莊慧鴻

摘 要： 數(shù)學(xué)教學(xué)是中學(xué)教育教學(xué)中不可或缺的一部分，它對(duì)中學(xué)生的知識(shí)、能力和價(jià)值觀(guān)的發(fā)展起到非常重要的不可忽視的作用。數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)觀(guān)點(diǎn)在一定程度上影響學(xué)生的思維方式和生活方式，它是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的精髓和內(nèi)涵所在。因此要重視在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思想。

關(guān)鍵詞： 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 數(shù)學(xué)思想 集合思想 系統(tǒng)思想 對(duì)應(yīng)思想

數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵是豐富而有層次的，具體而言可以分為以下幾個(gè)方面。第一，數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)最本質(zhì)的和最核心的認(rèn)識(shí)，包括對(duì)數(shù)學(xué)的基本概念、基本邏輯思想、基本的方法和數(shù)學(xué)在整個(gè)學(xué)科中的位置和重要性的認(rèn)識(shí)；第二，數(shù)學(xué)思想指的是引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的邏輯和思維思考生活中的問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的方法轉(zhuǎn)化和解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，掌握數(shù)學(xué)發(fā)展的一般規(guī)律和數(shù)學(xué)知識(shí)的規(guī)律性。比較上述說(shuō)法，對(duì)數(shù)學(xué)思想的含義作如下概括：數(shù)學(xué)思想是指在數(shù)學(xué)活動(dòng)中解決問(wèn)題的基本觀(guān)點(diǎn)和根本想法，是對(duì)數(shù)學(xué)概念、命題、規(guī)律、方法和技巧的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)中的智慧和靈魂。

一、數(shù)學(xué)思想的幾次重大突破

（一）從算術(shù)發(fā)展到代數(shù)是數(shù)學(xué)思想的一次重大發(fā)展。

算術(shù)是一切科學(xué)產(chǎn)生的重要條件。代數(shù)的發(fā)展就建立在算術(shù)發(fā)展的基礎(chǔ)之上，是算術(shù)不斷發(fā)展的重要產(chǎn)物。最初的算術(shù)主要有自然數(shù)，小數(shù)和分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)及運(yùn)算，這就為人們認(rèn)識(shí)客觀(guān)世界，用客觀(guān)數(shù)據(jù)解答問(wèn)題起到了關(guān)鍵性的作用，成為人類(lèi)發(fā)展的重要的運(yùn)算工具。但在使用算術(shù)解決問(wèn)題的過(guò)程中，人們逐漸認(rèn)識(shí)到算術(shù)在解題方面有一些不可避免的局限性。比如，算術(shù)在解決問(wèn)題時(shí)，只能進(jìn)行具體的數(shù)字或者說(shuō)進(jìn)行四則運(yùn)算，對(duì)含有未知數(shù)的抽象的問(wèn)題卻無(wú)法解答。在解決應(yīng)用題時(shí)，需要先根據(jù)需要求的量，按照已知的條件按照題目練出式子，然后使用算式計(jì)算規(guī)則求得結(jié)果。而更多在生活中遇到的比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，比如有關(guān)路程的問(wèn)題，有關(guān)工程完成量的問(wèn)題，有關(guān)公司盈余的問(wèn)題和產(chǎn)品的分配問(wèn)題，等等，都是利用算術(shù)得到解決的。這里的關(guān)鍵是列出算式，而對(duì)于那些具有復(fù)雜數(shù)量關(guān)系的應(yīng)用題，要列出相應(yīng)算式并非易事，往往需要很高的智慧和技巧。但是在轉(zhuǎn)換實(shí)際問(wèn)題為數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，需要列出含有未知數(shù)的算術(shù)進(jìn)行求解時(shí)，算術(shù)就解決不了。正是為了解決這一矛盾，便產(chǎn)生了代數(shù)解題法。其特點(diǎn)是允許未知數(shù)參與運(yùn)算，把已知數(shù)與未知數(shù)放在同等地位對(duì)待。這種數(shù)學(xué)思想的精髓是，首先需要根據(jù)問(wèn)題中已有的條件列出包含未知數(shù)的等式，也就是現(xiàn)在大家所說(shuō)的方程，然后通過(guò)變換等式兩邊的式子，求得未知數(shù)的結(jié)果。這就克服了算術(shù)解題法的局限性，使代數(shù)方法有了更大的普遍性和靈活性，代數(shù)解題法的產(chǎn)生過(guò)程也就是代數(shù)學(xué)的形成過(guò)程。

（二）幾何的代數(shù)化是數(shù)學(xué)思想的又一次發(fā)展。

幾何科學(xué)在其發(fā)展歷程中，其思想在不斷發(fā)展中取得了一次又一次的進(jìn)步，但是具有劃時(shí)代意義的一次進(jìn)步是幾何的代數(shù)化發(fā)展。在14世紀(jì)前，幾何高速發(fā)展而代數(shù)還處于啟蒙發(fā)展階段，還沒(méi)有發(fā)展成為一門(mén)獨(dú)立的科學(xué)，學(xué)科體系還沒(méi)有建立，因此幾何學(xué)處于數(shù)學(xué)科學(xué)的中心地位。當(dāng)時(shí)，在解決幾何證明方面的問(wèn)題時(shí)，需要的技巧和步驟過(guò)于繁瑣，給幾何證明方面問(wèn)題的解決帶來(lái)了不小的難題。此時(shí)，代數(shù)學(xué)日漸成熟，特別是16世紀(jì)代數(shù)學(xué)得到突飛猛進(jìn)的發(fā)展，不僅形成了一套簡(jiǎn)明的字母符號(hào)體系，而且成功地解決了二次、三次、四次方程的求根問(wèn)題，這使代數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)中的地位逐漸上升。16世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)曾嘗試用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題，并萌發(fā)了用方程表示曲線(xiàn)的思想。他在文章中表示，在幾何作圖方面，可以把線(xiàn)段用數(shù)字表示，而線(xiàn)段的連接可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)的四則運(yùn)算，這也是第一個(gè)提出用代數(shù)解決幾何問(wèn)題的科學(xué)家。法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾繼承和發(fā)展了韋達(dá)先進(jìn)的數(shù)學(xué)思想，主張采用幾何和代數(shù)中一切最好的東西創(chuàng)立一門(mén)普通數(shù)學(xué)，使算術(shù)、代數(shù)、幾何統(tǒng)一起來(lái)，并提出用坐標(biāo)和曲線(xiàn)方程來(lái)解決幾何問(wèn)題。此書(shū)的問(wèn)世標(biāo)志著解析幾何的誕生，用代數(shù)方程表示一定的幾何軌跡，這正是解析幾何的基本思想。隨著解析幾何的發(fā)展，幾何代數(shù)的內(nèi)容和方法不斷得到豐富。幾何代數(shù)化對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展有重大意義。首先，它為幾何學(xué)的研究提供了新的方法，使許多幾何問(wèn)題變得簡(jiǎn)單易解；它使數(shù)學(xué)從定性研究階段發(fā)展到定量分析階段，使人們對(duì)形的認(rèn)識(shí)由靜態(tài)發(fā)展到動(dòng)態(tài)，對(duì)空間的認(rèn)識(shí)由低維發(fā)展到高維。其次，它為代數(shù)研究提供了形象模型；用代數(shù)學(xué)的知識(shí)和思想解決幾何學(xué)方面的問(wèn)題，為代數(shù)學(xué)的發(fā)展提供了新的問(wèn)題領(lǐng)域。再次，在數(shù)學(xué)教育教學(xué)中引進(jìn)了變量，這為微積分學(xué)科的發(fā)展提供了條件。除此之外，數(shù)學(xué)思想方法理論在此基礎(chǔ)上不斷萌芽，并逐步發(fā)展為一門(mén)成熟的理論。集合思想、系統(tǒng)思想、函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等思想逐漸被開(kāi)發(fā)出來(lái)，形成獨(dú)立的研究?jī)?nèi)容。

（四）數(shù)學(xué)由必然現(xiàn)象向偶然現(xiàn)象的轉(zhuǎn)變是數(shù)學(xué)思想的又一次飛躍。

在現(xiàn)實(shí)生活和時(shí)間中存在兩種近似相反方向的現(xiàn)象，其中一種稱(chēng)為必然的現(xiàn)象，另一種稱(chēng)為偶發(fā)的現(xiàn)象。必然現(xiàn)象是指在一定條件必然產(chǎn)生某種結(jié)果或者必然不發(fā)生某種結(jié)果的現(xiàn)象，即條件和結(jié)果之間存在必然聯(lián)系。用以描述和研究必然現(xiàn)象的量及其關(guān)系的數(shù)學(xué)，稱(chēng)為必然數(shù)學(xué)。如幾何、代數(shù)、微積分等。或然現(xiàn)象指的是，某種現(xiàn)象在適當(dāng)?shù)沫h(huán)境和條件下，可能引起某種結(jié)果或現(xiàn)象的法傷，也可能不導(dǎo)致這種結(jié)果和現(xiàn)象的發(fā)生，即或然現(xiàn)象中不存在條件與結(jié)果的必然聯(lián)系。或然現(xiàn)象是不能用必然數(shù)學(xué)進(jìn)行精確的定量描述的。但是，這不意味著或然現(xiàn)象不存在規(guī)律，也不意味著我們不能從數(shù)量上描述和研究或然現(xiàn)象的規(guī)律。當(dāng)同一情況的現(xiàn)象多次不斷出現(xiàn)時(shí)，就呈現(xiàn)出一定的特征和規(guī)律，這就是數(shù)學(xué)中統(tǒng)計(jì)的研究?jī)?nèi)容。這種統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的存在便是或然數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)。

二、中學(xué)生應(yīng)該掌握的基本數(shù)學(xué)思想

（一）培養(yǎng)學(xué)生用符號(hào)與變?cè)硎舅枷搿?/p>

符號(hào)是指將具體的數(shù)字轉(zhuǎn)化為抽象的表述，變?cè)傅氖菍?shù)學(xué)中的變量用不同的數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)字母加以表示。符合與變?cè)傅氖菍⑸钪杏龅降膶?shí)際問(wèn)題用數(shù)學(xué)符號(hào)和具有一定使用通性的量揭示實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，以此轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題加以解決，通過(guò)對(duì)“量”的研究或應(yīng)用規(guī)律、規(guī)則來(lái)解決問(wèn)題的一種思想。使用符號(hào)化語(yǔ)言和在其中引進(jìn)“變?cè)?，是?shù)學(xué)科學(xué)高度抽象性的要求。用字母和變?cè)硎居嘘P(guān)對(duì)象關(guān)系，具有明確簡(jiǎn)潔的優(yōu)點(diǎn)，增大了信息密度和信息容量，這樣抽象的形式會(huì)帶來(lái)思維的直觀(guān)。

（二）培養(yǎng)學(xué)生的集合思想。

在中學(xué)階段，集合是存在于數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容的不同層次和不同部分，也存在于學(xué)生知識(shí)和技能發(fā)展的不同年級(jí)中。中學(xué)集合思想主要貫穿在以下方面：第一，數(shù)系、點(diǎn)集和解集是集合的雛形和基礎(chǔ)。數(shù)系是中學(xué)數(shù)學(xué)中主要的研究對(duì)象，是立足于集合概念之上的。伴隨數(shù)學(xué)數(shù)系的不斷發(fā)展，實(shí)數(shù)與其在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置的關(guān)系，促進(jìn)數(shù)字和圖形的相互結(jié)合，然后開(kāi)始數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題的解決；第二，體現(xiàn)集合表述，揭示數(shù)學(xué)概念。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，從集合觀(guān)點(diǎn)看，數(shù)學(xué)概念都可看做集合。因此，都可以用集合來(lái)表述。

（三）培養(yǎng)學(xué)生的對(duì)應(yīng)思想。

對(duì)應(yīng)是人的思維對(duì)兩個(gè)集合間聯(lián)系的把握。對(duì)應(yīng)指的是，將不同類(lèi)型、不同層次的研究對(duì)象相聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)這些對(duì)象相同的或者同類(lèi)似的本質(zhì)的屬性，促進(jìn)這些不同特征、不同屬性的事物之間的規(guī)律轉(zhuǎn)換，并使用相應(yīng)的方法加以解答。對(duì)應(yīng)思想的發(fā)展是人類(lèi)認(rèn)識(shí)發(fā)展史上的一大進(jìn)步。對(duì)應(yīng)思想對(duì)學(xué)生的發(fā)展具有重要的作用，掌握對(duì)應(yīng)思想，有助于學(xué)生科學(xué)的把握生活中的現(xiàn)象，認(rèn)識(shí)復(fù)雜的世界。因此，在中學(xué)階段，要引導(dǎo)學(xué)生掌握對(duì)應(yīng)思想，促進(jìn)對(duì)應(yīng)思想的內(nèi)化，并加以運(yùn)用。

（四）培養(yǎng)學(xué)生的系統(tǒng)思想。

系統(tǒng)論是現(xiàn)代新三論重要思想之一。系統(tǒng)論的出現(xiàn)是世界發(fā)展史上的最偉大的成就之一。系統(tǒng)思想強(qiáng)調(diào)的是事物的整體性，強(qiáng)調(diào)將事物看成一個(gè)整體來(lái)解決問(wèn)題，思想整體中各部分對(duì)整體的影響，合理調(diào)節(jié)部分對(duì)整體的作用。中學(xué)生在心理發(fā)展階段是逐漸去自我中心，也就是說(shuō)學(xué)生在中學(xué)階段還表現(xiàn)為一定的以自我為中心，忽視人際關(guān)系中的其他關(guān)系，只在乎自己的感覺(jué)，認(rèn)為其他人的感覺(jué)是和自己同步的。這種思想不利于學(xué)生的發(fā)展，而系統(tǒng)的發(fā)展思想在一定程度上改變學(xué)生的思想，引導(dǎo)學(xué)生在動(dòng)態(tài)的發(fā)展變化中認(rèn)識(shí)到整體和部分、部分和部分，以及整體和部分的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，并用動(dòng)態(tài)的觀(guān)點(diǎn)思考自己和他人，用動(dòng)態(tài)的思想解決自己和他人的問(wèn)題。

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