摘 "要：數(shù)學(xué)類課程思政一直是難點(diǎn)、研究成果也較為欠缺。為了實(shí)現(xiàn)全學(xué)科的“三全育人”目標(biāo)，文章根據(jù)線性代數(shù)課程思政的特點(diǎn)，并結(jié)合新疆財(cái)經(jīng)大學(xué)的具體情況，從線性代數(shù)的特點(diǎn)出發(fā)，探討了線性代數(shù)的課程思政建設(shè)方法，詳細(xì)闡述了線性代數(shù)課程思政的具體切入點(diǎn)：與馬克思主義哲學(xué)原理相結(jié)合、從線性代數(shù)的發(fā)展歷史切入、從線性代數(shù)的應(yīng)用實(shí)例切入、和數(shù)學(xué)建模相結(jié)合、和線性代數(shù)中的數(shù)學(xué)美學(xué)結(jié)合等。只有課程思政和教學(xué)改革相輔相成，才能使課程思政更加深入人心。

關(guān)鍵詞：高等院校；線性代數(shù)；課程思政

中圖分類號：G642 " "文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A " "文章編號：1673-7164（2024）03-0112-04

大學(xué)是培養(yǎng)高級人才的搖籃，教育要以立德樹人為根本任務(wù)，促進(jìn)學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展。為牢牢堅(jiān)持社會(huì)主義辦學(xué)方向不動(dòng)搖，思想政治工作是學(xué)校各項(xiàng)工作的生命線［1］。課程思政作為其中的重要一環(huán)，可將思想政治理論課“潤物細(xì)無聲”地融入各類課程的課堂教學(xué)中。通過課程思政實(shí)現(xiàn)教書育人的目標(biāo)，是每個(gè)教師的光榮使命［2］。

為落實(shí)三全育人任務(wù)，高等院校的教師要進(jìn)行相應(yīng)的課程思政建設(shè)，但研究成果大多集中在人文社科類課程。數(shù)學(xué)類課程的課程思政相關(guān)研究相對較少，尤其是線性代數(shù)課程思政。由于線性代數(shù)的抽象性，課程思政研究成果欠缺、研究內(nèi)容也較淺，直到2020年，線性代數(shù)課程思政的相關(guān)文章才漸漸增多。例如，崔冉冉等人從實(shí)際的例子出發(fā)探索線性代數(shù)思政建設(shè)［3］；趙操等人以高斯消元法入手探討了線性代數(shù)的思政改革［4］；楊威等人從特殊數(shù)字、數(shù)學(xué)發(fā)展史、數(shù)學(xué)知識點(diǎn)等切入點(diǎn)進(jìn)行線性代數(shù)思政建設(shè)［5］；李一鳴等人探討了金融類高校線性代數(shù)的課程思政建設(shè)［6］；曹潔等人深入研究了如何在課堂環(huán)節(jié)進(jìn)行線性代數(shù)的課程思政設(shè)計(jì)等［7］。從總體來看，線性代數(shù)課程思政的相關(guān)文章仍然過少，沒有系統(tǒng)的方案，亟待對線性代數(shù)課程思政建設(shè)進(jìn)行充分的發(fā)掘和探討。

一、“線性代數(shù)”課程情況

新疆財(cái)經(jīng)大學(xué)現(xiàn)有經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理學(xué)、法學(xué)、工學(xué)、理學(xué)、文學(xué)六大學(xué)科。通過近幾年高考數(shù)學(xué)成績可以發(fā)現(xiàn)，新疆高校的大學(xué)生普遍數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱，對于學(xué)習(xí)更為抽象的線性代數(shù)就更不容易。因此，教師如何講好線性代數(shù)、讓學(xué)生容易理解，如何將思政元素巧妙融入，是新疆高校數(shù)學(xué)類課程思政的重點(diǎn)和難點(diǎn)［8］。

“線性代數(shù)”課程作為新疆財(cái)經(jīng)大學(xué)的公共數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，是絕大部分專業(yè)（理、工、經(jīng)管等）學(xué)生的必修課程，涵蓋面廣泛。在基礎(chǔ)類課程中引入思政元素可使思政效果更好，更加有效率［9］?！熬€性代數(shù)”一般作為學(xué)生大一、大二所學(xué)的課程，此階段大學(xué)生正處于形成個(gè)人世界觀、人生觀、價(jià)值觀的關(guān)鍵時(shí)期［10］。教師在課程教育中的價(jià)值引領(lǐng)格外重要。線性代數(shù)課程往往內(nèi)容多、課時(shí)緊、學(xué)習(xí)難度大，因此線性代數(shù)的課程思政要牢記專業(yè)教學(xué)是主題，課程思政是融入。教師要將課程思政融入日常教學(xué)活動(dòng)中，潛移默化地影響學(xué)生的思想政治觀念。

二、“線性代數(shù)”課程思政的特點(diǎn)

從學(xué)科角度來看，數(shù)學(xué)是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化、空間以及信息等概念的一門學(xué)科。數(shù)學(xué)具有科學(xué)性、抽象性、系統(tǒng)性等特性［11］。由于其具有高度抽象性，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)類課程時(shí)往往存在畏難和排斥的情緒。教師如何更加形象生動(dòng)化地講授數(shù)學(xué)類課程是提高課程思政效果的必要前提。

“線性代數(shù)”作為一門抽象的數(shù)學(xué)類課程，以算符和公式，反映了最本質(zhì)的客觀自然規(guī)律［12］?！熬€性代數(shù)”的學(xué)習(xí)可以鍛煉學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力與判斷能力、空間想象力及數(shù)學(xué)語言的表達(dá)能力。由于“線性代數(shù)”的高抽象性使得在課程教育中刻意生硬地穿插思政元素反而會(huì)引起學(xué)生的反感。如何在“線性代數(shù)”中巧妙地融入思政元素，成了“線性代數(shù)”課程思政建設(shè)首先要思考的問題。

三、“線性代數(shù)”課程思政建設(shè)

（一）和馬克思主義哲學(xué)原理相結(jié)合

數(shù)學(xué)知識中的概括和抽象是馬克思哲學(xué)思想中的唯物主義在數(shù)學(xué)上的具體運(yùn)用——事物是存在著客觀規(guī)律的、數(shù)學(xué)是反映客觀規(guī)律的、人能夠認(rèn)識物質(zhì)等。數(shù)學(xué)類課程具有的基本特質(zhì)，使得數(shù)學(xué)類課程普遍可以體現(xiàn)抓住主要矛盾、從特殊到一般的思想，可以培養(yǎng)學(xué)生歸納、概括等推理能力［13］。數(shù)學(xué)類課程中包含數(shù)量關(guān)系和各種性質(zhì)的知識，又對應(yīng)著哲學(xué)中的“量變與質(zhì)變”的辯證關(guān)系。通過具體的實(shí)際問題抽象出數(shù)學(xué)原理，再將數(shù)學(xué)原理運(yùn)用到實(shí)踐活動(dòng)中，體現(xiàn)了經(jīng)過“由特殊到一般，再由一般到特殊”的認(rèn)識過程，“現(xiàn)象和本質(zhì)”的辯證關(guān)系，驗(yàn)證了“實(shí)踐—理論—實(shí)踐”的馬克思主義認(rèn)識論［14］。

線性代數(shù)是用來處理線性關(guān)系問題的代數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，研究對象是向量、線性空間、線性變換等。通過“以直化曲”的線性思想，線性代數(shù)本身就是一個(gè)把握實(shí)際問題中主要矛盾的數(shù)學(xué)工具。線性代數(shù)中出現(xiàn)的等價(jià)變換，都體現(xiàn)了“形變質(zhì)不變”的哲學(xué)思想，一步一步地推導(dǎo)過程也體現(xiàn)了過程的重要性。因而，可以將“線性代數(shù)”的概念、公式和馬克思哲學(xué)思想相對應(yīng)起來［15］。

如果A是一個(gè)n階方陣，如果存在一個(gè)數(shù)λ以及一個(gè)非零n維列向量α，使得：

Aα=λα

那么就稱λ為矩陣A的特征值，α稱為矩陣A的屬于特征值λ的特征向量。由矩陣特征值的定義可以看出矩陣作用在特征向量上，可以等價(jià)為一個(gè)數(shù)乘以特征向量。矩陣作用在一個(gè)向量上可以看作對某個(gè)向量進(jìn)行的一種線性變換（旋轉(zhuǎn)、伸縮等），特征向量的存在反映了這個(gè)變換矩陣的某些特征。在施密特正交化方法中可以看出，這些特征向量就是描述矩陣的一組基底。線性代數(shù)特征值和特征向量的定義中，是馬克思主義哲學(xué)中“把握主要矛盾”的具體應(yīng)用，由特征向量施密特正交化的方法，可以更加深化特征向量的含義，體現(xiàn)了“現(xiàn)象和本質(zhì)”的辯證關(guān)系。

（二）從線性代數(shù)的發(fā)展歷史切入

回顧“線性代數(shù)”的歷史發(fā)展，眾多數(shù)學(xué)家都參與了一部分的工作，一個(gè)概念往往歷經(jīng)多個(gè)數(shù)學(xué)家的驗(yàn)證最終才得以明確。線性代數(shù)源于求解線性方程組的問題，起先主要作為一種計(jì)算工具。隨后通過抽象化和公理化，線性代數(shù)的概念也被大幅延拓，矩陣、線性空間等概念被提出來，并被廣泛而深入地研究。在20世紀(jì)，線性代數(shù)開始被廣泛應(yīng)用在不同領(lǐng)域，例如量子力學(xué)、計(jì)算機(jī)、博弈論、數(shù)據(jù)分析等。

凱萊（Cayley）1821年生于英國，最早引入矩陣的概念，使得矩陣從零散的知識發(fā)展為系統(tǒng)完善的理論體系，通常稱其為矩陣論的創(chuàng)立者。凱萊一生發(fā)表了上千篇數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)論文，幾乎涉及純粹數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域。其在對數(shù)學(xué)的研究外，對法律、文學(xué)、旅行、繪畫等都有廣泛的興趣。凱萊證明了數(shù)學(xué)家也可以興趣廣泛，數(shù)學(xué)思想和邏輯思維對其涉足其他領(lǐng)域也會(huì)有所裨益。

（三）從線性代數(shù)的應(yīng)用實(shí)例切入

線性代數(shù)在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、博弈論、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)、密碼學(xué)、虛擬現(xiàn)實(shí)、數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)等都有著廣泛的應(yīng)用。對不同專業(yè)的線性代數(shù)的課程思政，其應(yīng)用實(shí)例要結(jié)合相關(guān)專業(yè)中的具體應(yīng)用。但應(yīng)用實(shí)例的講解可能會(huì)涉及大量的陌生背景知識。例如，對經(jīng)濟(jì)金融專業(yè)的學(xué)生來說，教師在日常教學(xué)中，線性代數(shù)課程的教學(xué)案例更適合引入生活案例和專業(yè)的相關(guān)案例。在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中，判斷各解釋變量，例如國家財(cái)政收入中一般建立GDP、稅收總額、工業(yè)增加值等為解釋變量之間的多重共線性時(shí)，如果解釋變量的數(shù)據(jù)矩陣：

當(dāng)時(shí)，表明在數(shù)據(jù)矩陣X中，至少有一個(gè)列向量可以用其余的列向量表示，說明存在完全共線性。當(dāng)時(shí)，則稱解釋變量之間無多重共線性。而多重共線性會(huì)造成回歸參數(shù)的估計(jì)值不穩(wěn)定，回歸系數(shù)的方差和協(xié)方差增大，對參數(shù)很難準(zhǔn)確估計(jì)等。矩陣的秩對判斷各個(gè)解釋變量的多重共線性具有重要作用。

（四）和數(shù)學(xué)建模相結(jié)合

教師通過介紹線性代數(shù)的歷史沿革、應(yīng)用實(shí)例，可以從具體的事例引入，從而引入新概念和知識，并用建模解決實(shí)際問題。不但可以激發(fā)學(xué)生對線性代數(shù)的興趣；還可以鍛煉學(xué)生的抽象思維、用數(shù)學(xué)語言描述實(shí)際問題（構(gòu)建數(shù)學(xué)模型）和活用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力。學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)時(shí)，不是被動(dòng)地接受知識的灌輸， 而是在一定程度上重現(xiàn)了發(fā)明這些知識的過程［16］。

教師可以從簡單的數(shù)學(xué)建模入手，和高中所學(xué)知識聯(lián)系起來。例如，已知基因型為AA、Aa和aa的植物的初始分布比例，求解其第n代后代的三種基因型分布比例。就可以化為求解基因型概率矩陣M的n次方的問題（選用AA型與每種植物相結(jié)合）：

Mn可由M對角化后方便求出，通過matlab的“eig（）”函數(shù)可以求解。通過實(shí)際的數(shù)學(xué)建模問題，既聯(lián)系了學(xué)生高中所學(xué)的知識，使學(xué)生感受到知識的互通性和線性代數(shù)的實(shí)用性，也加強(qiáng)了學(xué)生對矩陣和矩陣對角化的理解。

（五）和線性代數(shù)中的數(shù)學(xué)美學(xué)結(jié)合

數(shù)學(xué)往往具有一定的美學(xué)特性。教師可引領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識其中蘊(yùn)含的美感，如簡潔美、統(tǒng)一美、對稱美、奇異美、組合美、協(xié)調(diào)美等，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新能力［7］。例如，在涉及哲學(xué)層面的猜想、推論、公理等概念時(shí)，數(shù)學(xué)美學(xué)對未知探索的幫助是巨大的。對人文社科類的學(xué)生，可以從數(shù)學(xué)美學(xué)在人文作品中或社會(huì)生活中的事例來引入，比如建筑等。

例：線性代數(shù)中可以用矩陣形式表示n元線性方程組：

可以看出矩陣形式更加簡潔，重復(fù)的運(yùn)算符被省略了，體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)的簡潔美和協(xié)調(diào)美，矩陣的形式對于計(jì)算機(jī)的計(jì)算處理和儲存也更為簡單。

（六）從線性代數(shù)實(shí)例中激發(fā)愛國熱情

教師可在線性代數(shù)的歷史發(fā)展中深入挖掘中國數(shù)學(xué)家對線性代數(shù)的發(fā)展貢獻(xiàn)。用線性代數(shù)發(fā)展歷史中數(shù)學(xué)家們的努力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)染?，激發(fā)學(xué)生堅(jiān)韌不拔的科學(xué)探索精神以及勇于承擔(dān)的家國使命感。用線性代數(shù)在國防、航天、計(jì)算機(jī)等高精尖技術(shù)中的應(yīng)用實(shí)例，引出我國所獲得的巨大成就和不懈努力，激發(fā)學(xué)生愛國熱情，提升學(xué)生的責(zé)任感和使命感。

自2008年起，歐洲核子研究中心（CERN）建造的目前全球最大加速器的強(qiáng)子對撞機(jī)LHC，對標(biāo)準(zhǔn)模型完善、暗物質(zhì)研究等前沿高能物理都有著極大的推動(dòng)，更促進(jìn)了萬維網(wǎng)的建立。如今，中國的粒子加速器也如雨后春筍，在各行各業(yè)發(fā)揮著重要作用，其中中科院高能所將建造新一代的環(huán)形正負(fù)電子對撞機(jī)（CEPC）。其中同步加速器中束流在相空間中傳輸?shù)睦碚摼褪怯蓚鬏斁仃嚸枋觯?/p>

線性代數(shù)理論很好地描述了同步加速器中束流傳輸?shù)倪^程，并且推導(dǎo)出了粒子同步加速器穩(wěn)定傳輸束流的相關(guān)要求。例如，隨著數(shù)字經(jīng)濟(jì)越發(fā)重要，中國的云計(jì)算市場和實(shí)力逐步提升，中國的計(jì)算力也已領(lǐng)跑全球。其中云計(jì)算和搜索算法中需要用到的SVD、QR等矩陣分解，對計(jì)算機(jī)的數(shù)據(jù)處理和分類、圖形壓縮、文本處理的分類等也有著巨大幫助。線性代數(shù)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，其應(yīng)用已延伸到社會(huì)發(fā)展的方方面面。

（七）提煉線性代數(shù)相關(guān)知識中的優(yōu)良品質(zhì)和觀念

教師通過寓言故事和社會(huì)熱點(diǎn)等發(fā)掘線性代數(shù)相關(guān)的內(nèi)容，找出其中蘊(yùn)含的線性代數(shù)的相關(guān)知識，從而給予學(xué)生新的角度重新認(rèn)識這些寓言故事和社會(huì)熱點(diǎn)。用線性代數(shù)的語言重新描述寓言故事和社會(huì)熱點(diǎn)中所蘊(yùn)含的優(yōu)良品質(zhì)和觀念，反過來也使學(xué)生重新認(rèn)識線性代數(shù)中這些知識點(diǎn)的實(shí)際含義。

矩陣左乘可逆矩陣P相當(dāng)于做了一系列初等行變換，右乘可逆矩陣相當(dāng)于做了一系列初等列變換。從矩陣相乘的這個(gè)性質(zhì)，可以類比出做人的道理——人生路上每一次大的改變都是一次次小的改變的疊加，可以引入“勿以惡小而為之，勿以善小而不為”的傳統(tǒng)美德教導(dǎo)學(xué)生。

四、結(jié)語

線性代數(shù)作為絕大部分大學(xué)生的公共基礎(chǔ)課程，課時(shí)緊、內(nèi)容多、知識難，造成很大一部分學(xué)生興趣不高。如何使線性代數(shù)課程更加有趣，更加吸引學(xué)生，是順利開展課程思政的前提。在推進(jìn)數(shù)學(xué)類課程思政的同時(shí)，也應(yīng)進(jìn)行教學(xué)改革，探索新的講授方式，增加信息技術(shù)的應(yīng)用，同時(shí)也要進(jìn)行教材的改編和教學(xué)方案的變革等。課程思政和教學(xué)改革相輔相成，使得課程思政更加深入人心。本研究以新疆財(cái)經(jīng)大學(xué)為例，通過與馬克思主義哲學(xué)、線性代數(shù)發(fā)展歷史沿革、應(yīng)用實(shí)例、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)美學(xué)等切入點(diǎn)，具體探討了財(cái)經(jīng)類院校線性代數(shù)的課程思政建設(shè)的路徑，具有一定的參考意義。

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（薦稿人：馬長發(fā)，新疆財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院副院長，教授）

（責(zé)任編輯：鄒宇銘）