黃益全 邵丹

摘 ?要：研讀教材是教師的基本功之一，是教師順應(yīng)新課改，改進課堂教學的重要一環(huán). 對教材研讀的一個重要方面就是對教材拓展欄目的研讀. 旁白作為教材的拓展欄目之一，在教材內(nèi)容及教師教學中起著舉足輕重的作用. 教師要用好教材，更要用好旁白.

關(guān)鍵詞：教材研讀;旁白;課改;教學

精心備課是教師實現(xiàn)“高效課堂”和“卓越課堂”的源泉，是教師提高課堂教學能力和提升專業(yè)素養(yǎng)的首要途徑. 備課環(huán)節(jié)的重要工作之一就是研讀教材. 教師對教材的研讀，一方面要從宏觀的角度領(lǐng)會教材的學科特點，進而確立教材內(nèi)容的地位作用，另一方面又要從微觀的角度揣摩教材的編寫意圖，明確教材的脈絡(luò)結(jié)構(gòu)，然后從教學設(shè)計的層面凸顯教學的重點、難點，醞釀教學設(shè)計的具體策略，并力求使教師的教學設(shè)計實現(xiàn)教材的知識價值、思想價值、教育價值和文化價值的和諧統(tǒng)一.

本文以《普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學》（人教A版）選修2-2第一章第§1.1.3節(jié)“導數(shù)的幾何意義”為研讀對象，在研讀教材，順應(yīng)課改，改進教學方面做一些探索.

教材的地位與作用

1.？搖從教材的設(shè)計意圖看

其一，學生在上一節(jié)內(nèi)容中剛剛學習了導數(shù)的幾何意義的上位概念——平均變化率，瞬時變化率，并用極限來定義了函數(shù)的導數(shù)，這是從“數(shù)”的角度來詮釋導數(shù)，接著縈繞在學生心頭的、若隱若現(xiàn)又呼之欲出的即是導數(shù)的“形”;其二，導數(shù)的幾何意義是導數(shù)概念的下位概念，是導數(shù)的“形”的體現(xiàn)，有助于學生進一步從幾何意義的角度來理解導數(shù)的含義與價值;其三，導數(shù)的幾何意義的學習又是下位內(nèi)容——常見函數(shù)導數(shù)的計算，導數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用及研究函數(shù)曲線與直線的位置關(guān)系的基礎(chǔ).

2. 從知識的作用看

導數(shù)的幾何意義能夠很好地從“形”的角度幫助學生較深刻地理解導數(shù)的定義，達到“數(shù)”與“形”的有機結(jié)合;同時導數(shù)的幾何意義又是相關(guān)知識在幾何學、物理學方面的遷移應(yīng)用，是培養(yǎng)學生學數(shù)學、用數(shù)學的意識的良好載體. 通過導數(shù)的幾何意義的學習，能使學生對曲線的切線的含義在思維層次方面獲得提升，它不是從公共點的個數(shù)的角度來定義切線，而是由“割線”繞其一個交點旋轉(zhuǎn)來“逼近”曲線的切線，把曲線的切線上升到新的思維層面上，有助于提升學生的思維層次.

3. 從數(shù)學教育的角度看

在這節(jié)內(nèi)容的學習過程中，學生經(jīng)歷自己作圖和教師動畫演示割線“逼近”成切線的過程，能真切感受函數(shù)圖象的切線的“形成”過程，較深刻地理解函數(shù)圖象的切線的意義，體會由“量變”到“質(zhì)變”的心路歷程，對學生“逼近”思想與極限思想的滲透留下一生都難以磨滅的印象.

通過例題的學習與實際生活問題的解決，可以使學生體會到，處理實際問題時，可以用較小區(qū)間的平均變化率，來解決實際問題的瞬時變化率，滲透“以直代曲”的近似替代方法，進而體會到導數(shù)幾何意義的實際應(yīng)用.

教材研讀

1. 教材引入

教材的引入是在引導學生回憶導數(shù)f ′（x0）所表示的代數(shù)含義的基礎(chǔ)上，開門見山地提出“導數(shù)f ′（x0）的幾何意義是什么呢”？讓學生帶著問題走進教材，激發(fā)學生學習興趣. 這恰好體現(xiàn)了教材的編寫宗旨之一“學習始于疑問”，“我們將通過適當?shù)膯栴}情境，引出需要學習的學習內(nèi)容.”

2. 對“觀察”環(huán)節(jié)的理解

教材在提出研究的課題后，給出了四幅圖片，讓學生觀察“當點Pn（xn，f（xn））（n=1，2，3，4）沿著曲線f（x）趨近于點P（x0，f（x0））時，割線PP的變化趨勢是什么？” 同時給出教材旁白：“利用信息技術(shù)工具，演示圖1中PPn的動態(tài)變化效果.做一做，看一看.” 教材這樣編排設(shè)計，一是讓學生通過觀察圖片，基本上可以滿足學生通過圖片粗略地感受割線PPn的變化趨勢的目的;二是滲透并強化了數(shù)形結(jié)合的思想;三是這種動態(tài)變化效果，體現(xiàn)了“量”與“質(zhì)”的轉(zhuǎn)化與相互替代，蘊涵了“量變引起質(zhì)變”的哲學思想;四是滲透并強化了合情推理思想的應(yīng)用;五是旁白的設(shè)置，一方面是為了彌補學生通過圖片觀察的不足，另一方面又使教材知識體系更加嚴密和完備;六是體現(xiàn)了新課程的基本理念，“注重信息技術(shù)與數(shù)學課程的整合”，“高中數(shù)學課程應(yīng)提倡利用信息技術(shù)來呈現(xiàn)以往教學中難以呈現(xiàn)的課程內(nèi)容，盡可能使用科學型計算器、各種數(shù)學教育技術(shù)平臺，加強數(shù)學教學與信息技術(shù)的結(jié)合，鼓勵學生運用計算機、計算器等進行探索和發(fā)現(xiàn).”

圖1

3. 對曲線的切線的理解

通過以上環(huán)節(jié)的觀察和信息技術(shù)的動態(tài)演示，曲線在某點處的切線的定義呼之欲出. 教材指出“當點Pn趨近于點P時，割線PPn趨近于確定位置，這個確定位置的直線PT稱為點P處的切線.” 然后又以旁白的形式提出問題：“此處切線定義與以前學過的切線定義有什么不同？”教材這樣編排設(shè)計，一是以此引發(fā)學生的比較和思考，并感知此處切線定義的普適性和一般性，同時反觀圓和橢圓的切線的定義的局限性，進而激發(fā)學生在比較中發(fā)展曲線的切線的定義的求知欲;二是圓的切線實際上也可以通過割線繞其與圓的一個交點旋轉(zhuǎn)到某個確定位置（只有一個公共點）而得到;三是“當點Pn趨近于點P時，割線PPn趨近于確定位置”，這個確定位置的直線并不排除它與曲線在其他地方還有另外的公共點的情況;四是揭示了割線在某點處的極限狀態(tài)就是切線，這為下文得出割線的斜率的極限（即導數(shù)）就是切線的斜率作了鋪墊，由此得出切線的幾何意義也就順理成章，學生自行歸納即可得到.

4. 對“以直代曲”思想的理解

接下來，教材提出“繼續(xù)觀察圖2，可以發(fā)現(xiàn)，在點P附近，PP2比PP1更貼近曲線f（x），PP3比PP2更貼近曲線f（x）……過點P的切線PT最貼近點P附近的曲線f（x）. 因此，在點P附近，曲線f（x）就可以用過點P的切線PT近似代替.” 然后教材以旁白的方式指出“我們用曲線上某點處的切線近似代替這一點附近的曲線，這是微積分中重要的思想方法——以直代曲.” 教材這樣編排設(shè)計，一是進一步讓學生理解曲線在該點處“附近”的變化率與瞬時變化率的近似關(guān)系;二是指明“以直代曲”的重要思想方法：曲線在某點附近的部分可以用過此點的切線近似代替，這為例1的解決作了鋪墊.但教材的這種設(shè)計，還不夠直觀和形象，這就為我們一線教師創(chuàng)設(shè)教材提供了機會，同時也提出了挑戰(zhàn).

5. 對例2、例3的理解

例2的設(shè)計，一是為了突出“以直代曲”思想的初步應(yīng)用. 為了比較曲線在某點附近的變化情況，只需作出過該點的切線來進行觀察比較，由曲線在某點處的切線的“走向”來分析曲線本身的“走向”;二是題目蘊涵了導數(shù)的正負與函數(shù)的單調(diào)性之間的對應(yīng)關(guān)系：導數(shù)在某點處大于零？圳曲線在該點附近上升？圳函數(shù)在該點附近單調(diào)遞增;導數(shù)在某點處小于零？圳曲線在該點附近下降？圳函數(shù)在該點附近單調(diào)遞減;三是題目蘊涵了曲線的變化快慢與切線的傾斜程度的內(nèi)在聯(lián)系：曲線在某點附近變化得越快，切線越陡，曲線在某點附近變化得越慢，切線越平緩;四是例題解答中“所以”的根據(jù)在幾何直觀上就是“以直代曲”，讓學生體會“用簡單對象刻畫復雜對象”的思想.

例3的作用主要有兩個：一是讓學生通過直觀操作進一步認識到導數(shù)和切線斜率之間的關(guān)系，二是例題中的表格為介紹導函數(shù)概念作鋪墊.

教學設(shè)計

1. 教法與學法設(shè)計

基于以上教材研讀，本節(jié)內(nèi)容宜采用問題串教學法，即教師通過“設(shè)計系列問題→教師引導、學生操作→教師演示→學生討論→合作探索→歸納總結(jié)”的方式來組織教學，力求使學生手、腦并用，有利于學生自主獲得結(jié)論，使教學過程更自然. 在學法設(shè)計方面，采取“教師引導，自主思考，參與探究，合作交流，達成共識”的方式進行，這樣更有利于學生自己發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，通過親身實踐、主動思維，經(jīng)歷不斷地從具體到抽象、從特殊到一般的抽象概括活動來理解和掌握數(shù)學知識. 具體教學時應(yīng)輔以學案，將學生活動環(huán)節(jié)的素材呈現(xiàn)在學案上，便于學生動手操作，親身體驗有關(guān)結(jié)論的獲取過程，初步了解一些科學研究與探索的方法.

2. 教學環(huán)節(jié)設(shè)計

第一環(huán)節(jié)：溫故知新，誘發(fā)思考

教師一方面通過引導學生回憶初中平面幾何中圓的切線與割線的定義，以及高中橢圓的切線的定義來提出問題. 另一方面輔以學案，在學案上畫出拋物線y2=4x及正弦曲線y=sinx的一部分圖象，在圖象上標注幾個適當?shù)狞c，要求學生作出過這些點的曲線的切線. 接下來，再設(shè)計圖2，讓學生在圖2中作出過點A的切線，并思考這條切線與割線l1的關(guān)系.

圖2

接下來是復習導數(shù)的定義，通過學生親自在學案上作圖來理解并說明平均變化率表示的含義，為導數(shù)幾何意義的引出再做鋪墊.

第二環(huán)節(jié)：實驗探究，合情推理

有了第一環(huán)節(jié)的層層鋪墊，教師再次設(shè)計學生活動：在圖3中作出過點P2，P3，P4，P5的割線，并注意觀察在點P1沿曲線逐漸向點P靠近的過程中，割線PPn的運動情況. 并提出需要學生思考的問題：在Pn無限逼近P的過程中，你能描述一下割線PPn的變化情況嗎？用這種方式得到的切線具有一般性嗎？你認為如何定義曲線的切線呢？

圖3

第三環(huán)節(jié)：歸納提煉，得出新知

教師提出問題：切線PT的斜率與割線PPn變化過程中的斜率有什么關(guān)系呢？然后引導學生自主思考，小組討論，代表發(fā)言.

這個環(huán)節(jié)是整個教學過程中的難點，教師應(yīng)引導學生在直觀認識的基礎(chǔ)上，學會用數(shù)學語言進行歸納概括;另一方面使學生體會“量變到質(zhì)變”的哲學思想. 導數(shù)幾何意義的得出是整個教學活動的重點，教師應(yīng)引導學生將數(shù)與形結(jié)合，將切線的斜率和導數(shù)（割線斜率的極限）相聯(lián)系，通過觀察、思考，自主獲得導數(shù)的幾何意義.

第四環(huán)節(jié)：學生活動，問題解決

在這一環(huán)節(jié)，教師提出問題：研究導數(shù)的幾何意義有什么作用？同時組織以下學生活動：請思考圖4中三幅圖的含義.

圖4

這樣設(shè)計，主要意圖是通過對點P附近圖象的逐步放大，讓學生體會到“某點附近的曲線可以用過此點的切線近似代替”這一“以直代曲”的數(shù)學思想方法，這種思想是微積分學中的重要思想方法.

第五環(huán)節(jié)：新知應(yīng)用，及時鞏固

這一環(huán)節(jié)主要是講解例1. 例1應(yīng)先組織學生交流討論，然后由學生代表回答，教師再歸納總結(jié). 教師應(yīng)引領(lǐng)學生對問題進行定性分析，在某點處由切線的“走向”分析曲線的“走向”，滲透“以直代曲”的數(shù)學思想. 例題講解后，要及時進行歸納小結(jié)，提煉規(guī)律，這樣才能使學生由“學會”邁向“會學”，才能學得深刻，悟得透徹.

第六環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)，回味悠長

數(shù)學課堂小結(jié)的設(shè)計，一般可從四個層面進行.一是知識層面：本節(jié)課你學到了哪些數(shù)學知識？二是方法層面：通過本節(jié)課的學習，你了解了哪些數(shù)學方法？三是思想層面：通過本節(jié)課的學習，你了解了哪些數(shù)學思想？四是課后思考層面：通過本節(jié)課的學習，你還想繼續(xù)探究什么？

結(jié)束語

以上教材研讀、旁白解讀及教學環(huán)節(jié)設(shè)計，是建立在對教材和課程標準的反復研讀、琢磨基礎(chǔ)之上的，既有宏觀層面的研讀，也有微觀層面的思考，尤其是對旁白的研讀，對教師實現(xiàn)三維目標有著舉足輕重的作用. 教師要用好教材，更要利用好旁白，這就需要對教材內(nèi)容進行潛心研讀. 行文數(shù)千字，但未免掛一漏萬，期待與同行探討.