摘 要：培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)教育的核心目標(biāo)，數(shù)學(xué)思維也是數(shù)學(xué)高考改革的重要考查方向，文章通過分析全國高考數(shù)學(xué)卷，明確高考卷對中學(xué)教學(xué)的引導(dǎo)方向，探索學(xué)生在解高考題時存在的典型思維障礙，并進(jìn)行成因分析，最終提出了破解方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思維；思維障礙；教學(xué)方法

中圖分類號：G633.6?? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A?? 文章編號：1673-8918（2024）07-0066-05

一、 數(shù)學(xué)思維：數(shù)學(xué)高考改革的重要考查方向

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，數(shù)學(xué)教育要引導(dǎo)學(xué)生會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)思維思考世界，會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界，促進(jìn)學(xué)生思維能力、實踐能力和創(chuàng)新能力的發(fā)展。高考作為中學(xué)教學(xué)的指揮棒，肩負(fù)引領(lǐng)教學(xué)方向，為社會和國家選拔人才的重任，其改革的重要考查方向也是以促進(jìn)數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生邏輯能力和創(chuàng)新能力為導(dǎo)向。

高考卷在引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)方向上起到怎樣的作用？筆者分析了2023年的全國新高考1卷數(shù)學(xué)試題，發(fā)現(xiàn)其有以下幾個特點：

（一）重視思維基礎(chǔ)：強(qiáng)化對基礎(chǔ)知識的深入理解和綜合運用

全國新高考1卷突出對基本概念、基本原理等內(nèi)容的考查，強(qiáng)化對基礎(chǔ)知識的深入理解和綜合運用，弱化“二級結(jié)論”，盡量回避高等數(shù)學(xué)的應(yīng)用。例如，第3題考查平面向量垂直的充要條件、第5題考查向量的定義，這些試題來源于教材，回歸到對基礎(chǔ)知識的考查，凸顯基本概念、基本規(guī)律和基本原理的重要地位。對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)回歸課標(biāo)、回歸教材有積極的引導(dǎo)作用，教師要引導(dǎo)學(xué)生重視對基礎(chǔ)知識本質(zhì)屬性和內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行深刻理解與充分掌握，通過深化基礎(chǔ)知識教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生能力素養(yǎng)。

（二）促進(jìn)思維活力：創(chuàng)新開放性考查方式，問題解決途徑靈活多樣

新高考1卷重視思維的靈活性，突出問題解決路徑的多樣性，為不同水平的學(xué)生提供發(fā)揮空間，不拘泥于死板單一的思路，對同質(zhì)化的思維具有很強(qiáng)的包容性。學(xué)生在解題過程中，體現(xiàn)出有價值的思維，包括與這個數(shù)學(xué)問題有關(guān)聯(lián)的、準(zhǔn)確的原理、知識點、性質(zhì)等，均可得分。以第20題為例：

設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d，且d>1。令bn=n2+nan，記Sn，Tn分別為數(shù)列｛an｝和｛bn｝的前n項和。若｛bn｝也為等差數(shù)列，且S99-T99=99，求d。

此例中，學(xué)生的思路很多，方法各異。從等差數(shù)列的性質(zhì)出發(fā)，包括：等差中項（列出12a2=2a1+12a3），后一項減去前一項的差為常數(shù)（列出an+1-an=r），等差數(shù)列的通項是一次函數(shù)等性質(zhì)（列出bn=n（n+1）a1+（n-1）d=b1+（n-1）r），均可通向最后的結(jié)論，解決問題。

這樣的題型設(shè)置，不拘泥于一種標(biāo)準(zhǔn)解法，倡導(dǎo)學(xué)生將與問題有關(guān)聯(lián)的、有價值的思維聯(lián)系起來并深化理解應(yīng)用，也旨在促進(jìn)教師在平時的教學(xué)中，發(fā)展學(xué)生思維的靈活性，讓學(xué)生學(xué)會分析問題，從多角度思考去解決問題。課堂上，教師要借助一題多解的形式，引導(dǎo)學(xué)生積極利用對比、聯(lián)想等方法，拓展解題思路，鍛煉思維的靈活度與敏捷度。

（三）注重思維品質(zhì)：強(qiáng)調(diào)融會貫通，會用關(guān)鍵能力解決實際問題

高考試題聯(lián)系學(xué)生的學(xué)習(xí)和生活實際，創(chuàng)設(shè)真實的學(xué)習(xí)探索和日常生活情境，考查學(xué)生運用所學(xué)知識解決具體問題、理論聯(lián)系實際的能力，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)心日常生活、生產(chǎn)活動中蘊含的實際問題，助力核心素養(yǎng)的落實。

例如，新高考1卷中的第21題，以投籃為背景，巧妙地將概率問題融入兩人連續(xù)投籃的情景當(dāng)中，貼近生活實際創(chuàng)設(shè)問題情境。試題將概率的加法和乘法公式，等比數(shù)列的構(gòu)造和計算有機(jī)結(jié)合，重在考查學(xué)生的邏輯思維能力，以及對事件進(jìn)行分析、分解和轉(zhuǎn)化的能力。引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)不斷提高課程實施水平，重視在基礎(chǔ)知識深層次理解基礎(chǔ)上的融會貫通，深入考查思維品質(zhì)。讓學(xué)生運用必備知識和關(guān)鍵能力解決實際問題，體會課堂所學(xué)內(nèi)容的應(yīng)用價值，從而激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，為促進(jìn)終身發(fā)展努力學(xué)習(xí)。

二、 學(xué)生在解高考時存在的典型思維障礙以及成因分析

研究錯題，思考學(xué)生答題錯誤的成因是一項有意義的工作。每一個錯題都不是偶然，它反映出學(xué)生對原理、定理等認(rèn)識不清，理解不準(zhǔn)確或記憶錯誤等問題，以及在運算推理過程中，思路不清，方向不明導(dǎo)致的推理錯誤等問題。追本溯源，是學(xué)生長期積累的一些不恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)方法造成了數(shù)學(xué)能力薄弱，進(jìn)而阻礙了數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展，形成了思維障礙。

分析學(xué)生常見的思維障礙主要有：

（一）認(rèn)知型思維障礙

1. 認(rèn)知型思維障礙的特征及表現(xiàn)形式

認(rèn)知型思維障礙主要是指學(xué)生在數(shù)學(xué)問題解決中，無法利用某一知識與數(shù)學(xué)問題之間的聯(lián)系解決數(shù)學(xué)思維困境，或者出現(xiàn)知識記憶錯誤的情況。以新高考1卷19題為例：

如圖，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4，點A2，B2，C2，D2分別在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2=1，BB2=DD2=2，CC2=3。

（1）證明：B2C2∥A2D2；

（2）點P在棱BB1上，當(dāng)二面角P—A2C2—D2為150°時，求B2P。

本題的第一小問是一個證明線線平行的問題，學(xué)生在卷面上反映出來的典型錯誤有：

錯誤證法1：由面面平行直接推導(dǎo)出線線平行，這屬于定理記憶錯誤；

錯誤證法2：由面面平行，推出線面平行，再推出線線平行，錯誤原因是由線面平行推導(dǎo)到線線平行的過程中缺少共面的證明，屬于運用定理不準(zhǔn)確問題；

錯誤證法3：用兩組對邊相等，推出平行四邊形，證線線平行。這種錯誤的原因同樣是缺少共面的證明，推理過程不準(zhǔn)確。

2. 認(rèn)知型思維障礙的成因分析

學(xué)生之所以會產(chǎn)生對原理、定理理解不準(zhǔn)確或記憶錯誤的問題，主要是在學(xué)習(xí)過程中有一些不正確的學(xué)習(xí)習(xí)慣，如對概念學(xué)習(xí)只求記憶，不求理解，對性質(zhì)推論，只求結(jié)論，不求過程。

首先，高中數(shù)學(xué)的概念課，要求在情境中抽象出數(shù)學(xué)概念、命題和方法，學(xué)習(xí)過程貫穿數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生、發(fā)展和應(yīng)用等。如果學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，只是死記硬背公式和定理，不求甚解，忽略了知識產(chǎn)生發(fā)展的過程，就會影響知識的靈活應(yīng)用。

其次，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，一些學(xué)生追求所謂的“效率”，忽視邏輯推理的過程，只追求一些現(xiàn)成的二級結(jié)論并將其用以解題。然而，只記住結(jié)論，往往會在題目錯綜復(fù)雜的變幻中迷失方向。只有擁有邏輯推理的能力，提高自身思維能力，才能以不變應(yīng)萬變。邏輯推理素養(yǎng)是伴隨著數(shù)學(xué)知識出現(xiàn)，卻不會隨著數(shù)學(xué)知識消失的一種思維方式，是學(xué)生要具備的關(guān)鍵能力之一。在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生對定理、推論進(jìn)行正逆兩方面的推導(dǎo)論證，重視推理論證的過程。同時，教師還可以對已有的例題進(jìn)行變式、延伸，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生抓住問題本質(zhì)的能力，提高學(xué)生的邏輯思維能力。

（二）定式型思維障礙

1. 定式型思維障礙的特征及表現(xiàn)形式

定式思維是指學(xué)習(xí)者在長期的固定化思維狀態(tài)下形成的一種習(xí)慣性思維方向，具體表現(xiàn)為思維專注性或者思維趨向性。對于高中學(xué)生來講，定式型思維不利的影響在于學(xué)生在知識的學(xué)習(xí)中依靠記憶，問題的思考中循規(guī)蹈矩，問題的解決中盲目模仿，思維呆板，靈活性不強(qiáng)，長此以往養(yǎng)成了惰性思維，不利于學(xué)生思維能力的發(fā)展。

我們?nèi)匀灰孕赂呖?卷的19題立體幾何為例，此證明題除了用幾何定理推出線線平行，還可以通過建立坐標(biāo)系，利用兩直線的方向向量平行，從而得到兩直線平行的方法。在閱卷過程中，“向量法”的準(zhǔn)確率更高，相對“幾何法”更有優(yōu)勢，也更便利。但是，只有較少的學(xué)生利用“向量法”來解決這個問題，是學(xué)生沒有想到“向量法”嗎？也不盡然，此題的第二問，是一個空間角中的二面角問題，絕大多數(shù)的學(xué)生都采用了建立坐標(biāo)系，用向量解決空間二面角的問題。所以，這就是一個典型的思維定式的問題，學(xué)生依據(jù)經(jīng)驗，認(rèn)為證明線面關(guān)系多用“幾何法”，求空間角多用“向量法”，進(jìn)而不深入思考就去套用，而不是通過分析問題，靈活處理，找尋最佳解決方法。

2. 定式型思維障礙的成因分析

定式型思維形成的原因是在課堂教學(xué)上，沒有真正觸發(fā)學(xué)生的思維活動，一些看似高效的課堂，其實只是教師傳授、板演，學(xué)生模仿、操練的過程，忽略了教學(xué)中最重要的環(huán)節(jié)：即讓學(xué)生學(xué)會思考分析問題。尤其是解題教學(xué)，要弱化甚至避免沒有分析的套路化解題，把“讓學(xué)生學(xué)會思考”作為解題教學(xué)的靈魂。通過變式、一題多解等方式，讓學(xué)生理解問題的本質(zhì)，找到解題的突破口，進(jìn)而歸納總結(jié)出解決問題的最佳方案，提高學(xué)生的思維能力。

例：設(shè)a>0，b>0，且1a+1b=1，求a+2b的最小值。

變式：設(shè)a>0，b>0，且12a+b+1b+1=1，求a+2b的最小值。

此例中，很多學(xué)生都會用a+2b=1a+1b（a+2b）=3+2ba+ab≥3+22求得，但如果只是記得“相乘”這個套路，到變式，兩式相乘就無法解決最值問題，就無從下手了。所以，還是要去分析“相乘”的意義在哪里？這個解題方法的本質(zhì)是將1a+1b化為a+2ba+a+2bb這樣的“齊次式”，進(jìn)而利用把ba當(dāng)作整體的思想，達(dá)到消元的目的。經(jīng)過分析，學(xué)生就可以嘗試對變式解法的探索：

解法1：化為齊次式的關(guān)鍵是次數(shù)相同，因此可以用換元的方法轉(zhuǎn)化成例題的形式。令2a+b=x，b+1=y，得到：b=y-1，a=12（x-y+1），且1x+1y=1，得：a+2b=12（x+3y-3）=12（x+3y）1x+1y-3=121+3yx+xy≥1+232。

當(dāng)且僅當(dāng)a=12+33，b=33時取等號。

解法2：利用消元思想

解：由12a+b+1b+1=1，可得a=b+1-b22b>0（b∈0，1+52），所以a+2b=3b2+12b+12≥3+12，當(dāng)且僅當(dāng)b=33時等號成立。

（三）“見山是山”型思維障礙

1. “見山是山”型思維障礙的特征及表現(xiàn)形式

數(shù)學(xué)是一門通過量化關(guān)系尋求邏輯關(guān)聯(lián)的學(xué)科，它通過從具體事物中抽象出數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，分析不同事物之間的內(nèi)在本質(zhì)聯(lián)系，從而找到解決問題的方法。然而，不少同學(xué)無法轉(zhuǎn)化思維，不會用數(shù)學(xué)邏輯去思考問題和解決問題，主要表現(xiàn)為：（1）同樣本質(zhì)的題目只要換個方式，有些學(xué)生就不知道該如何作答。（2）對數(shù)學(xué)的各個知識點的掌握是單一的，孤立的，不能建立知識點之間的相互聯(lián)系和轉(zhuǎn)化。

例：已知直線l：x-y+1=0，若P為l上的動點，過點P作⊙C：（x-5）2+y2=9的切線PA，PB，切點為A，B，當(dāng)｜PC｜·｜AB｜最小時，直線AB的方程為？

此題重點考查學(xué)生是否有數(shù)形結(jié)合的思想，能將線段PC和AB的乘積轉(zhuǎn)化為線段PC的長度，從而解決線段PC的最值問題。學(xué)生在卷面上反映出來的問題主要有：

問題1：沒有把動態(tài)的｜AB｜進(jìn)行轉(zhuǎn)化的思想，直接求｜AB｜，未知數(shù)太多，不能解決最值問題；

問題2：沒有很好地建立知識點之間的聯(lián)系，不能聯(lián)想到利用面積S=12｜PC｜·｜AB｜=3｜PB｜=3｜PC｜2-9來實現(xiàn)變量之間的轉(zhuǎn)化，化多變量為單變量問題，從而求出最值。

2. “見山是山”型思維障礙的成因分析

此類型的思維障礙成因最為復(fù)雜，甚至有人認(rèn)為能否把各個知識點的應(yīng)用融會貫通，實現(xiàn)靈活轉(zhuǎn)化，取決于學(xué)生是否有數(shù)學(xué)天賦，也就是所謂的“悟性”。但事實上，很多理論與實踐研究表明，學(xué)習(xí)能力的差異性主要源于后天積累，其中學(xué)習(xí)方法是很重要的因素。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是建“空中樓閣”，它是建立在一定知識、技能基礎(chǔ)上的，學(xué)生要從一個知識點能聯(lián)想到另一個知識點，并實現(xiàn)兩者之間的轉(zhuǎn)化應(yīng)用。首先，要有東西可“想”，這些東西就是學(xué)過的知識和方法。沒有強(qiáng)大的知識儲備，聯(lián)想就無法展開，造成思維受阻。因此，不能順利實現(xiàn)知識點間靈活轉(zhuǎn)化是因為學(xué)生對基礎(chǔ)知識不熟悉，對方法技能的不熟練。

此外，在教學(xué)中，如果對各個模塊的學(xué)習(xí)是分裂孤立的，不注重新舊知識之間的聯(lián)系，解題教學(xué)時就題論題，不去挖掘公式是否有多種形式，定理正逆兩方面是否都成立等更深入的問題，學(xué)生的學(xué)習(xí)也將只停留在“認(rèn)知”階段，難以有思維的提升拓展。根據(jù)布魯納的認(rèn)識發(fā)展理論，從學(xué)生已經(jīng)建立的知識結(jié)構(gòu)中找到最有效的認(rèn)知和途徑來接受新知識，這樣舊的知識就得到不斷擴(kuò)充，原有的知識結(jié)構(gòu)得到重組，知識和能力的提升才能得到螺旋式上升。

三、 學(xué)生數(shù)學(xué)思維障礙的破解策略

（一）重理解：厘清數(shù)學(xué)知識的生成發(fā)展與邏輯結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)概念是學(xué)好高中數(shù)學(xué)的基石，其重要性不言而喻。因此，教師首先要重視數(shù)學(xué)概念的教學(xué)。簡單的知識羅列和記憶的方式，并不能使學(xué)生理解深刻定義，往往存在一知半解的現(xiàn)象，不能真正掌握概念。如何向?qū)W生揭示概念的本質(zhì)？首先，知識的學(xué)習(xí)是循序漸進(jìn)的，教師要讓學(xué)生先找到與新知有關(guān)的舊知，聯(lián)系已經(jīng)掌握的知識去學(xué)習(xí)新的概念，從而讓學(xué)生掌握知識的基本規(guī)律，理解知識的內(nèi)涵。

例如，高中必修1中《三角函數(shù)的定義》的教學(xué)，可以結(jié)合初中學(xué)過的三角函數(shù)的定義，兩者有聯(lián)系也有區(qū)別，在高中階段，我們把角的范圍擴(kuò)充到全體實數(shù)，初中的定義已經(jīng)不適用于實數(shù)范圍內(nèi)的角了。教師應(yīng)先讓學(xué)生感受到這種沖突，并試圖尋求突破，再通過初高中三角函數(shù)定義的聯(lián)系，逐漸找到新的定義。在教學(xué)中，以學(xué)生為主導(dǎo)，思考概念的形成過程，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思維的聯(lián)系，逐步形成知識結(jié)構(gòu)體系。

其次，結(jié)合一些具體的實例，通過類比、歸納等方法，由特殊到一般，從事實案例中抽象出概念性質(zhì)，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)概念的生成發(fā)展過程，經(jīng)歷歸納推理、演繹推理等過程，學(xué)生就會更易于理解和接受新的知識。例如，在學(xué)習(xí)《平面向量的概念》時，可以結(jié)合物理中的位移、功、力等，歸納它們共同的特點是既有大小又有方向，區(qū)別只有大小的數(shù)量，進(jìn)而理解向量的概念。

（二）重推理：自覺養(yǎng)成用數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)解決問題，開展數(shù)學(xué)思維的習(xí)慣

數(shù)學(xué)概念和定義是中學(xué)數(shù)學(xué)的基石，通過建立完整的數(shù)學(xué)邏輯思維和框架，才能促進(jìn)數(shù)學(xué)體系的建立。學(xué)生要通過對知識的梳理和分析，厘清知識之間的內(nèi)部邏輯關(guān)系，做到對知識點的整合應(yīng)用。在教學(xué)中，促使學(xué)生在分析問題和解決問題中引發(fā)自身的思考，不斷積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗，以此來提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

比較典型的是考試中的“信息給予題”，這是一種能力型題目，其背景新穎、構(gòu)思巧妙，不僅能有效地考查考生的知識遷移能力，同時也能考查考生的自學(xué)能力、思維能力和繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛在能力。解決這類問題，首先，要逐字逐句閱讀題干，理解發(fā)現(xiàn)信息。其次，要提煉信息，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。最后，要找出這些信息和相關(guān)規(guī)律，并與所學(xué)的相近知識進(jìn)行整合，推理遷移舊知到新知，實現(xiàn)解決問題的目標(biāo)。

（三）重方法：通過典型例題，學(xué)會數(shù)學(xué)思維方法

許多教師為了幫助學(xué)生掌握解題方法，傾向于直接分析解題過程，但無論是長篇大論地照本宣科，還是辛辛苦苦地板書講解，都不利于學(xué)生將思維方法內(nèi)化為自己的能力，往往學(xué)生自己解題時還會遇到困難。筆者關(guān)注到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)優(yōu)秀的學(xué)生，往往源于他們長期積累的一些好的思維方式和習(xí)慣，這些促進(jìn)了他們數(shù)學(xué)能力的提升。

首先，注重拓展，熱愛“刨根問底”。對知識不能只停留在“認(rèn)知”階段，要思考公式的變形，逆定理是否成立等；對解題方法不能只停留在“理解”階段，要思考題目考查了什么知識，出題的意圖是什么；對章節(jié)內(nèi)容的掌握不能只停留在“零散”狀態(tài)，要有全局觀，復(fù)習(xí)整理一整章學(xué)習(xí)的內(nèi)容和方法，通過畫思維導(dǎo)圖等方式概括出知識點之間的聯(lián)系。

其次，注重聯(lián)系，善于相互轉(zhuǎn)化?？荚囍谐霈F(xiàn)的綜合性問題，往往不是只考查一個孤立單一的知識點，是幾個知識點的融合。例如：解析幾何中的最值問題，往往會先考慮數(shù)形結(jié)合，把最值轉(zhuǎn)化并化簡，常見的有把圓上的動點轉(zhuǎn)移到與圓心有關(guān)的量；兩條動線段之和（“將軍飲馬”模型）轉(zhuǎn)化成一直線等。但當(dāng)幾何意義不能直接解決最值問題時，我們又會通過設(shè)坐標(biāo)、列代數(shù)式、轉(zhuǎn)化成函數(shù)模型，利用函數(shù)單調(diào)性求最值的方法解題。因此，探索知識點之間的聯(lián)系，知識點與題目之間的聯(lián)系，以及解過的舊題與新的題目之間聯(lián)系，才能夠快速的轉(zhuǎn)化路徑，從而找到下一步的思維方向。

最后，注重發(fā)散，勇于大膽猜測。猜想是點燃創(chuàng)造性思維的火花，“觀察（實驗、分析）—猜想—證明”是數(shù)學(xué)乃至科學(xué)發(fā)展的重要途徑。要通過對所研究問題進(jìn)行合情推理，提出猜想，再進(jìn)行邏輯論證。推理時，優(yōu)秀的學(xué)生往往善于用特殊化、極限化、猜測、類比、舉反例等多種方式去尋求解題方向，這使得他們思維敏捷，能夠舉一反三，這也是學(xué)生創(chuàng)造力的體現(xiàn)。

（四）重歸納：做到一題一類一片，做好歸納整理，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗

高考主要考查學(xué)生對基本知識、基本規(guī)律和方法的掌握程度，注重對知識的理解、歸納、整理與應(yīng)用。想要讓學(xué)生在考場有思路、會靈活地分析和解決問題，不能靠“題海戰(zhàn)術(shù)”，更不能靠押題、猜題。教師要在數(shù)學(xué)解題過程中，通過對典型數(shù)學(xué)問題的解決進(jìn)行深入分析，挖掘其中的數(shù)學(xué)價值，并盡可能地尋求較多的解題思路和方法，再通過適當(dāng)變式訓(xùn)練，講清一類問題的通法通解，概括一類問題的解決策略，并用“一題多解”等方式探究各個知識點的縱橫聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力，真正達(dá)到“解一題懂一類通一片”，以不變應(yīng)萬變，真正提高解題思維與解題能力。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡介：吳葉芳（1982～），女，漢族，浙江杭州人，浙江省杭州市蕭山第二高級中學(xué)，研究方向：高中數(shù)學(xué)教學(xué)。