)生預(yù)留時間自行練習(xí)指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望，將簡要思路圖片上傳至云班課里，便于教師及時反饋到學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)效果和掌握程度。這里以柯西分布為例開闊學(xué)生的認知，數(shù)學(xué)期望也有不存在的情形。

繼續(xù)研究隨機變量的數(shù)學(xué)期望問題，由問題引入隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望問題，如已知風速V～U（0，a），飛機機翼受到的壓力W=kV2，其中k是正常數(shù)，問機翼受到的平均壓力為多大？它歸納成這樣的數(shù)學(xué)問題：已知X的概率分布，Y=g（x）為連續(xù)函數(shù)，若Y=g（X）也是隨機變量，那么如何計算Y的數(shù)學(xué)期望？以X～E（1），Y=2X為例，啟發(fā)學(xué)生思考。首先，引導(dǎo)回憶求解隨機變量函數(shù)分布的方法，可以求得Y的密度函數(shù)，fY（y）=fX（）·，再利用期望的定義得到E（Y）=yfY（y）dy。這里我們將其形式變形E（Y）yfY（y）dy=yfX（）dy2x·fX（x）dx=g（x）·fX（x）dx啟發(fā)學(xué)生觀察最后的形式，它依然滿足數(shù)學(xué)期望概念的本質(zhì)——隨機變量的所有可能取值與相應(yīng)概率乘積的全求和。在一般情形下，求解隨機變量函數(shù)的分布過程往往比較復(fù)雜，這個結(jié)果告訴我們能根據(jù)已知隨機變量的分布直接表示出其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，避免求解隨機變量函數(shù)的分布。推廣至一般情形，順理成章地得到隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的定理，并舉例使學(xué)生充分體會定理的理論優(yōu)勢。

（4）應(yīng)用舉例。數(shù)學(xué)期望的概念不能只停留在數(shù)學(xué)層面，還要回到實際層面，即需要引導(dǎo)學(xué)生利用所學(xué)知識解決實際問題。以經(jīng)典的“血液分組檢測問題”為例，第二次世界大戰(zhàn)期間，數(shù)千萬的美國應(yīng)征者在入伍前進行了梅毒測驗，預(yù)計大概有幾千人感染了這種病?；炑獦邮且粋€非常耗時而昂貴的過程，哈佛經(jīng)濟學(xué)家羅伯特·陶福曼建議采取——分組檢驗法。讓我們看看這種方法背后的數(shù)學(xué)原理。可設(shè)計問題如下，假設(shè)獨立選取20人一組，每個人患某病毒的概率為0.01。師生一起分析，方案一：逐一進行化驗，需要20次;方案二：20人為一組混合他們的血液在一起化驗。若結(jié)果為陰性，只需化驗一次，結(jié)果為陽性，需要化驗21次，如何與方案一呢？需要求方案二的平均化驗的次數(shù)。設(shè)X表示方案二所需的化驗次數(shù)，要先求X的分布律。通過學(xué)生討論得到X的分。從而EX=1×（1-0.01）20+21×（1-0.9920）≈4.6，每組平均化驗次數(shù)不到5次。

結(jié)合當前熱點問題，武漢市5月14日至23日的10天時間，完成了900多萬人次的采樣和657.4萬人次的檢測，這種千萬級別檢測在十天內(nèi)完成也是采取的分組檢測法。國內(nèi)據(jù)官方披露的消息來看，謹慎地采取了每組最多混合五份樣本。

5.課后任務(wù)。教師根據(jù)課堂講授和學(xué)生互動情況精心選擇課后練習(xí)并上傳至云班課學(xué)習(xí)平臺，如聯(lián)系實際，舉例期望概念在實際生活中的應(yīng)用，并查閱有關(guān)均值—方差投資組合模型問題案例，讓學(xué)生動起來。

三、結(jié)束語

基于云班課的線上線下混合教學(xué)模式，整合了傳統(tǒng)課堂教學(xué)和互聯(lián)網(wǎng)教育的雙重優(yōu)勢，互相補充和促進，教師能及時掌握到學(xué)生的反饋信息，學(xué)生在課堂的參與度較高，以實現(xiàn)教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體的雙主教學(xué)結(jié)構(gòu)。為鞏固課堂教學(xué)效果，如何開展課外的線上學(xué)習(xí)指導(dǎo)也是后續(xù)值得探討的地方。線上輔助教學(xué)是一個不斷完善的過程，需要進一步的研究和探索，最終實現(xiàn)全面提升課程教學(xué)效果、培養(yǎng)學(xué)生概率統(tǒng)計思維及綜合分析問題的目標。

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作者簡介：

蔣春梅（1981年-），女，漢族，江蘇省淮安市人，碩士研究生，副教授，研究方向：隨機過程。