摘 要：通過(guò)對(duì)以三角函數(shù)、解三角形等知識(shí)為載體的一些試題進(jìn)行改編，給出數(shù)學(xué)試題創(chuàng)新性命制的幾種常見(jiàn)途徑：設(shè)置新穎的問(wèn)題情境，嵌入適當(dāng)?shù)倪壿嬐评恚诤隙嘣闹R(shí)方法，設(shè)計(jì)靈活的探究問(wèn)題，擬定結(jié)構(gòu)不良的題目等。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；試題命制；創(chuàng)新性；三角函數(shù)；解三角形

本文系江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究第十四期課題“核心素養(yǎng)視角下高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的教學(xué)實(shí)踐研究”（編號(hào)：2021JY14-L56）、江蘇省常州市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題“新高考背景下的高中數(shù)學(xué)課堂情境教學(xué)實(shí)踐研究”（編號(hào)：CJK-L2022294）的階段性研究成果。

為進(jìn)一步深化高考考試內(nèi)容改革，也為更好地選拔創(chuàng)新型人才，教育部考試中心于2020年1月發(fā)布了《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》（以下簡(jiǎn)稱“高考評(píng)價(jià)體系”）。高考評(píng)價(jià)體系是教育評(píng)價(jià)的理論和實(shí)踐體系，也是高考命題、閱卷的重要依據(jù)。針對(duì)高考“如何考”的問(wèn)題，高考評(píng)價(jià)體系明確提出了“四翼”的考查要求，即“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”。

創(chuàng)新性考查要求是對(duì)標(biāo)準(zhǔn)化測(cè)驗(yàn)中如何考查創(chuàng)新品質(zhì)的探索：通過(guò)命題創(chuàng)新，努力破除傳統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)化測(cè)驗(yàn)忽視創(chuàng)新品質(zhì)考查的弊端。在數(shù)學(xué)考試中，考查的核心在于數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維能力，即不受常規(guī)思維的束縛，勇于面對(duì)新問(wèn)題，通過(guò)對(duì)知識(shí)、思想方法的遷移，靈活組合運(yùn)用，有效解決問(wèn)題的能力。為此，需要在命題時(shí)，努力增強(qiáng)試題的創(chuàng)新性。本文主要談一談筆者對(duì)高中數(shù)學(xué)試題創(chuàng)新性命制的實(shí)踐探索。

一、 設(shè)置新穎的問(wèn)題情境

數(shù)學(xué)試題常見(jiàn)的情境包括數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境、現(xiàn)實(shí)情境等，所呈現(xiàn)的信息具有多元性。設(shè)置新穎的問(wèn)題情境，可以盡可能保證測(cè)試的公平性，有效地測(cè)試考生對(duì)信息進(jìn)行閱讀與理解、處理與加工，并準(zhǔn)確連接到已有知識(shí)結(jié)構(gòu)中具體的知識(shí)和技能的水平。當(dāng)然，設(shè)置情境還需要綜合考量。尤其是設(shè)置新穎的情境時(shí)，要注意科學(xué)、可信，有適當(dāng)?shù)男畔⒘亢蜕疃?，避免出現(xiàn)刻意的干擾信息，契合考生的認(rèn)知水平，能積極引導(dǎo)考生作出與測(cè)量目標(biāo)或行為目標(biāo)一致的應(yīng)答。

【案例1】

原題：如圖1，在平面四邊形ABCD中，AD=BD，∠ADB=90°，CD=22，BC=2。

（1） 若∠BDC=45°，求線段AC的長(zhǎng)；

（2） 求線段AC長(zhǎng)的最大值。

原題兩問(wèn)的求解目標(biāo)重復(fù)，第（2）問(wèn)是第（1）問(wèn)的一般化（需要先用參數(shù)表示AC的長(zhǎng)，再其求最值）。而且，第（2）問(wèn)的難度整體偏大，比如：如何引入合適的參數(shù)？選邊還是角？選兩邊夾角還是一邊對(duì)角？……在一次教研活動(dòng)中，一位同事問(wèn)：在一個(gè)解三角形問(wèn)題的求解結(jié)果中，如果出現(xiàn)平面凹四邊形的情況，要不要舍去？高中階段，學(xué)生遇到的往往是平面凸四邊形。筆者想到：何不以平面凸四邊形為情境背景呢？

改編題：若一個(gè)平面四邊形對(duì)邊不相交且任意三邊都在第四條邊所在直線的一側(cè)，則稱其為平面凸四邊形。容易知道，與之等價(jià)的說(shuō)法為：若一個(gè)平面四邊形對(duì)邊不相交且每個(gè)內(nèi)角都小于π，則稱其為平面凸四邊形。圖2給出了兩個(gè)不是平面凸四邊形的例子。

如圖3，在平面凸四邊形ABCD中，∠BAD=π/3，BD⊥AD，CD=3，BC=2，設(shè)∠BCD=θ。

（1） 求cosθ的取值范圍；

（2） 試用θ表示對(duì)角線AC的長(zhǎng)，并指出θ取何值時(shí)AC的長(zhǎng)最大。

除了數(shù)據(jù)的改編之外，這道改編題主要的創(chuàng)新之處有：（1） 設(shè)置了數(shù)學(xué)情境。給出了平面凸四邊形的兩種定義以及兩個(gè)反例，讓考生在理解概念的基礎(chǔ)上，根據(jù)問(wèn)題要求，選擇恰當(dāng)?shù)亩x解決問(wèn)題。選擇定義的過(guò)程能體現(xiàn)考生對(duì)問(wèn)題條件價(jià)值的甄別能力。（2） 改變了兩問(wèn)的關(guān)系。從特殊與一般的關(guān)系改變?yōu)榛A(chǔ)與進(jìn)階的關(guān)系，結(jié)構(gòu)更加緊湊：第（1）問(wèn)為第（2）問(wèn)的解決提供了定義域，兩問(wèn)關(guān)聯(lián)性很強(qiáng)。第（2）問(wèn)還給出了參數(shù)，讓考生更好地聚焦于尋找多個(gè)三角形的邊角關(guān)系。

二、 嵌入適當(dāng)?shù)倪壿嬐评?/p>

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》將“邏輯推理”定位為六大學(xué)科核心素養(yǎng)之一。華人幾何學(xué)家伍鴻熙說(shuō)過(guò)：“邏輯推理是數(shù)學(xué)的命根子?！闭陆ㄜS博士也說(shuō)過(guò)：“運(yùn)算是數(shù)學(xué)的童子功，推理是數(shù)學(xué)的命根子?！笨梢?jiàn)邏輯推理在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的突出地位。實(shí)際上，邏輯推理是超越數(shù)學(xué)內(nèi)容的更具有通識(shí)性的思維方式。命制或改編數(shù)學(xué)選擇題時(shí)，可以嘗試基于題型特征嵌入適當(dāng)?shù)倪壿嬐评?，讓考生運(yùn)用同一律、排中率、矛盾律、充足理由律等邏輯推理的規(guī)則解決問(wèn)題——其實(shí)，這也是近幾年高考試題命制的重要趨勢(shì)之一。

參考文獻(xiàn)：

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［2］ 劉加霞.通過(guò)“再創(chuàng)造”學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)：“為何”與“何為”——《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》一書(shū)觀點(diǎn)評(píng)述之二［J］.教育研究與評(píng)論，2022（6）：115-119.