[摘要]為了提升教學(xué)效果和學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，并結(jié)合張家界學(xué)院學(xué)生的實(shí)際情況，對(duì)《線性代數(shù)》課程開(kāi)展了線上+線下的混合式教學(xué)，同時(shí)探索了該課程中蘊(yùn)含的一些思政元素，以期達(dá)到潤(rùn)物無(wú)聲的效果。

[關(guān)鍵詞]混合式教學(xué)；課程思政；線性代數(shù)

[中圖分類(lèi)號(hào)]G641? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[DOI]：10.20122/j.cnki.2097-0536.2024.04.046

《線性代數(shù)》課程是針對(duì)于各高校理工類(lèi)和經(jīng)管類(lèi)的本科一年級(jí)所開(kāi)設(shè)的一門(mén)公共基礎(chǔ)課程，也是考研數(shù)學(xué)中必考的科目之一，占比20%左右，主要內(nèi)容包括：行列式、矩陣、線性方程組、特征值與特征向量、二次型[1]。該課程具有邏輯性強(qiáng)、抽象度高和應(yīng)用性強(qiáng)的特點(diǎn)，實(shí)際應(yīng)用覆蓋各個(gè)領(lǐng)域，如航空航天、計(jì)算機(jī)通信、生物醫(yī)療、電力交通等都有廣泛的應(yīng)用[2]。學(xué)好該課程可以提高學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力以及應(yīng)用代數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，同時(shí)也可以為學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)的課程，如理論力學(xué)、材料力學(xué)、電路、數(shù)字信號(hào)處理等課程打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

然而我們現(xiàn)在所教授的學(xué)生（本校的學(xué)生），通過(guò)問(wèn)卷調(diào)查顯示，80%的學(xué)生高考數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?0分以下，95%的學(xué)生認(rèn)為該課程的學(xué)習(xí)難度比較大；同時(shí)，學(xué)生思維非常活躍，對(duì)現(xiàn)代化的信息技術(shù)手段接受能力強(qiáng)?；谝陨系膶W(xué)情和課程的特點(diǎn)，本文對(duì)傳統(tǒng)的授課模式（PPT+板書(shū)）進(jìn)行改革和實(shí)踐，轉(zhuǎn)變?yōu)榫€上+線下的多元混合式教學(xué)模式，并探索融入課程思政來(lái)提升教學(xué)的溫度和效果。

一、線上+線下混合式教學(xué)模式的設(shè)計(jì)與實(shí)施

結(jié)合傳統(tǒng)課堂教學(xué)和網(wǎng)絡(luò)在線教學(xué)的優(yōu)勢(shì)，依托超星泛雅平臺(tái)，我們建立了在線開(kāi)放課程，在平臺(tái)上借助于示范教學(xué)包，已導(dǎo)入18個(gè)授課視頻（視頻總時(shí)長(zhǎng)985分鐘）、非視頻資源82個(gè)、發(fā)帖總數(shù)18094。豐富的在線資源保障了線上+線下混合式教學(xué)模式的開(kāi)展，依托現(xiàn)代信息技術(shù)手段，我們構(gòu)建了“三階段”的授課模式，即課前、課中、課后：課前，教師在學(xué)習(xí)通上提前發(fā)布教學(xué)任務(wù)，學(xué)生提前在平臺(tái)上觀看相應(yīng)的教學(xué)視頻、完成自測(cè)，并將學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)問(wèn)題提前標(biāo)注，教師通過(guò)后臺(tái)數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)督促學(xué)生們完成預(yù)習(xí)任務(wù)，并以線上討論的方式匯總學(xué)生在自學(xué)過(guò)程中出現(xiàn)的難點(diǎn)問(wèn)題；課中，針對(duì)學(xué)生們?cè)谡n前出現(xiàn)的難點(diǎn)問(wèn)題，教師以在線下課堂上通過(guò)案例教學(xué)法、問(wèn)題驅(qū)動(dòng)法等方式進(jìn)行重點(diǎn)的討論和講授，并且利用學(xué)習(xí)通的隨堂練習(xí)、搶答、選人、投票等方式進(jìn)行課堂互動(dòng)，一方面可以提高學(xué)生的課堂參與度，另一方面教師可以掌握到每個(gè)學(xué)生課堂學(xué)習(xí)的效果；課后，教師通過(guò)發(fā)布任務(wù)點(diǎn)檢測(cè)、線上作業(yè)、線上討論、和章節(jié)測(cè)試等方式用于學(xué)生們進(jìn)行課后的自我提升，也會(huì)通過(guò)學(xué)習(xí)通平臺(tái)、微信、QQ等方式對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的問(wèn)題進(jìn)行答疑解惑。這種“三階段”的授課模式極大程度拓展了課程教學(xué)的時(shí)間和空間，也讓學(xué)生在課后真正的忙起來(lái)和動(dòng)起來(lái)。

二、課程思政元素的探索和實(shí)施

《線性代數(shù)》課程作為公共基礎(chǔ)課受眾面廣，因此這門(mén)課為思政教育提供了很好的平臺(tái)。為了讓課程思政自然地貫穿于教學(xué)的全過(guò)程，我們深度挖掘和探索了該門(mén)課程所蘊(yùn)含的思政元素，主要從哲學(xué)思想、數(shù)學(xué)思想、文化自信、愛(ài)國(guó)情懷、科學(xué)精神、正確的三觀等思政元素入手，得到了以下的思政案例。

（一）融入哲學(xué)思想

數(shù)學(xué)家德莫林斯（B.Demollins）說(shuō)：“沒(méi)有數(shù)學(xué)，我們無(wú)法看穿哲學(xué)的深度，沒(méi)有哲學(xué)，我們也無(wú)法看穿數(shù)學(xué)的深度，而若沒(méi)有這兩者，我們什么也看不清”，這充分說(shuō)明數(shù)學(xué)與哲學(xué)密不可分，線性代數(shù)課程蘊(yùn)含著豐富的哲學(xué)思想。

案例1：對(duì)比行列式與矩陣的區(qū)別及講解和時(shí)（這里的向量都是列向量，前者算出來(lái)是一個(gè)矩陣，后者本質(zhì)上就是一個(gè)數(shù)），引出“現(xiàn)象與本質(zhì)”的辯證關(guān)系，教會(huì)學(xué)生要學(xué)會(huì)透過(guò)現(xiàn)象看到本質(zhì)。

案例2：矩陣的初等變換和初等矩陣、利用初等變換化矩陣為行階梯形和行最簡(jiǎn)形所蘊(yùn)含的“變與不變”的辯證思想。

案例3：向量組的線性相關(guān)與不相關(guān)、矩陣的可逆和不可逆、二次型的正定與負(fù)定所體現(xiàn)的“對(duì)立與統(tǒng)一”的辯證思想。

案例4：利用方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩來(lái)判斷方程組是否有解問(wèn)題中所蘊(yùn)含的“量變與質(zhì)變”的辯證關(guān)系。

（二）融入數(shù)學(xué)思想

案例5：利用“倒數(shù)”概念理解“逆矩陣”，利用數(shù)字“1”來(lái)理解單位矩陣，通過(guò)這樣的類(lèi)比思想提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新思維。

案例6：在講解行列式按行按列展開(kāi)時(shí)，將高階行列式化成低階行列式；在講解二次型的正定性，利用矩陣來(lái)化成標(biāo)準(zhǔn)形；通過(guò)劃歸思想將數(shù)學(xué)中復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，從而化繁為簡(jiǎn)、化難為易。

案例7：利用逆矩陣進(jìn)行信息的加密和解密處理時(shí)，通過(guò)數(shù)學(xué)建模的思想讓學(xué)生感受到線性代數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

（三）融入文化自信、愛(ài)校愛(ài)國(guó)情懷以及中國(guó)傳統(tǒng)文化

案例8：在講解線性方程組時(shí)，引入中國(guó)著名數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》，該著作中研究解線性方程組時(shí)使用的直除法與矩陣的初等變換一致，這也是世界上最早的完整的線性方程組的解法，比歐洲至少早了1500年（直到17世紀(jì)才由萊布尼茲提出完整的線性方程的解法法則），讓學(xué)生感受到中國(guó)古代數(shù)學(xué)的輝煌成就，激發(fā)學(xué)生愛(ài)國(guó)情懷。

案例9：在講授矩陣的定義時(shí)，巧妙地構(gòu)造矩陣。

告訴學(xué)生吉首大學(xué)張家界學(xué)院成立于2002年，2022年是學(xué)校建校20周年，2023年是學(xué)院發(fā)展的關(guān)鍵之年，學(xué)院將成功轉(zhuǎn)設(shè)為獨(dú)立設(shè)置的普通本科高校。通過(guò)講解學(xué)校的發(fā)展歷史，增強(qiáng)學(xué)生的歸屬感和榮譽(yù)感，激發(fā)學(xué)生對(duì)學(xué)校的自豪感、使命感和責(zé)任感。

案例10：在每一章學(xué)完后，我們都會(huì)引入由東南大學(xué)張小向教授為《線性代數(shù)》課程填寫(xiě)的七言律詩(shī)，例如為行列式寫(xiě)的七律“眾數(shù)縱橫成方陣，多少玄機(jī)藏其中。行列算盡得一值，卻是智取勝?gòu)?qiáng)攻。奇次對(duì)換變符號(hào)，轉(zhuǎn)置倍加果相同。妙手巧化繁為簡(jiǎn)，八仙過(guò)海顯神通”。該首詩(shī)詞的第一句、第三句道出了行列式必須是一個(gè)方陣，本質(zhì)就是一個(gè)數(shù)；第五、六句道出了行列式的性質(zhì)，讓學(xué)生在欣賞詩(shī)的同時(shí)，也深入理解了線性代數(shù)有關(guān)概念，更領(lǐng)略了中華傳統(tǒng)詩(shī)詞之美。

（四）融入科學(xué)精神

案例11：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家的先進(jìn)事跡，如法國(guó)數(shù)學(xué)家范德蒙德—行列式理論的奠基人、瑞士數(shù)學(xué)家克拉默—克拉默法則、英國(guó)數(shù)學(xué)家西爾維斯特—矩陣概念的提出者、清代數(shù)學(xué)家李善蘭—首次把“Algebra”翻譯成代數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生勇攀科學(xué)高峰的科學(xué)精神。

案例12：通過(guò)引入線性方程組在中國(guó)自主研發(fā)的北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)BDS（2020年7月31日，北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)正式開(kāi)通，全球一共四大導(dǎo)航系統(tǒng)）中的應(yīng)用，用“北斗精神”引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注國(guó)家大事、感受“大國(guó)制造”的魅力，同時(shí)體會(huì)中國(guó)科技知識(shí)強(qiáng)國(guó)夢(mèng)。

（五）融入做人做事的基本道理及正確的價(jià)值觀

案例13：利用矩陣乘法不滿足交換律，但是滿足結(jié)合律來(lái)計(jì)算，從而引導(dǎo)學(xué)生做人、做事要遵守規(guī)則、遵守法律，同時(shí)也要學(xué)會(huì)利用規(guī)則、提升能力。

案例14：在介紹拉普拉斯定理時(shí)，讓學(xué)生做游戲，意選8個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)八陣圖：

然后將這些數(shù)字按照在矩陣中的排列順序分為兩組，相乘再進(jìn)行加減運(yùn)算，即為：

利用拉普拉斯定理，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)上面的八陣圖游戲計(jì)算形式與定理的計(jì)算形式類(lèi)似，事實(shí)上：這個(gè)行列式始終等于0（行列式有兩行完全一樣），從而破解“八陣圖游戲玄機(jī)”。

該八陣圖游戲是日本一個(gè)小寺院大和尚所展示的“玄機(jī)”，由于日本人崇尚數(shù)字0，因?yàn)?和“靈”相通。游客來(lái)這里問(wèn)卜，得到的總是他們喜歡的“0”，也正因?yàn)檫@個(gè)原因，寺廟才游客不斷。通過(guò)游戲的方式讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的魅力和價(jià)值，從而使學(xué)生“相信科學(xué)，反對(duì)迷信”。

三、結(jié)語(yǔ)

在信息化時(shí)代，這種線上+線下的多元混合式教學(xué)模式確保了師生交流的超時(shí)空性，增加了課堂教學(xué)的容量，提高了教學(xué)的有效性；既能發(fā)揮教師的主導(dǎo)地位，也能充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位，同時(shí)還可以提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。自然地融入思政能使教學(xué)變得有溫度，把課堂變成一個(gè)有情有義有愛(ài)的教學(xué)過(guò)程，但課程思政任重道遠(yuǎn)，在今后的教學(xué)中還要不斷地探索和挖掘課程中蘊(yùn)含的思政元素，以期達(dá)到潤(rùn)物無(wú)聲的教學(xué)效果[3]，落實(shí)立德樹(shù)人的根本任務(wù)。

參考文獻(xiàn)：

[1]趙立軍.線性代數(shù)[M].北京：北京大學(xué)出版社，2019.

[2]胡軍，杜軍花，徐龍，等.“互聯(lián)網(wǎng)+”背景下線性代數(shù)混合式教學(xué)方法探討[J].高師理科學(xué)刊，2021，41（3）：79-83.

[3]劉紅霞.“線上線下 混合式學(xué)習(xí)”模式下線性代數(shù)課程思政建設(shè)的新探索[J].濟(jì)南職業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，2021（1）：45-47.

[4]王濤，馬新順，郭燕.《線性代數(shù)》課程思政的案例及思考[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2020（10）：54-55.

[5]閻昕明，田德路，張然然.《線性代數(shù)》課程混合式教學(xué)的設(shè)計(jì)與實(shí)施[J].廣東第二師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2020，40（5）：106-112.

基金項(xiàng)目：張家界學(xué)院院級(jí)教學(xué)改革研究項(xiàng)目資助，項(xiàng)目名稱：大思政背景下《線性代數(shù)》課程混合式教學(xué)模式的改革研究（項(xiàng)目編號(hào)：Jxjg2112）

作者簡(jiǎn)介：秦晶（1988.6-），女，土家族，湖南永順人，碩士，講師，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。