胡毅

[摘? 要] 課堂討論是教學(xué)中常用的手段，但是往往會漫無邊際、離題較遠、浮于表面，高效、有序的課堂討論可以幫助學(xué)生理清思維. 為了達到這個目的，教學(xué)過程中的課堂討論環(huán)節(jié)必須注意通過學(xué)生思維的發(fā)展過程引領(lǐng)討論的發(fā)展，學(xué)習(xí)單作為思維的媒介，在討論中起到了重要作用.

[關(guān)鍵詞] 課堂討論;數(shù)學(xué)思維;研究性學(xué)習(xí)

課堂討論是常見的教學(xué)環(huán)節(jié)，在教學(xué)中開放性的討論有助學(xué)生的思維發(fā)展. 一方面，通過討論，學(xué)生需要將理解的數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)知識準確、有序地表達出來，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)語言運用能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維;另一方面，討論幫助學(xué)生從口頭表述數(shù)學(xué)，也有助學(xué)生多元智能的發(fā)展，在課堂討論所形成的頭腦風(fēng)暴中，學(xué)生更容易擦出思維的火花.

但在有些課堂討論中，會出現(xiàn)漫無邊際、離題較遠的情況，或者討論不深入，浮于表面，不能抓住所研究課題的要害. 這些低效或者無效的課堂討論一方面反映了思維的低效或無序，一方面又阻礙了思維的進一步發(fā)展. 如何通過高效、有序的課堂討論幫助學(xué)生理清思維，互通有無，相互提升，成為課堂討論環(huán)節(jié)在教學(xué)中成敗的關(guān)鍵.

本文以校本數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)課題“y=f（x）的倒數(shù)函數(shù)y= 的圖像與性質(zhì)的研究”為載體，探索在研究性學(xué)習(xí)的教學(xué)過程中提高討論效率的方法和策略.

學(xué)情分析與教學(xué)任務(wù)

高一年級的學(xué)生在第一學(xué)期已經(jīng)系統(tǒng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容，但總體來說，學(xué)生對于函數(shù)的學(xué)習(xí)仍然停留在對教材、教師明確給出的問題的解答上，所研究的函數(shù)也往往是明確給出的函數(shù)，學(xué)生對于如何通過自主構(gòu)造函數(shù)，從特殊到一般歸納一類新的函數(shù)性質(zhì)的創(chuàng)新性學(xué)習(xí)體驗較少.

為此，在函數(shù)章節(jié)學(xué)習(xí)之后，設(shè)計了研究性學(xué)習(xí)課題“y=f（x）的倒數(shù)函數(shù)y= 的圖像與性質(zhì)的研究”，主要的研究方法是實驗法，通過控制變量的方式探索并總結(jié)圖像的一般規(guī)律，主要的研究工具是圖形計算器或作圖軟件. 對于初次在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中接觸數(shù)學(xué)實驗的學(xué)生，本課題的難點有兩個：一是如何設(shè)計實驗方案，包括函數(shù)的設(shè)計和控制變量的設(shè)計;二是如何從相關(guān)圖像中歸納、驗證規(guī)律，從而發(fā)現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì).

課堂討論環(huán)節(jié)的確立

針對本課題中設(shè)計實驗方案和歸納、驗證規(guī)律兩個難點，在教學(xué)過程中設(shè)計了兩次學(xué)生討論環(huán)節(jié).

第一次是討論函數(shù)中變量的控制，探究從相關(guān)圖像中總結(jié)出的圖像變換的規(guī)律. 在教師對函數(shù)y=x2-1和y= 的作圖演示結(jié)束后，教師要求學(xué)生對結(jié)論進行推廣，研究在一般情況下y=f（x）的倒數(shù)函數(shù)y= 具有哪些性質(zhì). 學(xué)生在選擇函數(shù)類型后，討論選擇函數(shù)解析式中哪些是需要變換的變量，并討論對這些變量如何賦值. 各小組將具體函數(shù)和相應(yīng)的函數(shù)圖像填寫在學(xué)習(xí)單中，并利用投影儀進行交流.

第二次是根據(jù)具體函數(shù)的圖像，對y=f（x）與y= 圖像變化的規(guī)律進行總結(jié)，每位學(xué)生將自己總結(jié)的性質(zhì)填寫在學(xué)習(xí)單的相應(yīng)位置，然后進行小組內(nèi)部的交流. 在小組內(nèi)的總結(jié)和交流結(jié)束后，各小組輪流上臺，每次交流一條自己總結(jié)的性質(zhì)，并進行證明;其他小組可以對研究方法和結(jié)論進行補充和評價，也可以舉出反例進行反駁. 最后學(xué)生和教師歸納數(shù)學(xué)實驗中變量控制的研究方法的要點.

學(xué)習(xí)單的設(shè)計

學(xué)習(xí)單作為研究性學(xué)習(xí)過程中的文本記錄工具，一方面可以在記錄學(xué)生自主研究的內(nèi)容和中間結(jié)果，以學(xué)生的思維過程引領(lǐng)討論的開展，確保每位學(xué)生言之有物，不會跑題或者無話可講;另一方面可以記錄學(xué)生在相互討論交流的過程中的相關(guān)信息，相互補充思考中不完善、不全面的地方，促進思維的發(fā)展.

本課題的學(xué)習(xí)單由“自主研究”“小組交流”“歸納驗證”“發(fā)言提綱”“交流評價”“自我評價”六個部分組成.

教學(xué)過程

1. 情境創(chuàng)設(shè)

教師活動：復(fù)習(xí)函數(shù)圖像變換的知識，用描點法畫出y=x2-1的圖像，并引導(dǎo)學(xué)生思考能否從已知函數(shù)出發(fā)畫出y= 的草圖.

學(xué)生活動：從實例出發(fā)，了解課題的意義.

設(shè)計意圖：從已知引入未知，增加學(xué)習(xí)的興趣.

2. 提出課題

教師活動：（1）猜測：展示y=x2-1和y= 的圖像，猜測兩個函數(shù)圖像之間存在的關(guān)系.

（2）證明：說明上述猜測的真?zhèn)危右宰C明.

（3）推廣：一般地，y=f（x）的倒數(shù)函數(shù)y= 有哪些性質(zhì)？

學(xué)生活動：在教師的引領(lǐng)下，通過對范例的學(xué)習(xí)，了解從函數(shù)圖像研究函數(shù)性質(zhì)的一般模式，學(xué)習(xí)從“特殊到一般”的歸納方法.

設(shè)計意圖：通過教師的示范，學(xué)生對通過函數(shù)圖像研究、歸納函數(shù)性質(zhì)的方法增進了解，為后續(xù)的探究打下基礎(chǔ).

3. 組織學(xué)生進行第一次研究和討論

教師活動：（1）確定特殊函數(shù)：請各組確定研究的函數(shù)，可選一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和相關(guān)的復(fù)合函數(shù)，盡可能選取不同類型的函數(shù);確定函數(shù)解析式的表達形式，比如選取二次函數(shù)的小組，是以y=ax2+bx+c的形式進行研究還是以y=a（x-h）2+b的形式進行研究？選取的理由是什么？

（2）確定研究變量，比如在y=a（x-h）2+b中，固定哪兩個參數(shù)，對準備變換的參數(shù)賦值哪些可以畫出所有具有代表性的函數(shù)圖像？

學(xué)生活動：（1）小組確定本小組研究的函數(shù)類型，在學(xué)習(xí)單上加以記錄，并說明選擇的理由. （2）小組成員確定控制變量和變量的具體值，并在小組內(nèi)結(jié)合圖像說明理由.

設(shè)計意圖：教師可以首先請學(xué)生自行選擇研究的函數(shù)類型，并將選擇相近類型函數(shù)的學(xué)生分為一組，以利于后續(xù)的討論. 在分組時盡量遵循“組內(nèi)同質(zhì)，組間異質(zhì)”的原則，并以函數(shù)名稱命名小組，指導(dǎo)小組成員選出小組長引導(dǎo)討論，并對討論的過程和內(nèi)容提出要求. 對學(xué)習(xí)單的填寫進行指導(dǎo)，確保學(xué)生能夠在學(xué)習(xí)單上反映出思維的過程.

4. 組織學(xué)生進行第二次研究和討論

教師活動：（1）記錄、觀察和歸納：通過圖形計算器畫出函數(shù)的圖像，加以記錄，并從定義域、奇偶性、單調(diào)性、值域、圖像所在區(qū)域等方面歸納可能的性質(zhì).

（2）驗證猜想：指導(dǎo)學(xué)生通過小組討論排除錯誤的猜想，驗證正確的結(jié)論.

（3）小組間介紹：請各小組代表從一個方面介紹本小組的研究過程和研究成果，包括研究了哪些具體函數(shù)、歸納的猜想、排除錯誤猜想的結(jié)論和依據(jù)、正確猜想的證明.

（4）小組評價：請其他小組進行補充和評價.

學(xué)生活動：（1）通過觀察和選擇，在學(xué)習(xí)單上記錄最后能夠較為準確說明性質(zhì)的若干組函數(shù)圖像，并歸納相關(guān)性質(zhì)，嘗試證明.

（2）小組輪流發(fā)言，介紹發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)和用于驗證的函數(shù)圖像.

（3）小組間互為補充和評價.

設(shè)計意圖：（1）通過填寫自己的學(xué)習(xí)單，每位學(xué)生都有獨立思考、獨立探究的機會;通過交流，每位學(xué)生在小組中都能得到表現(xiàn)的機會，這樣的以“獨立探究”為基礎(chǔ)的小組討論和合作，能使每位學(xué)生既有自己的學(xué)習(xí)空間，又能在合作中避免少數(shù)學(xué)生“一言堂”，多數(shù)學(xué)生主動性不夠的情況出現(xiàn). （2）小組輪流發(fā)言，既能確保每個小組都有發(fā)言的機會，又能形成一定的競爭，使課堂氣氛更為活躍.

5. 小結(jié)

教師活動：（1）總結(jié)：學(xué)生和教師共同總結(jié)研究的方法和思路.

（2）作業(yè)布置：反思研究過程，思考進一步的課題.

學(xué)生活動：函數(shù)中應(yīng)用變量控制法時應(yīng)注意每個控制變量對圖像變換的作用是單一清晰的.

設(shè)計意圖：評價和總結(jié)是提升學(xué)生思維層次的重要環(huán)節(jié)，既要對研究的結(jié)論進行總結(jié)，也要對研究的方法和過程進行總結(jié).

總結(jié)

課堂討論是基于學(xué)生獨立思考的基礎(chǔ)上展開的，同時對學(xué)生的思維品質(zhì)又具有重要的提升作用. 本節(jié)課通過兩次學(xué)生討論幫助學(xué)生體驗數(shù)學(xué)實驗中“控制變量”的研究方法，進行“從特殊到一般”的不完全歸納法的探究過程. 由于有學(xué)習(xí)單作為思維的腳手架和討論的框架，學(xué)生交流積極，基本沒有出現(xiàn)討論和交流偏題較遠的情況. 對于課后作業(yè)，大部分學(xué)生也能模仿課堂研究過程，提出自己的假設(shè)和論證. 通過兩次課堂討論，總結(jié)出在研究性學(xué)習(xí)中提高課堂討論效率的一些方法：

1. 幫助學(xué)生學(xué)會記錄自己探究的過程，為討論提供材料和框架

通過在學(xué)習(xí)單上的記錄，每位學(xué)生都擁有自己參與討論的材料，討論內(nèi)容充實;同時，由于每位學(xué)生在討論之前都經(jīng)歷了獨立思考的過程，使得討論是以“獨立探究”為基礎(chǔ)的討論. 在第一次討論前，通過填寫學(xué)習(xí)單上的第一張表格，學(xué)生至少畫出了3對函數(shù)圖像，通過對每對函數(shù)圖像關(guān)系的研究，學(xué)生或多或少都能歸納總結(jié)出若干條變換的規(guī)律，通過相互印證，每個小組都能找到比較完整的性質(zhì).

2. 討論的問題應(yīng)當具有一定的開放程度

第一次討論問題的答案不是唯一的，學(xué)生想到的大多數(shù)函數(shù)都能夠通過合理地選擇參數(shù)完成后續(xù)的探究工作，由于可供選擇函數(shù)的類型較多，有一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)等，每種函數(shù)控制變量又不唯一，因此在兩位學(xué)生使用完全一樣的函數(shù)進行研究的情況幾乎不會出現(xiàn). 這樣問題開放性就降低了討論交流時發(fā)言的重復(fù)性，每位學(xué)生的交流都是不同角度的闡述，既增加了學(xué)生對其他同學(xué)研究結(jié)論的興趣，也幫助學(xué)生更完整地理解研究的問題.

3. 幫助學(xué)生學(xué)會記錄和分析討論過程和結(jié)論

課堂討論的結(jié)束不應(yīng)當是學(xué)生思維的停止符，而是學(xué)生通過討論的過程和結(jié)果的整理，對自己研究的內(nèi)容、研究的過程、研究的方法、研究的結(jié)果進一步深化和提升的起點. 因此，在學(xué)習(xí)單上還設(shè)計了對于小組內(nèi)討論的記錄和其他小組交流的記錄，通過記錄和評價，促使學(xué)生在課堂討論的基礎(chǔ)上，理解、反思他人的思維過程，從而完善自身對數(shù)學(xué)的理解.

總之，學(xué)生通過研究性學(xué)習(xí)的經(jīng)歷，逐步掌握研究方法、學(xué)會如何進行合作學(xué)習(xí). 學(xué)習(xí)單的使用為探究過程搭建了一個框架，同時幫助學(xué)生學(xué)會如何理清自己的思維過程，使討論言之有物，從而提高課堂討論的效率，讓課堂討論的方向能夠集中在主要的討論問題上;通過學(xué)習(xí)單的記錄，思考、評價其他同學(xué)的思維過程，使討論能夠切實幫助學(xué)生的思維提升.