王沈彬

【摘要】 本文從學(xué)生的問題出發(fā)，組織學(xué)生深入探討研究，一系列新穎的結(jié)論、巧妙的方法，令人耳目一新。本文的研究為我們在學(xué)科內(nèi)開展“研究性學(xué)習(xí)”提供了一個良好的素材，也為我們?nèi)绾卧趯W(xué)科內(nèi)挖掘“研究性學(xué)習(xí)”的素材提供了一個范例。用向量去研究直線有關(guān)問題，并不新鮮，但是把直線方程用向量的數(shù)量積形式表示，教科書及各類資料均沒有。根據(jù)學(xué)生的問題，深入探究發(fā)現(xiàn)，一條直線可以用它的法向量和原點到直線的距離來確定（課本上用點和斜率或兩點來確定），即直線的數(shù)量積形式，運用直線的數(shù)量積形式，點到直線的距離有了簡潔獨特的證法。很多涉及到距離有關(guān)問題，可以用直線的數(shù)量積形式解決。

【關(guān)鍵詞】 研究性學(xué)習(xí) 直線方程 數(shù)量積

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2015）04-007-01

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“研究性學(xué)習(xí)”越來越被中學(xué)所重視，研究性學(xué)習(xí)可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生分析問題解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生不斷進取勇于探究的精神。很多學(xué)校專門開設(shè)了“研究性學(xué)習(xí)”的課程，指導(dǎo)學(xué)生如何選課題，如何研究，有哪些方法和步驟。教學(xué)過程中，教師一般指導(dǎo)學(xué)生自己去尋找課題，對自己身邊的生活現(xiàn)象、社會熱點、歷史文化等等，選取一個問題進行研究。但學(xué)科內(nèi)“研究性學(xué)習(xí)”卻很難開展，原因一：教學(xué)任務(wù)重時間緊，沒有時間讓學(xué)生去探索和研究；原因二：教學(xué)內(nèi)容中很難找到合適的問題讓學(xué)生研究。筆者認為，課堂教學(xué)和“研究性學(xué)習(xí)”是相輔相成的，教師應(yīng)在教學(xué)過程中滲透“研究性學(xué)習(xí)”的思想和方法，培養(yǎng)學(xué)生自主探究的習(xí)慣。特別注意在學(xué)生的問題中挖掘“研究性學(xué)習(xí)”的素材。筆者在教學(xué)過程中做過一些嘗試。并取得了良好的效果。

筆者在教學(xué)過程中， 有學(xué)生問這樣一道題目：已知點A（2，-1）和點P（x，y），O坐標原點，點P滿足條件x+y-2≥0

x-y+2≥0

x≤2 ，求OA·OP的最大值和最小值？這道題不難，OA=（2，-1），OP=（x，y），向量的數(shù)量積OA·OP=2x-y，令z=2x-y，則-z是直線y=2x-z的截距。提示了一下，學(xué)生也就做出來了。由于本題中2x-y=OA·OP，學(xué)生接下來又提出了一個問題：直線方程ax+by+c=0是不是可以用向量（a，b）和（x，y）的數(shù)量積表示為（a，b）·（x，y）+c=0呢？ 我們知道，已知直線l的法向量（a，b）和直線上一點P（x0，y0），直線方程可表示為：a（x-x0）+b（y-y0）=0 （直線的法向量和方向向量的數(shù)量積為0） ，即直線的點法式方程。 將直線寫成（a，b）·（x，y）+c=0的形式其本質(zhì)上好像與直線的點法式是一致的，但是它們確定直線的方法不一樣，直線的點法式，確定直線的方法是直線上一點P（x0，y0），和直線的法向量（a，b），而直線（a，b）·（x，y）+c=0確定直線的方法是直線的法向量（a，b）和常數(shù)c，那么常數(shù)c肯定有它的幾何意義。于是我跟學(xué)生說，你把直線方程寫成這種形式很新穎，寫成這種形式究竟有怎樣的意義呢？我們可以花點時間把它作為一個問題來研究。

例1.已知點A（2，-1）和點P（x，y），O坐標原點，點P滿足條件x+y-2≥0

x-y+2≥0

x≤2 ，求OA·OP的最大值和最小值？

解答：

約束條件x + y - 2 ≥ 0

x - y + 2 ≥ 0

x ≤ 2的可行域

如圖1.OA·OP=2x-y=5（25x-15y）

由點到直線的距離公式可知：對于任意的點M（x0，y0） ，25x0-15y0為點M到直線25x-15y=0的距離。所以只需將A、B、C三點坐標代入5（25x-15y），即可得出OA·OP的最大值與最小值 。以前我們的做法是，令z=2x-y，則-z是直線y=2x-z的截距，轉(zhuǎn)化為求截距的最大值和最小值。

結(jié)束語

根據(jù)學(xué)生的問題，教師敏感地捕捉到一個“研究性學(xué)習(xí)”的素材，組織學(xué)生通過一個學(xué)期的合作探究，收獲滿滿。探究是艱辛的，也是快樂的。它拓寬了學(xué)生的眼界，提高了學(xué)生的能力，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。雖然很多的問題都是在老師的啟發(fā)和引導(dǎo)下開展完成的，但是這種自主研究的學(xué)習(xí)模式，可以突破課本和課堂的限制，可以延續(xù)到課外很多學(xué)生感興趣的問題，很有積極意義。

作為教師應(yīng)改變觀念，適應(yīng)時代潮流，學(xué)習(xí)新的教學(xué)方法，新的教學(xué)理念，在教學(xué)過程中滲透“研究性學(xué)習(xí)”的思想， 面對學(xué)生的問題，要有積極鼓勵的心態(tài)，挖掘?qū)W生閃光的思想， 積極倡導(dǎo)學(xué)生合作探究的精神。教師應(yīng)努力在學(xué)生的問題中尋找“研究性學(xué)習(xí)”的素材，積極組織學(xué)生合作探究，從學(xué)生中來，到學(xué)生中去，讓學(xué)生的“研究性學(xué)習(xí)”充滿激情和樂趣。