方舒祎　章建榮

摘要：文章以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)為例，選取北師大版高中數(shù)學(xué)必修二教材中的三角函數(shù)習(xí)題進(jìn)行建模設(shè)計，使學(xué)生在整節(jié)課中充分參與數(shù)學(xué)建模的各個環(huán)節(jié)，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的掌握和內(nèi)化。

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；數(shù)學(xué)建模；核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)習(xí)題可以幫助學(xué)生鞏固課堂學(xué)習(xí)內(nèi)容，是學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑。因此，教師要在把握高中數(shù)學(xué)習(xí)題課的教學(xué)特點和核心內(nèi)容的同時，對學(xué)生進(jìn)行針對性引導(dǎo)，使學(xué)生能夠積極、主動地投入習(xí)題課的學(xué)習(xí)中，從而提高數(shù)學(xué)習(xí)題課的教學(xué)效果，發(fā)展和培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，實現(xiàn)學(xué)生的全面發(fā)展。

數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，要求用數(shù)學(xué)的眼光觀察實際問題，用數(shù)學(xué)的思維思考實際問題，用數(shù)學(xué)的語言提出問題，建立模型，檢驗結(jié)果，完善模型，最后達(dá)到運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實際問題的目的?；诖耍P者以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)為目的，進(jìn)行習(xí)題課的教學(xué)設(shè)計。

筆者選取北師大版高中數(shù)學(xué)必修二教材中三角函數(shù)習(xí)題中的“貨船進(jìn)出港時間問題”，并進(jìn)行改編，在原題目的基礎(chǔ)上增加了適量符合實際問題的數(shù)據(jù)，幫助學(xué)生找到合適的數(shù)學(xué)模型。同時，筆者在原題目的基礎(chǔ)上增加了卸貨問題，使得問題情境更加符合現(xiàn)實情況。在教學(xué)過程中，筆者引導(dǎo)學(xué)生合作討論，開展探究式學(xué)習(xí)，并為學(xué)生準(zhǔn)備坐標(biāo)紙等教學(xué)工具，幫助學(xué)生厘清數(shù)學(xué)建模的主要環(huán)節(jié)，從而建立正確的三角函數(shù)模型。在這個過程中，學(xué)生能有效鍛煉分析數(shù)據(jù)、處理數(shù)據(jù)的能力，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力，數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)也能得到培養(yǎng)。

一、教學(xué)內(nèi)容分析

“貨船進(jìn)出港時間問題”是北師大版高中數(shù)學(xué)必修二教材第一章三角函數(shù)復(fù)習(xí)題中的問題，考查的是三角函數(shù)的簡單應(yīng)用。三角函數(shù)作為刻畫周期變化規(guī)律的重要模型，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的有效載體?！叭呛瘮?shù)的應(yīng)用”是三角函數(shù)概念、圖象、性質(zhì)等知識的應(yīng)用和延續(xù)，筆者以潮汐現(xiàn)象作為引入，選擇學(xué)生能夠理解且較為熟悉的貨船進(jìn)出港情境，通過數(shù)學(xué)建模的探究活動，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)，同時促進(jìn)學(xué)生對三角函數(shù)相關(guān)知識的理解和運(yùn)用，并為后期學(xué)習(xí)回歸分析奠定好基礎(chǔ)。

二、教學(xué)目標(biāo)分析

基于教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的學(xué)情，筆者設(shè)置本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：第一，結(jié)合實際案例，學(xué)生學(xué)會將實際問題抽象為三角函數(shù)模型，并用三角函數(shù)知識解決問題；第二，學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)建模過程，明晰數(shù)學(xué)建模的基本流程，體驗三角函數(shù)的應(yīng)用價值，感悟數(shù)學(xué)知識與生活之間的聯(lián)系。

三、教學(xué)重點與難點分析

本節(jié)課的教學(xué)重點為三角函數(shù)的建模與應(yīng)用。本節(jié)課的教學(xué)難點為根據(jù)實際問題選擇合適的數(shù)學(xué)模型刻畫變量關(guān)系。

四、教學(xué)過程設(shè)計與實錄

（一）自然現(xiàn)象的情境導(dǎo)入

筆者播放視頻《錢塘江大潮》，由著名潮汐現(xiàn)象——錢塘江大潮引入新課。筆者再播放視頻《潮汐現(xiàn)象產(chǎn)生的原因》，讓學(xué)生了解這個神奇的自然現(xiàn)象產(chǎn)生的原因。

設(shè)計意圖：筆者以生活中的自然現(xiàn)象導(dǎo)入，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，讓學(xué)生感受大自然的神奇和魅力，深化學(xué)生的愛國情懷。此外，學(xué)生通過科普視頻了解潮汐產(chǎn)生的原因，能促進(jìn)學(xué)科間知識的交融，并了解到潮汐現(xiàn)象是一個周期現(xiàn)象，為后續(xù)的數(shù)學(xué)建模作準(zhǔn)備。

（二）合作探究數(shù)學(xué)建模（課堂實錄）

1.聚焦問題，探究變量

筆者提出三個問題。問題1：通過視頻可以了解到潮汐現(xiàn)象一天出現(xiàn)幾次？有什么特征？問題2：這里有兩張港口在漲潮和退潮時的延時攝影圖片，請大家仔細(xì)觀察圖片，找一找在漲潮和退潮過程中有哪些量在改變？問題3：貨船應(yīng)該選擇什么時候進(jìn)港，什么時候出港？

設(shè)計意圖：在整個教學(xué)過程中，筆者引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光看實際情境，用數(shù)學(xué)的思維思考問題；通過分析每天漲潮與退潮的次數(shù)，為后續(xù)數(shù)學(xué)建模提供依據(jù)；通過引導(dǎo)學(xué)生選擇合適的變量進(jìn)行研究，方便后續(xù)建立符合情境的數(shù)學(xué)模型；通過分析問題得出為了避免擱淺，貨船要選擇合適的時間進(jìn)出港，從而得出需要研究水深與時間的關(guān)系的結(jié)論，自然而然地進(jìn)入如何解決實際問題的下一環(huán)節(jié)。根據(jù)這三個問題，教師將實際情境中的問題變成了研究數(shù)學(xué)變量間關(guān)系的問題，培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力。

2.收集數(shù)據(jù)，梳理變量

探究活動1：為了了解一天中某港口水深隨時間的變化需要收集哪些數(shù)據(jù)？在探究完成后，教師給出這個港口17個整點所對應(yīng)的水深，如表1所示。

探究活動2：如何研究時刻與對應(yīng)水深這兩個變量之間的關(guān)系？

設(shè)計意圖：筆者引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)思維分析變量關(guān)系，了解建立數(shù)學(xué)模型的前提是針對實際情景找出合適變量，然后針對變量收集數(shù)據(jù)，再根據(jù)數(shù)據(jù)分析變量關(guān)系。當(dāng)學(xué)生得出變量間有函數(shù)關(guān)系后，筆者帶領(lǐng)學(xué)生回顧函數(shù)知識，得出運(yùn)用圖象研究函數(shù)的結(jié)論。這個過程環(huán)環(huán)相扣，培養(yǎng)了學(xué)生分析問題、解決問題的能力。

3.圖象直觀，刻畫變量

在本環(huán)節(jié)，筆者向?qū)W生發(fā)放印有網(wǎng)格直角坐標(biāo)系的學(xué)案，學(xué)生通過小組合作將給出的17組數(shù)據(jù)畫入該直角坐標(biāo)系中，完成畫函數(shù)圖象中描點的環(huán)節(jié)，并請一個小組代表上臺展示。

設(shè)計意圖：學(xué)生利用圖形直觀感受到隨時間的變化，水深呈現(xiàn)“初始位置－漲潮－平衡位置－落潮－平衡位置”的兩次周期變化。

4.數(shù)據(jù)優(yōu)化，模型擬合

探究活動3：如何擬合函數(shù)模型？

學(xué)生完成畫函數(shù)圖象過程中的連線環(huán)節(jié)后，思考兩個問題：第一，用直線將相鄰的兩點連接，用分段函數(shù)大致反映水深隨時間的變化可行嗎？第二：如何更準(zhǔn)確地刻畫水深隨時刻的變化情況？

教師發(fā)放有49個數(shù)據(jù)的散點圖的紙張給各個小組，請學(xué)生再次進(jìn)行連線，每個小組請一個學(xué)生展示圖象并說明理由，選擇y=Asin（ωt+φ）+h的函數(shù)來擬合水深與時間之間的函數(shù)關(guān)系。

設(shè)計意圖：這是數(shù)學(xué)建模環(huán)節(jié)最關(guān)鍵的一步，通過兩個思考問題，學(xué)生學(xué)會通過分析散點圖得出兩變量的變化趨勢，并緊扣周期性找到合適的函數(shù)模型，擬合兩變量之間的函數(shù)關(guān)系，明白三角函數(shù)是研究周期現(xiàn)象的重要模型。

5.數(shù)學(xué)建模，確定參數(shù)

學(xué)生合作探究完成參數(shù)的求解過程后，筆者請一個學(xué)生講述求解過程，并最后歸納數(shù)學(xué)建模的主要環(huán)節(jié)，即聚焦問題、探究變量；收集數(shù)據(jù)，梳理變量；圖象直觀，刻畫變量；數(shù)據(jù)優(yōu)化，模型擬合；數(shù)學(xué)建模，確定參數(shù)。

設(shè)計意圖：在利用現(xiàn)實數(shù)據(jù)的時候，筆者合理地優(yōu)化數(shù)據(jù)，方便計算和研究，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，在學(xué)生得到函數(shù)模型后，筆者帶領(lǐng)學(xué)生再梳理一遍數(shù)學(xué)建模的具體過程，再次感受數(shù)學(xué)建模思想，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識。

（三）學(xué)以致用，數(shù)形解模

實際應(yīng)用1：一般情況下，船舶航行時船底與海底距離不小于4.5米時是安全的，如果貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為7米，那么該貨船什么時間段能夠安全進(jìn)港？

設(shè)計意圖：筆者讓學(xué)生感受三角函數(shù)的應(yīng)用，體會數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活的過程。在解決問題的過程中，筆者始終引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語言來表示情境中的變量關(guān)系，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的解不等式問題，并在解數(shù)學(xué)不等式的過程中，呈現(xiàn)出一題多解的過程，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。

實際應(yīng)用2：對某條貨船而言，其相應(yīng)吃水深度為7米，安全間隙是4.5米，該船在2∶00開始卸貨，12個小時內(nèi)要卸完貨，吃水深度以0.375米/小時的速度減少，即便沒有卸完貨也要及時駛?cè)肷钏颍撠洿瑧?yīng)該在什么時刻停止卸貨？

設(shè)計意圖：本題需要選擇合適的函數(shù)模型來刻畫吃水深度關(guān)于時間的函數(shù)關(guān)系，再次數(shù)學(xué)建模，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。這個環(huán)節(jié)強(qiáng)調(diào)實際情境中的2∶00開始卸貨應(yīng)該如何用數(shù)學(xué)語言表示，培養(yǎng)學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決的能力，能提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。不僅如此，在解決數(shù)學(xué)問題時，學(xué)生能再次感受數(shù)形結(jié)合解決復(fù)雜函數(shù)不等式的解題方法。

（四）課堂小結(jié)

回顧整節(jié)課，學(xué)生先欣賞了自然現(xiàn)象，得出了實際問題，然后通過收集數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、模型擬合進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，最后利用模型解決問題。整個過程蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，涉及的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理。

（五）課后作業(yè)

筆者布置課后作業(yè)：“南昌之星”摩天輪總高度為160米，直徑為153米，同學(xué)們可以利用周末的時間去體驗一下。當(dāng)坐上摩天輪后，你能大致計算出自己在不同時刻距離地面的高度嗎？請嘗試數(shù)學(xué)建模得出離地距離關(guān)于時間的函數(shù)模型。

五、課堂反思

筆者通過選取教材習(xí)題中的“貨船進(jìn)出港時間問題”，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)建模思維形成的“數(shù)學(xué)化”與“再創(chuàng)造”過程。筆者對教材中的習(xí)題進(jìn)行改編，不僅增加了數(shù)據(jù)數(shù)量，使學(xué)生充分感受兩變量之間的變化規(guī)律，還增加了卸貨時間問題，更加貼近現(xiàn)實生活，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來源于生活又應(yīng)用于生活。在教學(xué)環(huán)節(jié)中，筆者為學(xué)生準(zhǔn)備坐標(biāo)紙，讓學(xué)生充分參與數(shù)據(jù)的整理環(huán)節(jié)，通過實際情況結(jié)合散點圖感受周期性，從而選擇合適的函數(shù)模型刻畫變量之間的關(guān)系。

在本節(jié)習(xí)題教學(xué)中，筆者采取分組合作探究教學(xué)法，使學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)建模的主要過程，并且體驗三角函數(shù)的應(yīng)用價值，感悟數(shù)學(xué)與生活的關(guān)聯(lián)性。

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基金項目：江西省教育科學(xué) “十四五”規(guī)劃2022年度課題“高中數(shù)學(xué)‘一課四研教研范式的研究”的研究成果，項目編號：22PTZD035。

（作者單位：江西省南昌市鐵路第一中學(xué)）