王燕榮 李者 黃銘超

摘要：信息技術與數學教學深度融合己大勢所趨，但在實際操作過程中，仍存在偏頗.基于此，以“正弦函數、余弦函數的圖象”第一課時為例，從教學準備、課題引入、問題探究、回顧反思等環(huán)節(jié)展開了詳細闡述，以實現信息技術運用的自然合理.

關鍵詞：信息技術；正弦函數圖象；余弦函數圖象；深度融合；教學設計

1 教學準備

1.1 解讀課程標準，深入分析教材

新人教A版高中數學教科書必修第一冊第五章“三角函數”單元，是按照“任意角和弧度制”“三角函數的概念”“誘導公式”“三角函數的圖象與性質”“三角恒等變換”“函數y=Asin（ωx+φ）”“三角函數的應用”的結構編排的[1].其中，“正弦函數、余弦函數的圖象”既是對前面所學“任意角和弧度制”“三角函數的概念”“誘導公式”的深化應用，也是后面學習性質與應用的基礎，具有承上啟下的作用.

新人教A版高中數學教科書與舊人教A版教材比較，“正弦函數、余弦函數的圖象”內容的編排變動較大.主要體現為：（1）在舊版教材中，首先利用簡諧實驗使學生對正弦函數、余弦函數圖象有一個直觀印象，然后利用正弦線畫出正弦函數圖象.而在新版教材中，是先借助正弦函數的定義找到畫一般點的方法，然后由此畫出正弦函數圖象，其中并未提及正弦線.（2）舊版教材中沒有明確涉及信息技術的運用，而在新版教材中明確指出了利用信息技術可以畫出足夠多的點，用光滑曲線相連即可得到較精確的正弦函數圖象.（3）“五點法”出現的順序不同.在舊版教材中是學生得到了正弦函數、余弦函數圖象后才引入“五點法”，而在新版教材中則是學生得到正弦函數圖象后引入“五點法”，然后再畫余弦函數的圖象.

1.2 精準定位學情

在此前，學生已學習了函數的概念及性質，進一步研究了冪函數、指數函數、對數函數的概念、圖象、性質和應用，建立了研究函數的路徑，認識到單位圓是研究三角函數的重要工具，掌握了用“描點法”畫函數圖象的操作技能，積累了豐富的經驗.但是，利用定義的幾何意義繪制函數圖象是第一次，在思維習慣上存在障礙，因此，對正弦函數圖象的構造和認識是難點.

1.3 制定合理的教學目標

（1）經歷探索正弦函數圖象畫法的過程，體會到利用正弦函數定義的幾何意義畫正弦函數圖象的合理性，充分感受信息技術運用的必要性和優(yōu)越性，掌握特殊到一般的思維方法，提高分析和解決問題的能力，培養(yǎng)數學抽象、直觀想象、邏輯推理素養(yǎng).

（2）感受利用“五點法”畫函數圖象的便捷性，掌握“五點法”，并能利用“五點法”繪制正弦函數圖象，豐富作圖經驗.

（3）能用圖象變換的方法由正弦函數的圖象繪制余弦函數的圖象，體會誘導公式的作用及轉化和數形結合的思想，體味數學知識間的內在聯系，培養(yǎng)普遍聯系、透過現象把握本質等辯證唯物主義觀點.

2 “正弦函數、余弦函數的圖象”教學活動設計

2.1 搭建腳手架，引出學習課題

問題1?回憶冪函數、指數函數、對數函數的學習過程，你能概括它們研究的基本思路嗎？

問題2?三角函數作為一類新的基本初等函數，研究其定義后下一步該研究什么？

學生聯想到前面所學的函數，研究思路均是從實際問題中獲得變量之間的關系，歸納抽象出函數的概念，然后畫出函數的圖象，繼而根據圖象研究函數性質，最后進行應用，形成函數學習的研究路徑，如圖1.

按照上述研究路徑，學生自然想到學習三角函數的概念之后，應該研究正弦函數、余弦函數的圖象，由此引入學習課題.

設計意圖：以單元教學設計理念為指導，通過設置問題逐步激活學生原有的知識與經驗，歸納總結形成函數學習的研究路徑，并借助PPT將研究函數的思路以知識結構網絡圖的形式直觀呈現給學生，體現學科內容的結構性、整體性與順序性，同時幫助學生建立原有知識與新知識的聯系，把握新知識的生長點，形成整體觀念.

2.2 緊扣學生現實，制造疑難和困惑

問題3?如何研究正弦函數y=sin x的圖象？

學生根據先前畫圖象的經驗，可以通過“描點法”畫函數圖象.

教師追問：怎樣描點？學生認為可以取特殊點.

學生取點出現的可能情況有以下幾種：

教師追問：描點的過程中有沒有遇到困難？

學生紛紛表示描點不夠準確，尤其是所取的角涉及π，以及三角函數值中有2的，都是大體估計其位置，這會影響到圖象的精確性.

設計意圖：借助學生已有的作圖經驗，讓其親自經歷動手描點的過程，感受到圖象的精確度會受每個點的精確度的影響，進而產生盡可能要精確描點的意愿，引發(fā)學習的內在需求.

2.3 依托數學思考，感受信息技術運用的優(yōu)勢

問題4?怎樣精確描點，比如點π/4，根2/2？有沒有想法？

教師引導：剛才通過粗略計算描點不夠準確，怎么辦？追本溯源，回歸到正弦函數的定義，看看有沒有發(fā)現？

師生共同分析：通過前面弧度制和三角函數定義的學習，對于任意角的三角函數，為了不失一般性，我們借助了何種圖形中來研究？學生自然意識到可以考慮利用單位圓這一工具.借助單位圓，利用三角函數的定義，明確了π/4是45°角所對的弧長，sin π/4是角π/4的終邊與單位圓交點的縱坐標.

教師引導：研究問題，先特殊再一般，剛才研究了特殊點在單位圓中對應的幾何量，那么對于任意的一點（x0，sin x0）如何在單位圓中找到對應的幾何量呢？

學生自然想到借助單位圓能夠明確x0和sin x0在單位圓中對應的幾何量.

教師追問：如何精確描出任意點（x0，sin x0）？

學生感到有困難，讓單位圓在紙上滾動不實現，只能粗略估計橫坐標x0的位置，這不是又不精確嗎？

教師不失時機地利用幾何畫板動態(tài)展示滾動與平移過程，具體步驟為：在單位圓上任取一點B，∠AOB的弧度數為x0，將單位圓在x軸上滾動，得到點的橫坐標x0，其縱坐標與點B的縱坐標相同，將MB平移到x0的位置，得到點T，如圖2.

設計意圖：通過教師的引導、追問，引發(fā)學生不斷深入思考，分散學習難點，使學生感受到傳統(tǒng)教學手段不易實現，進而體味到信息技術運用的必要性和優(yōu)越性，發(fā)展數學抽象、直觀想象素養(yǎng).

2.4 借助信息技術，促進數學思維的深層發(fā)展

問題5?我們已經學會了精確繪制正弦函數圖象的某一個點，如何畫出函數y=sin x的圖象呢？

學生馬上會想到，可以運用幾何畫板精確畫出問題3中情況1和情況2所取的點，然后用光滑的曲線連接就可以得到y(tǒng)=sin x的圖象，如圖3、圖4所示.

教師追問：大家都這樣認為嗎？

教師引導：對比圖3和圖4，大家發(fā)現它們有哪些共同之處？

學生發(fā)現：形狀相同，取點均在區(qū)間［0，2π］上.

教師追問：正弦函數的定義域是什么？

學生注意到正弦函數的定義域為實數集.

教師追問：畫出了正弦函數y=sin x在區(qū)間［0，2π］的圖象，你能想象出正弦函數在整個定義域上的圖象嗎？若能，依據是什么？

學生結合前面學過的誘導公式一，將y=sin x，x∈［0，2π］的圖象不斷向左、向右平移（每次平移2π個單位長度），就可以得到y(tǒng)=sin x的圖象.師生總結描述正弦曲線.

設計意圖：通過運用幾何畫板作圖以及觀察圖3和圖4的異同和取點的區(qū)間，引發(fā)學生的認知沖突，促使學生深度思考，進而培養(yǎng)思維的深刻性和批判性，提高思維品質，直觀感受正弦函數圖象的周期性變化，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)，再次體味到信息技術運用的優(yōu)越性.

問題6?在精確度要求不高的情況下，如何快速畫出正弦函數在區(qū)間［0，2π］上的圖象？

學生觀察圖3和圖4，發(fā)現：圖3比圖4方便，僅需五個點就可以快速畫出正弦函數在區(qū)間［0，2π］上的圖象.

教師追問1：少于五個點可以嗎？

教師追問2：五個點可以任取嗎？

學生經過動手實踐，體會到少于五個點和任取五個點會出現不能很好描述正弦函數圖象走勢的情況.

教師總結：在精確度要求不高時，這五個點就是畫正弦函數圖象的關鍵點，描點后用光滑的曲線連接起來，就能得到正弦函數在［0，2π］的簡圖（信息技術展現），這種方法叫做“五點法”，非常實用簡便.

設計意圖：透過現象把握本質，通過對圖3和圖4的比較發(fā)現繪制正弦圖象的五個關鍵點，運用信息技術實現光滑曲線的連接過程，將“五點法”作圖步驟可視化，深化學生對正弦函數圖象形狀的認識，體味數學學科對簡潔美的追求.

2.5 采用類比遷移，引發(fā)自主探究學習

問題7?如何作出余弦函數y=cos x的圖象？

學生根據先前的作圖經驗，給出如下方法：

（1）類比正弦函數，借助單位圓.

（2）[JP3]精確度要求不高的情況下，利用“五點法”作圖.

（3）利用誘導公式，建立正弦函數與余弦函數的關系.

教師引導：學習知識就要學會橫向聯系和縱向聯系，類比正弦函數圖象的畫法研究余弦函數圖象的畫法非常好！

對于前兩種方法給與肯定，不具體展開.

設計意圖：將作余弦函數圖象的問題拋給學生，學生類比正弦函數圖象的作圖過程，通過獨立思考得到不同的作余弦函數圖象的方法.通過設計問題串引導學生深入思考，應用信息技術展示已知圖象與未知圖象的聯系，使學生感受圖象變換的奧妙，同時加強“五點法”的鞏固與應用.整個過程中充分展示了信息技術與數學思考互相促進發(fā)展的過程，使信息技術的運用不再流于單純的演示，而是目的明確、有效促進學生數學思維深層發(fā)展的必然過程；同時數學思維的不斷深入，離不開信息技術動態(tài)直觀的演示，有助于學生更好地理解數學知識.

2.6 構建知識網絡，提升數學核心素養(yǎng)

問題8?本節(jié)課你有哪些收獲？

學生回答：

（1）學會了繪制正弦函數、余弦函數的圖象，明白畫函數圖象的方法不唯一，有“五點法”“圖象變換法”“定義法”.

（2）感悟了數形結合、類比和轉化的思想方法，以及分析問題常用到的特殊到一般、分析、比較等思維方法.

（3）真正感受到了信息技術的功能，尤其是動態(tài)性和直觀性.

教師與學生共同整理研究正弦函數、余弦函數的思路并構建知識結構網絡圖，如圖6.

設計意圖：學生的學習是知識增長、能力提升和情感發(fā)展的過程，通過對學習的反思，促使學生形成新的數學認知結構，能夠從整體把握研究函數的一般方法，實現從“授之以魚”過渡到“授之以漁”，使學生獲得良好的情感體驗，從“要我學”逐步轉變?yōu)椤拔乙獙W”，進而實現“我會學”，培養(yǎng)數學核心素養(yǎng).

3 結束語

合理運用信息技術可以輔助數學教學，不僅可以加強數學知識的發(fā)生發(fā)展過程，加深對數學概念的理解和認識，體現知識之間的邏輯聯系，更能體現以“獨立思考、合作交流、啟發(fā)引導”為特征的教與學的方式.

數學教學與信息技術的深度融合不是一蹴而就的，需要不斷摸索、創(chuàng)新和反復實踐檢驗.

參考文獻：

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究中心.普通高中教科書·數學·必修·第一冊[M].北京：人民教育出版社，2019.