陸建群

摘要：新課標(biāo)指出：“通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠獲得適應(yīng)未來(lái)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識(shí)（包括數(shù)學(xué)事實(shí)、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)）以及基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能”。本文從分類討論思想的概念和特點(diǎn)、引起分類討論的原因、分類討論的理論依據(jù)、解答分類討論型問(wèn)題的步驟以及分類討論思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用舉例等內(nèi)容展開(kāi)，比較系統(tǒng)、全面地介紹了分類討論思想。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想；分類討論；初中數(shù)學(xué)；應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2015）11-0115

在數(shù)學(xué)教學(xué)中有效地滲透、培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想方法，已逐漸成為數(shù)學(xué)課改的熱點(diǎn)。所謂數(shù)學(xué)思想，是指人們對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)研究的本質(zhì)及規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的精髓。初中階段常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想包括：函數(shù)與方程思想、化歸思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想等。其中，分類討論思想是初中數(shù)學(xué)中最常見(jiàn)、最重要的一種數(shù)學(xué)思想，它貫穿于整個(gè)初中數(shù)學(xué)，它有利于考查學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和靈活運(yùn)用能力。

一、分類討論思想的概念

分類討論思想是一種最基本的解決問(wèn)題的思維策略，就是把要研究的數(shù)學(xué)對(duì)象按照標(biāo)準(zhǔn)劃分為若干不同的類別，然后逐類進(jìn)行研究、求解的一種數(shù)學(xué)解題思想。它是問(wèn)題不能以統(tǒng)一的同一種方法處理或同一形式來(lái)表述、概括時(shí)，根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，再按照一定的原則或某一確定的標(biāo)準(zhǔn)，在比較的基礎(chǔ)上，將對(duì)象劃分為若干個(gè)既有聯(lián)系又有區(qū)別的部分，進(jìn)行逐類討論，最后把幾類結(jié)論匯總，從而得出問(wèn)題的答案。實(shí)質(zhì)上，分類討論是“化整為零，分而治之，各個(gè)擊破，再積零為整”的策略。

二、引起分類討論的原因

分類討論思想貫穿于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的全部?jī)?nèi)容中。初中階段數(shù)學(xué)運(yùn)用分類討論思想解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題，其引起分類的原因主要可以歸結(jié)為以下幾個(gè)方面：1. 概念本身是分類定義的。如絕對(duì)值等。2. 問(wèn)題中涉及的數(shù)學(xué)定理、公式或運(yùn)算性質(zhì)、法則是有條件或范圍是限制的，或者是分類給出的。3. 含有字母系數(shù)（參數(shù)）的問(wèn)題，有時(shí)需對(duì)該字母的不同取值范圍進(jìn)行討論。4. 某些不確定的數(shù)量、不確定的圖形的形狀或位置，不確定的結(jié)論等都要進(jìn)行分類討論。

三、分類討論的理論依據(jù)

邏輯劃分原則是：一是子項(xiàng)外延之和等于母項(xiàng)的外延；二是一個(gè)劃分過(guò)程只能有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)；三是劃分出的子項(xiàng)必須全部列出；四是劃分必須按屬種關(guān)系分層逐級(jí)進(jìn)行，不可以越級(jí)。

分類討論首先是分類，沒(méi)有正確的分類，就不可能有正確的討論，而分類本身是一種邏輯上的劃分。

劃分是揭示概念外延的邏輯方法，邏輯劃分原則是進(jìn)行邏輯劃分的依據(jù)，也是借以進(jìn)行分類的標(biāo)準(zhǔn)。

因此，弄清劃分的依據(jù)于規(guī)則是正確進(jìn)行分類討論的基礎(chǔ)。

劃分的規(guī)則：1. 劃分后各個(gè)子項(xiàng)應(yīng)當(dāng)互不相容（不重）。2. 劃分后各個(gè)子項(xiàng)必須窮盡母項(xiàng)（不漏）。3. 每次劃分都應(yīng)按同一標(biāo)準(zhǔn)。

劃分規(guī)則舉例：

規(guī)則1：劃分后各個(gè)子項(xiàng)應(yīng)當(dāng)互不相容（不重）。從集合的角度看，劃分后的子集兩兩交集均為空集。

例如：矩形、菱形、正方形都是平行四邊形，它們的關(guān)系如圖所示：

如果把平行四邊形分為矩形、菱形、正方形三類，這其中就有三處重疊（交集不空），不符合規(guī)則1。

規(guī)則2：劃分后各個(gè)子項(xiàng)必須窮盡母項(xiàng)（不漏）。從集合的角度看，劃分后所有的子集的并集應(yīng)該等于是全集。

例如：自然數(shù)可以分為奇數(shù)和偶數(shù)兩類。

如果把自然數(shù)分為素?cái)?shù)與合數(shù)兩類，就漏掉了自然數(shù)1，因?yàn)?既不是素?cái)?shù)也不是合數(shù)。

從集合的角度看，劃分后兩個(gè)的子集的并不等于全集，因此，這樣分類不符合規(guī)則2。

規(guī)則3：每次劃分都應(yīng)按同一標(biāo)準(zhǔn)。分類的標(biāo)準(zhǔn)直接影響到分類的結(jié)果，如果在一次分類中標(biāo)準(zhǔn)是變化的，那么這個(gè)分類就失去了意義。

例如：三角形可以如下分類：

如果把三角形分為等邊三角形、等腰三角形和直角三角形，就沒(méi)有按同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行劃分，不符合規(guī)則3。

四、解答分類討論型問(wèn)題的步驟

分類討論型問(wèn)題常與開(kāi)放探究型問(wèn)題綜合在一起，不論是在分類中探究，還是在探究中分類，都需要具備扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和靈活的思維方式，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行全面衡量、統(tǒng)籌兼顧，切忌以偏概全。解答分類討論型問(wèn)題的關(guān)鍵是要有分類討論的意識(shí)，克服想當(dāng)然的錯(cuò)誤習(xí)慣。

通常解答分類討論型問(wèn)題的一般步驟是：1. 確定分類對(duì)象。2. 對(duì)問(wèn)題中的某些條件進(jìn)行分類，要遵循同一標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行合理分類。（需理清分類的界限，選擇分類標(biāo)準(zhǔn)，并做到不重復(fù)，補(bǔ)遺漏）。3. 逐類進(jìn)行討論。（有時(shí)分類并不是一次完成，還須進(jìn)行逐級(jí)分類，對(duì)于不同級(jí)的分類，其分類標(biāo)準(zhǔn)不一定統(tǒng)一）。4. 對(duì)各類討論結(jié)果進(jìn)行歸納，并加以整合、歸納出結(jié)論。運(yùn)用分類討論思想解決問(wèn)題時(shí)要在確保正確的基礎(chǔ)上盡量減少分類，使問(wèn)題解決過(guò)程簡(jiǎn)潔化。

五、分類討論思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透與應(yīng)用舉例

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中處處都滲透著分類討論思想。運(yùn)用分類討論思想解題對(duì)學(xué)生的能力要求較高，除了在課堂教學(xué)中滲透、提煉外，還要有意識(shí)地增加平時(shí)運(yùn)用這一思想方法的機(jī)會(huì)，得到強(qiáng)化。克服分類討論中的盲目性和隨意性，提高學(xué)生綜合運(yùn)用此種數(shù)學(xué)思想解題的能力。

課本內(nèi)容中處處隱含分類思想方法的教學(xué)內(nèi)容：有理數(shù)的分類、相反數(shù)、絕對(duì)值、有理數(shù)的大小比較、有理數(shù)的運(yùn)算法則、平方根、立方根、分式的加減、一元二次方程的解、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖像性質(zhì)、圖形的分類、線的分類、面的分類、角的分類、三角形全等的性質(zhì)及判定、等腰三角形邊和角計(jì)算、勾股定理的應(yīng)用、弦、弧的分類、與圓有關(guān)的位置關(guān)系、圓周角定理、相似三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系、三角形外心的位置……

下面，筆者簡(jiǎn)單例舉幾類運(yùn)用分類討論思想來(lái)解答的題型。

1. 涉及的代數(shù)式或函數(shù)或方程中，根據(jù)字母不同的取值情況，分別在不同的取值范圍內(nèi)討論解決問(wèn)題。

例1. |x|=3，|y|=1，且xy<0，則x+y的值等于（ ）

A. 4或-4 B. 4或-2 C. 4或2 D. 2或-2

分析：有xy<0得x、y異號(hào)，可以分兩種情況討論。

答案：D

2. 幾何圖形中的分類討論則更多

例如，從幾何圖形的點(diǎn)和線出現(xiàn)不同的位置進(jìn)行分類討論解決的問(wèn)題。

例2. 已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，△ACD是有一個(gè)角為30°的直角三角形?！鰽BC和△ACD拼成一個(gè)凸四邊形ABCD。

（1）畫(huà)出四邊形ABCD；

（2）求四邊形ABCD的面積。

分析：有一個(gè)角為30°的直角三角形ACD中我們可以把AC作為斜邊、AC作為直角邊二類情況來(lái)研究。如圖1是以AC為斜邊和等邊三角形ABC拼成的四邊形ABCD。AC為直角邊又可分為兩種不同情況如圖2和圖3。

從圖3，S四邊形ABCD= ；從圖4（圖4略），可算S四邊形ABCD=

從圖5（圖5略），添輔助線，過(guò)B作BEDC交DC的延長(zhǎng)線于E，可算得：

S四邊形ABCD=3

又如：等腰三角形的分類討論。等腰三角形中，對(duì)給出的邊可能是腰，也可能是底邊，所以我們要進(jìn)行分類討論；給出的一個(gè)角可能指底角，也可能指頂角，所以必須分情況討論。還有直角三角形中，直角邊和斜邊不明確時(shí)需要分類討論，相似三角形的對(duì)應(yīng)角（或邊）不確定而進(jìn)行的分類，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的分類討論……幾何題型中，分類討論無(wú)處不在。

3. 分類思想在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用

例3. 有一個(gè)鋼筋三角架的三邊分別是20cm、50cm、60cm，現(xiàn)要再做一個(gè)與其相似的鋼筋三角架，而只有長(zhǎng)為30cm、50cm的兩根鋼筋，要求以其中一根為一邊，從另一根上截下的兩段（允許有余料）作為兩邊，則不同的截法有 種。

分析：由題意及三角形三邊關(guān)系知，長(zhǎng)為30cm、50cm的兩根鋼筋中，30cm的鋼筋必為欲做的鋼筋三角架的一邊，不妨設(shè)從50cm的鋼筋上截下兩段長(zhǎng)為xcm、ycm，且x>y，應(yīng)分三種情況討論之：（1）若 = = 時(shí)，得x=90，y=75，顯然x+y=165>50，不符合題意。

（2）若 = = 時(shí)，得x=36，y=12，因?yàn)閤+y=48<50，這種截法符合題意。

（3）若 = = 時(shí)，得x=25，y=10，因?yàn)閤+y=35<50，這種截法符合題意。

綜上可知，可有兩種不同的截法。

從以上的例題中不難看出，分類討論思想在初中數(shù)學(xué)練習(xí)的應(yīng)用中占有很重要的地位。它能讓我們?cè)诮忸}過(guò)程中化繁就簡(jiǎn)、化難為易，使思維有序、有條理、全面而又縝密。

六、初中階段分類思想方法教學(xué)過(guò)程的幾點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)總結(jié)

1. 抓準(zhǔn)時(shí)機(jī)，滲透分類的思想方法。（1）在概念的學(xué)習(xí)中，滲透分類的思想。（2）在法則的探究中，滲透分類的方法。（3）在圖形的求解中，滲透分類的意識(shí)。

2. 啟發(fā)誘導(dǎo)，揭示分類思想方法的本質(zhì)。（1）根據(jù)問(wèn)題的需要，進(jìn)行分類。（2）分類要有明確的標(biāo)準(zhǔn)。

3. 深化提高，運(yùn)用分類的思想方法研究問(wèn)題。（1）根據(jù)字母的取值范圍分類。（2）根據(jù)幾何圖形的位置關(guān)系分類。

我們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的同時(shí)要不斷積累數(shù)學(xué)知識(shí)，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，領(lǐng)悟其中蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中的數(shù)學(xué)思想方法，以提高學(xué)生自身的數(shù)學(xué)解題能力。所以，在教學(xué)中要對(duì)分類討論思想，有意識(shí)地加以滲透；對(duì)于蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)中的思想適時(shí)予以揭示，反復(fù)強(qiáng)化以優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)。分類討論思想不僅能幫助學(xué)生有效地解決問(wèn)題，同時(shí)還可以培養(yǎng)觀察能力、全面思考問(wèn)題的能力。相信會(huì)使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)在認(rèn)識(shí)層次上得到極大的提高，教師也能收到事半功倍的教學(xué)成效。

（作者單位：浙江省寧波市鄞州區(qū)高橋鎮(zhèn)中學(xué) 315100）