朱進(jìn)紅

[摘 要] 數(shù)學(xué)解題是數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用的重要環(huán)節(jié)，數(shù)學(xué)解題后即時(shí)進(jìn)行反思可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平. 反思品質(zhì)是衡量學(xué)生反思能力與效益的重要指標(biāo).研究表明，反思品質(zhì)與學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)思維能力（建模能力）以及數(shù)學(xué)概括能力有關(guān). 提升學(xué)生的反思品質(zhì)，可以從這三個(gè)維度進(jìn)行：注意時(shí)效性，加強(qiáng)引導(dǎo)，注重方法的運(yùn)用.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)解題；反思品質(zhì)

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中最為常規(guī)的知識(shí)應(yīng)用就是數(shù)學(xué)解題，作為當(dāng)前衡量教學(xué)質(zhì)量的最直接的手段，學(xué)生的解題能力得到了所有教師的關(guān)注，提升學(xué)生的解題能力也成為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重. 通常情況下，教師關(guān)注得更多的是自身的教學(xué)，即都會(huì)思考如何通過改善自身的教學(xué)來實(shí)現(xiàn)學(xué)生解題能力的提高，這一思路顯然是正確的；但與此同時(shí)也要看到，這并非唯一的思路，甚至不是最重要的思路. 要真正提高學(xué)生的解題能力，還得從學(xué)生自身入手. 美國(guó)著名的教育學(xué)者波斯納曾經(jīng)給教師的成長(zhǎng)提出過一個(gè)途徑，即實(shí)踐加反思，就可以實(shí)現(xiàn)專業(yè)成長(zhǎng). 事實(shí)上，在筆者看來，對(duì)于學(xué)生而言，解題能力的提升也可以遵循這一路徑. 也就是說，如果把學(xué)生的解題看作一種實(shí)踐的話，那學(xué)生的反思對(duì)于提升學(xué)生的解題能力就十分重要了. 也因?yàn)檫@個(gè)原因，培養(yǎng)學(xué)生解題后的反思品質(zhì)就成為一個(gè)重要的研究對(duì)象.

初中數(shù)學(xué)解題后反思品質(zhì)之簡(jiǎn)述

反思是發(fā)生在學(xué)生解題之后的，此時(shí)學(xué)生已經(jīng)經(jīng)過了一個(gè)綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去分析并解決數(shù)學(xué)問題的過程. 一般情況下，解題后的反思有兩個(gè)階段：一是解題后的即時(shí)反思，此時(shí)學(xué)生雖然說已經(jīng)完成了解題過程，但是還沒有經(jīng)過他人的提醒或者是點(diǎn)撥，完全是基于原有的解題思路進(jìn)行深入的思考. 此時(shí)思考的重點(diǎn)一般是原有解題過程是否存在不足的地方，是否有著其他的解題方法等；另一種情況是教師講解后的反思，這個(gè)時(shí)候?qū)W生的反思更多的帶有他人（主要是教師）的解題觀點(diǎn)，此反思過程中學(xué)生的思路與教師的講授思路并進(jìn)，高效的反思常常能夠讓學(xué)生在兩種思路的碰撞中有所收獲. 當(dāng)然，如果不是教師講解而是小組合作，則學(xué)生的反思心理過程與此也是類似的.

這里可以先舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，在教授方程的時(shí)候給學(xué)生展示了這樣的一個(gè)等式：（x+y+5）（x+y-4）=0，求（x+y）的值. 在初中學(xué)生第一次遇此問題的時(shí)候，相當(dāng)一部分學(xué)生往往會(huì)將這一等式轉(zhuǎn)換成x+y+5=0與x+y-4=0組成的方程組，然后通過二元一次方程組的加減消元法去分別求出x和y的值，然后再進(jìn)一步求出x+y的值. 在學(xué)生順利得出結(jié)果之后，筆者并沒有急著去給出更好的方法，而是讓學(xué)生就著原有的解題思路進(jìn)行反思. 也許是學(xué)生看出了題目較簡(jiǎn)單但教師還給出這么長(zhǎng)時(shí)間思考的“怪異”，他們開始反思自己的解題過程. 其中，有部分學(xué)生認(rèn)為自己的解題過程完美而放棄了繼續(xù)思考；也有學(xué)生有一種深究的心理，最后他們發(fā)現(xiàn)原來本題還有更好的解法，那就是將x+y視作一個(gè)整體，可以直接求出最終的結(jié)果為-5或者4.

顯然，在此過程中可以看得出學(xué)生的反思品質(zhì)有所不同，而作為數(shù)學(xué)教學(xué)語境之下的反思品質(zhì)，實(shí)際上就是根據(jù)學(xué)生的反思結(jié)果來得到反饋與驗(yàn)證的. 從這個(gè)角度講，初中學(xué)生在數(shù)學(xué)解題之后的反思品質(zhì)一般與這樣的幾個(gè)因素有關(guān)：一個(gè)是學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu). 認(rèn)知結(jié)構(gòu)不同于知識(shí)結(jié)構(gòu)，后者是客觀的，而前者是主觀的. 認(rèn)知結(jié)構(gòu)能夠反映一個(gè)學(xué)生的知識(shí)建構(gòu)情況，而知識(shí)建構(gòu)的過程與運(yùn)用知識(shí)解題的過程往往有相通的地方，因此認(rèn)知結(jié)構(gòu)常常直接影響著解題后的反思品質(zhì). 二是學(xué)生的數(shù)學(xué)思維. 數(shù)學(xué)解題歸根到底是數(shù)學(xué)思維的產(chǎn)物，數(shù)學(xué)思維的水平高低往往對(duì)反思品質(zhì)也有著直接的影響. 其中發(fā)散性思維對(duì)于反思品質(zhì)的影響最為直接. 三是學(xué)生的概括能力. 概括能力是反思品質(zhì)的關(guān)鍵因素，基于分析去進(jìn)行概括，也是學(xué)生經(jīng)過反思之后有沒有質(zhì)的提高的關(guān)鍵所在.

下面分別就這幾個(gè)影響因素，談?wù)勅绾翁岣邔W(xué)生解題后的反思品質(zhì).

提升解題后反思品質(zhì)的有效途徑

一個(gè)基本的邏輯關(guān)系是，在解題之后即時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，是最為有效的提升學(xué)生反思品質(zhì)的關(guān)鍵. 通常的數(shù)學(xué)新授課上需要有這樣的過程，而階段性考試或者期末、期終考試之后，也應(yīng)當(dāng)在第一時(shí)間進(jìn)行試題的講評(píng)，以充分利用學(xué)生記憶中的解題思路，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的反思品質(zhì).

接著上面一點(diǎn)的分析，首先來談?wù)勅绾位谡J(rèn)知結(jié)構(gòu)提升學(xué)生的反思品質(zhì). 同樣來看一個(gè)例子，有人曾經(jīng)設(shè)計(jì)過這樣一道題目：已知x2+x=1，求x3+2x2+999的值. 筆者在將本題提供給學(xué)生之后，學(xué)生的第一反應(yīng)是先根據(jù)x2+x=1求出x的值，然后將x的值代入x3+2x2+999中求結(jié)果. 筆者沒有阻止學(xué)生的這一思維，而是給時(shí)間讓他們?nèi)ミM(jìn)行嘗試. 結(jié)果并不出乎意料，很多學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩步求解時(shí)都有計(jì)算上的困難. 由于是習(xí)題課，因此學(xué)生相對(duì)還是比較自由的，在有學(xué)生抬頭看到筆者似笑非笑的時(shí)候，他們心中有所悟，于是低頭重新進(jìn)行思考；而有的學(xué)生則鍥而不舍，終于花大力氣求出了最后的結(jié)果；當(dāng)然，也有的學(xué)生害怕計(jì)算困難，同時(shí)又想不出新的辦法，坐在那兒束手無策. 思考這樣的過程會(huì)發(fā)現(xiàn)，其實(shí)不同類型的學(xué)生背后都有著不同的認(rèn)知結(jié)構(gòu). 第一類學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)豐富，因而可以迅速、順利地實(shí)現(xiàn)不同結(jié)構(gòu)之間的轉(zhuǎn)換，在他們的眼中，解方程時(shí)的未知數(shù)并不局限于某個(gè)具體的未知數(shù)，也有可能是x2+x這樣的整體；相比較而言，第二類學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)就比較單一，而第三類學(xué)生不僅認(rèn)知結(jié)構(gòu)單一，思維方式和解題態(tài)度還存在問題. 因此，教師要提升學(xué)生的反思品質(zhì)，首先就是要豐富學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，尤其是在新授課的教學(xué)中，要特別強(qiáng)調(diào)知識(shí)的廣泛性與多元性，要通過多樣的例題來拓展學(xué)生的解題視角.

就數(shù)學(xué)思維這一因素而言，基于其來提高學(xué)生的反思品質(zhì)，關(guān)鍵還在于數(shù)學(xué)思想的顯性化教學(xué)與數(shù)學(xué)模型的建立. 比如上面所舉的例子當(dāng)中，實(shí)際上關(guān)鍵在于將x3+2x2+999轉(zhuǎn)換成x3+x2+x2+x-x+999，進(jìn)而轉(zhuǎn)換成x3+x2-x+x2+x +999，于是就可以得到x[x2+x-1]+（x2+x）+999，轉(zhuǎn)換至此，答案就基本上出來了. 這樣的轉(zhuǎn)換需要的是什么？在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思的過程，學(xué)生會(huì)自然將這一思路與原有的思路進(jìn)行比較，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)如果大腦中的未知數(shù)只有x這一個(gè)形象，那解題時(shí)自然就會(huì)想著去解x；而如果大腦中的未知數(shù)的形象是多樣的，那就有可能將x2+x視作一個(gè)整體. 問題在于，這樣的認(rèn)識(shí)如何形成？如果由教師來講授，效果不會(huì)好，因?yàn)閷W(xué)生沒有經(jīng)過內(nèi)化的心路歷程. 因此，反思是最好的方法，教師在其中應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)：原來所建立的關(guān)于方程的認(rèn)識(shí)中的未知數(shù)可有著多重表現(xiàn)！同樣，這也是一個(gè)數(shù)學(xué)建模的過程，只有建立了廣泛且有效的未知數(shù)模型之后，學(xué)生在遇到類似問題的時(shí)候，才會(huì)更順利地實(shí)現(xiàn)解題.

至于數(shù)學(xué)概括能力. 有專家指出，概括能力是最能夠反映學(xué)生學(xué)習(xí)能力的一個(gè)因素，反思的過程與概括的過程幾乎是同步的，只有在反思的過程中不斷地概括，反思品質(zhì)才會(huì)真正得到提高. 比如說，在中考數(shù)學(xué)中復(fù)習(xí)二次函數(shù)，自然就會(huì)提到二元一次方程組，通常情況下教師都會(huì)主動(dòng)地給學(xué)生辨析兩者之間的關(guān)系；而在一次復(fù)習(xí)過程中，筆者做了這樣的一個(gè)嘗試：分別給出二次函數(shù)和二元一次方程組的例題，讓學(xué)生分別去求解. 這兩道題目不需要復(fù)雜，關(guān)鍵在于讓大多數(shù)學(xué)生在解題過程中能夠復(fù)習(xí)到兩者的基本知識(shí). 在解完之后，筆者讓學(xué)生對(duì)兩題進(jìn)行對(duì)比，然后反思如何有效地分辨這兩種類型的題目，這是一段反思的過程. 反思的具體方法就是比較，比較是初中學(xué)生最常見的思維方法，也正是在比較的過程中，學(xué)生概括出了二次函數(shù)與二元一次方程的異同點(diǎn)，從而很好地將兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系在一起，這對(duì)于鞏固學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)又起到了好處，也就是說從幾個(gè)角度提升了反思的品質(zhì).

解題后反思品質(zhì)提升的三點(diǎn)注意

提升解題后的思維品質(zhì)，作為類似于專業(yè)成長(zhǎng)的過程，其對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力的提升意義不言而喻. 而根據(jù)筆者的研究發(fā)現(xiàn)，要提升學(xué)生的反思品質(zhì)，還需要注意以下三個(gè)方面：

一是要趁熱打鐵. 解題結(jié)束之后是學(xué)生的思維最為活躍的時(shí)期，也是學(xué)生解題思路最為清晰的時(shí)期，利用這個(gè)時(shí)間引導(dǎo)學(xué)生積極反思而不是急著做下一道題目，可以很好地在學(xué)生熱絡(luò)思維的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)反思.

二是要注意反思方法的運(yùn)用. 事實(shí)證明，很多初中學(xué)生不知道如何有效地進(jìn)行反思，很多時(shí)候給出思路，他們也一無所獲，關(guān)鍵原因在于他們?nèi)鄙俜此嫉木唧w方法. 像上面第二點(diǎn)給出的比較的方法，就是很好的反思途徑. 如果教師能夠同時(shí)提供可比較的試題，以讓學(xué)生在解題過程中發(fā)現(xiàn)兩者似乎有相似之處，然后通過反思再去自主發(fā)現(xiàn)相似之處，進(jìn)而尋找出不同之處，那對(duì)于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力來說，極為有益.

三是教師注意引導(dǎo). 反思固然是學(xué)生自己的事情，但是學(xué)生畢竟是學(xué)生，他們的思維能力有時(shí)還不是很強(qiáng)，這個(gè)時(shí)候就需要教師去引導(dǎo). 反思過程中的引導(dǎo)只要做到不越俎代皰，就能夠保證學(xué)生自主性的發(fā)揮，就能夠提升學(xué)生的反思品質(zhì). 反思品質(zhì)說白了就是學(xué)生的反思能力，只不過這種能力的提升與時(shí)間之比必須能夠跟得上數(shù)學(xué)教學(xué)的節(jié)奏，如是，則認(rèn)為反思品質(zhì)為佳.

初中數(shù)學(xué)是培養(yǎng)思維的學(xué)科，反思品質(zhì)是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要維度，在解題之后培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，可謂是抓住了數(shù)學(xué)教學(xué)的要害，值得堅(jiān)持.