聞國梁

摘? 要：習(xí)題課是中考復(fù)習(xí)中的一個重要環(huán)節(jié)，是知識回顧、整理及簡單應(yīng)用后的研究主題的延續(xù)與拓展. 從中考的視角，看幾何習(xí)題課教學(xué)，要力爭達到“做一題、會一類、通一片”的效果. 文章以“三角形的內(nèi)接正方形”為背景，以問題串形式驅(qū)動深度學(xué)習(xí)，在定性分析中獲得新的研究對象和研究思路，再從定量角度深入探究如何確定內(nèi)接正方形，比較多個正方形面積的大小，從中獲得一般性的規(guī)律，體會“從定性到定量”“從特殊到一般”的研究路徑. 通過習(xí)題課教學(xué)，幫助學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，提高數(shù)學(xué)思維能力.

關(guān)鍵詞：中考復(fù)習(xí)課;問題串;類比;深度學(xué)習(xí)

深度學(xué)習(xí)的概念最早由瑞典學(xué)者費爾倫斯·馬頓和羅杰·薩廖在《學(xué)習(xí)的本質(zhì)區(qū)別：結(jié)果和過程》中提出. 2005年，何玲、黎加厚首次在國內(nèi)引入深度學(xué)習(xí)概念：深度學(xué)習(xí)是在理解的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)者能夠批判地學(xué)習(xí)新思想和新事實，并將他們?nèi)谌朐械恼J知結(jié)構(gòu)中，能夠在眾多思想之間建立聯(lián)系，并能夠?qū)⒁延兄R遷移到新的情境中，做出決策和解決問題的學(xué)習(xí). 此后，深度學(xué)習(xí)在全國范圍內(nèi)引起廣泛關(guān)注. 2016年，教育部基礎(chǔ)教育課程教材發(fā)展中心深度學(xué)習(xí)教學(xué)改進項目組對深度學(xué)習(xí)的定義為：深度學(xué)習(xí)，就是指在教師引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心地積極參與、體驗成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過程. 在這個過程中，學(xué)生掌握學(xué)科的核心知識，理解學(xué)習(xí)的過程，把握學(xué)科的本質(zhì)及思想方法，形成積極的內(nèi)在學(xué)習(xí)動機、高級的社會性情感、積極的態(tài)度、正確的價值觀，成為既具獨立性、批判性、創(chuàng)造性，又有合作精神、基礎(chǔ)扎實的優(yōu)秀的學(xué)習(xí)者，成為未來社會實踐的主人.

由此可見，深度學(xué)習(xí)既是教師的一種教學(xué)方式，又是學(xué)生的一種學(xué)習(xí)方式，深度學(xué)習(xí)有沒有發(fā)生，必須通過學(xué)生才能得以體現(xiàn). 在學(xué)習(xí)幾何的過程中，要讓學(xué)生不僅知道“有哪些性質(zhì)”，而且知道這些性質(zhì)“是怎么來的”，并進一步掌握“發(fā)現(xiàn)性質(zhì)”的本領(lǐng). 本文以“三角形的內(nèi)接正方形”為背景設(shè)計習(xí)題課，按照“定性到定量”“特殊到一般”的研究路徑，創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生認知規(guī)律的問題串，學(xué)生在經(jīng)歷操作、思考、探索、歸納、證明、運用等有意義的學(xué)習(xí)過程后，體會知識的發(fā)生和發(fā)展過程;在問題解決的過程中進一步掌握發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的本領(lǐng)，把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，形成數(shù)學(xué)的思維方式，為今后處理其他問題積累相關(guān)經(jīng)驗. 現(xiàn)將教學(xué)設(shè)計和思考過程呈現(xiàn)如下.

一、課題分析

1. 內(nèi)容解析

數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生來源于數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展需求和實際應(yīng)用的需求. 從數(shù)學(xué)知識內(nèi)部的發(fā)展來看，小學(xué)階段，學(xué)生學(xué)習(xí)了“方中圓”和“圓中方”兩個基本圖形，知道正方形和圓的面積比. 初中階段，學(xué)生學(xué)習(xí)了三角形的內(nèi)心和外心，會用尺規(guī)作三角形的外接圓、內(nèi)切圓，會求三角形的外接圓和內(nèi)切圓半徑. 對于三角形、正方形、圓三個基本圖形兩兩組合，一共有3種組合6類圖形，而學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了前面4類圖形，從系統(tǒng)的角度提出研究“三角形的內(nèi)接正方形”是自然的過程，從而建立知識間的整體聯(lián)系. 同時，該問題也有實際應(yīng)用背景，如“從一塊三角形材料中裁出一個最大的正方形”，這類問題綜合性強、難度大，在歷年中考中以壓軸題形式呈現(xiàn)，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維、促進深度學(xué)習(xí)的好素材.

本課題安排在中考一輪復(fù)習(xí)之后，學(xué)生對各單元知識已經(jīng)進行了回顧和整理，設(shè)計以“三角形的內(nèi)接正方形”為背景的幾何習(xí)題課. 通過回顧三角形的研究路徑，體會幾何學(xué)習(xí)的基本套路，從兩個同類圖形的結(jié)構(gòu)關(guān)系入手，引出研究不同類圖形（三角形、正方形、圓）的位置關(guān)系，再回顧已經(jīng)學(xué)過的“圓中方”等熟悉圖形，為新的研究對象（三角形的內(nèi)接正方形）的獲得及研究思路奠定基礎(chǔ). 通過下定義和分類，明確概念的內(nèi)涵和外延. 在尺規(guī)作圖中，引導(dǎo)學(xué)生從最簡單的圖形入手畫出內(nèi)接正方形，再類比推廣到一般三角形. 對于一個三角形中存在多個內(nèi)接正方形的情況，引導(dǎo)學(xué)生用作差法比較大小，從而得到一般性的結(jié)論.

本節(jié)課的教學(xué)重點：通過類比舊知，發(fā)現(xiàn)和提出新的研究對象（三角形的內(nèi)接正方形），明確研究思路.

2. 教學(xué)目標

（1）通過類比，發(fā)現(xiàn)和提出新的研究對象（三角形的內(nèi)接正方形），會下定義和分類.

（2）能用尺規(guī)畫出有兩條共邊的內(nèi)接正方形，再類比推廣到只有一條共邊的情況.

（3）會用作差法比較正方形面積的大小，理解最短邊上的內(nèi)接正方形面積最大.

3. 教學(xué)問題診斷分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形、正方形、圓的相關(guān)知識，已經(jīng)學(xué)過了圓的內(nèi)接正方形等圖形的尺規(guī)作圖，邊長、面積的計算. 通過教材中習(xí)題的練習(xí)，對于三角形的內(nèi)接正方形，已學(xué)會根據(jù)三角形的底和高，求內(nèi)接正方形的邊長，會求特殊三角形中內(nèi)接正方形面積的最大值，這些舊知為新知的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)、指引了方向. 但是，學(xué)生不清楚確定內(nèi)接正方形的方法，不清楚如何用尺規(guī)畫出內(nèi)接正方形，在日常學(xué)習(xí)過程中，也缺乏對這方面的主動思考.

本節(jié)課的教學(xué)難點：用尺規(guī)畫出任意三角形的內(nèi)接正方形.

二、教學(xué)過程

1. 激活舊知

問題1：幾何是研究空間結(jié)構(gòu)與性質(zhì)的一門學(xué)科，初中階段我們重點學(xué)習(xí)了哪些圖形？

生1：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形、特殊四邊形、圓這些基本平面圖形.

追問1：對于三角形、正方形、圓這類基本圖形，我們是按照什么學(xué)習(xí)路徑展開的？

生2：圖形的學(xué)習(xí)通常按照“定義—性質(zhì)—判定—應(yīng)用”的順序展開學(xué)習(xí)，性質(zhì)的學(xué)習(xí)路徑又會經(jīng)歷“操作—猜想—證明—運用”的環(huán)節(jié).

追問2：對于兩個同類圖形，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了用全等、相似、位似等聯(lián)系來刻畫. 那么對于兩個不同類圖形組合在一起，又能得到哪些熟悉的圖形？

生3：我們在小學(xué)階段學(xué)習(xí)了圓中方、方中圓，九年級又學(xué)習(xí)了三角形的內(nèi)切圓、三角形的外接圓.（教師展示圖1～4.）A0835152-84DB-4BF2-B518-40FC70401A18

追問3：在圖1中，我們把四個點都在圓上的正方形叫做圓的內(nèi)接正方形. 對于兩個不同類圖形，我們通常會研究它們之間特殊的位置關(guān)系. 對于圖1～4，我們還學(xué)過哪些知識？

生4：對于圖1～2，我會求正方形和圓的面積比、邊長和半徑比.

生5：對于圖3～4，我會用直尺和圓規(guī)作三角形的內(nèi)切圓與外接圓，根據(jù)三角形求圓的半徑.

小結(jié)：在學(xué)習(xí)過程中，我們往往按照“從定性到定量”“從特殊到一般”的研究路徑，對于一個確定的圖形，如圓的內(nèi)接正方形、三角形的內(nèi)切圓、三角形的外接圓，我們可以從如何確定圖形（尺規(guī)作圖）、定量計算線段長度和圖形面積等方面進行研究.

【設(shè)計意圖】通過復(fù)習(xí)舊知，激活已有知識，回顧三角形的研究路徑，體會幾何學(xué)習(xí)的基本套路，從兩個同類圖形的結(jié)構(gòu)關(guān)系入手，引出研究不同類圖形（三角形、正方形、圓）的位置關(guān)系，再回顧已經(jīng)熟悉的圖形（圖1～4）中所學(xué)習(xí)的內(nèi)容，從而為新的研究對象（三角形的內(nèi)接正方形）的獲得，以及研究思路奠定基礎(chǔ).

2. 定性分析，獲得研究對象

問題2：對于三角形、正方形、圓兩兩組合，我們已經(jīng)研究了圓的內(nèi)接正方形、正方形的內(nèi)切圓、三角形的內(nèi)切圓、圓的內(nèi)接三角形，類比圖1～4，你還能得到哪些圖形，試畫出圖形，并給圖形下定義.

生6：類比圖2，得到了圖5，我把△BCE叫做正方形ABCD的內(nèi)接三角形，定義：三個頂點都在正方形邊上的三角形，叫做該正方形的內(nèi)接三角形.

生7：類比圖1，得到了圖6，我把正方形DEFG叫做△ABC的內(nèi)接正方形，定義：四個頂點都在三角形邊上的正方形，叫做該三角形的內(nèi)接正方形.

追問1：圖5、圖6中的內(nèi)接三角形、內(nèi)接正方形是唯一確定的嗎？

生8：圖5中的三角形不唯一，有無數(shù)個，圖6中的正方形是唯一確定的.

追問2：我們今天就來研究三角形的內(nèi)接正方形，它真的是“唯一”確定的嗎？

生9：三角形有3條邊，而正方形有4個頂點，則必有兩個頂點在三角形同一邊上，如圖7、圖8，還存在與BC共邊的情況，所以一共有3個.

生10：我發(fā)現(xiàn)不是所有的三角形都存在3個內(nèi)接正方形. 當△ABC為銳角三角形時有三個內(nèi)接正方形;當△ABC為直角三角形時，存在2個內(nèi)接正方形;當△ABC為鈍角三角形時，只存在1個內(nèi)接正方形，如圖9～11所示.

追問3：將圖6～11的六個內(nèi)接正方形進行分類，并說出你的分類標準.

生11：按照正方形與三角形共邊的條數(shù)進行分類，圖9中有2條共邊，另外5個正方形只有1條共邊.

【設(shè)計意圖】在三角形、正方形、圓兩兩組合的情況討論中，引導(dǎo)學(xué)生通過類比圖1～4，自主思考、畫圖，提出新的研究對象（圖5、圖6），通過類比“圓的內(nèi)接正方形”的定義對新對象下定義，明確概念的內(nèi)涵. 追問1、追問2從圖形的確定性、唯一性展開，明確本節(jié)課的研究對象——三角形的內(nèi)接正方形，引導(dǎo)學(xué)生從定義的內(nèi)涵對內(nèi)接正方形的個數(shù)進行分析，生10相比于生9，進行了更深層次的思考與實踐. 在得到一系列新的圖形后，追問3引導(dǎo)學(xué)生對新的圖形進行分類，確定分類的標準，明確概念的外延. 同時，通過分類，將特殊的圖9提煉出來，為后面尺規(guī)作圖、定量計算環(huán)節(jié)按照“從特殊到一般”的方法的展開奠定基礎(chǔ). 通過問題串的形式層層遞進，在教師的引導(dǎo)下，將學(xué)生的思維逐漸引向深入.

3. 定量研究，確定對象

問題3：選取任意一個三角形，用三角尺（作垂線）和圓規(guī)畫出它的一個內(nèi)接正方形.

生12：我選擇作圖9的正方形，它比較簡單，因為它有兩條邊與直角三角形共邊. 如圖12，作∠C的平分線，與AB交于點E，過點E作DE⊥AC，EF⊥BC，即得正方形CDEF.

追問1：對于圖6、圖12，記△ABC邊BC長度為a，邊BC上的高為h，內(nèi)接正方形邊長為x，用a，h表示x.

生13：在圖12中，可以用等積法，根據(jù)[S△ABC=S△ACE+]

[S△BCE]，可得[12ah=12ax+12hx]，即[x=aha+h]. 也可以用相似，根據(jù)△ADE ∽ △ACB，可得[h-xh=xa]，即[x=aha+h].

生14：在圖6中，根據(jù)△ADG ∽ △ABC，可得[h-xh=xa]，即[x=aha+h].

追問2：通過計算，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生15：我發(fā)現(xiàn)正方形的邊長取決于與之共邊的三角形邊長和對應(yīng)邊上的高，與三角形的形狀無關(guān). 換言之，等底等高的三角形，等底邊上的內(nèi)接正方形邊長相等.

追問3：那么你能否類比圖12的方法，將另外5幅圖的三角形轉(zhuǎn)化成直角三角形，用尺規(guī)作出其內(nèi)接正方形呢？

生16：如圖13，過點C的直線m⊥BC，過點A的直線n⊥m，直線m，n交于點A′，連接A′B，作∠A′CB的平分線交A′B于點O，過點O作A′C的垂線交AB，AC于點D，G，再作DE⊥BC，GF⊥BC，于是可得正方形DEFG. 其他圖形的作圖方法同理可得，略.

【設(shè)計意圖】尺規(guī)作圖要思考如何確定正方形的頂點，而只要確定正方形的一個頂點，就能找到其余頂點. 在前面定性分析的基礎(chǔ)上，學(xué)生能夠自然地想到圖9的尺規(guī)作圖是最容易的，只要畫出直角的平分線就能找到頂點. 設(shè)置3個問題串，通過算一算，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)內(nèi)接正方形的邊長取決于三角形的底和高，與三角形的形狀無關(guān). 既然與形狀無關(guān)，那么能否將其他三角形轉(zhuǎn)化成直角三角形來構(gòu)圖？學(xué)生也能夠自然地想到通過作平行線，將其他三角形轉(zhuǎn)化成等底等高的直角三角形，一旦直角三角形的內(nèi)接正方形頂點找到了，那么一般三角形中的內(nèi)接正方形也隨之確定下來了. 通過問題串的形式，在問題解決的過程中，讓學(xué)生經(jīng)歷“從特殊到一般”的研究過程，體會類比、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，在經(jīng)歷思維深層思考、解決了富有挑戰(zhàn)性的問題后，讓學(xué)生收獲成功的喜悅，從而巧妙地突破了本節(jié)課的難點.A0835152-84DB-4BF2-B518-40FC70401A18

問題4：在同一個直角三角形中，有2個內(nèi)接正方形，那么哪個正方形的面積更大呢？

生17：正方形面積大小比較可以轉(zhuǎn)化為比較邊長，如圖9、圖10，記BC = a，AB = c，△ABC的面積為S，正方形邊長分別為x1，x2. 參考生13的方法，由[x=][aha+h]，得[x1=2Sa+2Sa]. 化簡，得[x1=2aSa2+2S]，[x2=2cSc2+2S]. 采用作差法比較大小，得[x1-x2=2Sc-aac-2Sa2+2Sc2+2S]. 由[c-a>0，] [12ac>S]，得[x1-x2>0]，即[x1>x2].

追問：由上述計算過程，你有什么發(fā)現(xiàn)，可以類比推廣到銳角三角形嗎？

生18：在直角三角形中，直角邊上的內(nèi)接正方形面積比斜邊上的內(nèi)接正方形面積大. 推廣到銳角三角形中，最短邊上的內(nèi)接正方形面積最大.

【設(shè)計意圖】在問題3中，我們已經(jīng)用底和高表示出正方形的邊長，對于一個三角形中有多個內(nèi)接正方形時，我們自然而然地想到，去比較它們面積的大小. 問題4的解決也運用了“從特殊到一般”的研究方法，先研究直角三角形中的2個正方形，通過作差、通分、因式分解，再對單個子項逐一討論后，確定出直角邊上的內(nèi)接正方形面積較大. 最后，類比遷移到銳角三角形中的3種情況，將學(xué)生的思維引向深入地思考，得到一般性的結(jié)論——最短邊上的內(nèi)接正方形面積最大，也為后面的應(yīng)用奠定基礎(chǔ).

4. 應(yīng)用拓展

例? 如圖14，現(xiàn)有一批三角形木料，邊長分別為42 dm，40 dm，26 dm，現(xiàn)要加工出面積最大的正方形（不能拼接）. 試在圖中用三角尺和圓規(guī)畫出△ABC所包含的面積最大的正方形，簡要說明作圖方法（不要求證明），并判斷正方形的邊長能否超過15.5 dm.

【設(shè)計意圖】此題為應(yīng)用題，考查三個知識點：（1）與最短邊共邊的內(nèi)接正方形面積最大;（2）類比問題3，用尺規(guī)作出內(nèi)接正方形;（3）運用相似三角形知識，計算正方形的邊長，考查學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，體會數(shù)學(xué)來源于生活，應(yīng)用于生活.

5. 回顧總結(jié)

（1）你學(xué)會了有關(guān)三角形內(nèi)接正方形的哪些知識？

（2）這些知識的發(fā)現(xiàn)經(jīng)歷了哪些環(huán)節(jié)？

（3）我們是如何想到去研究三角形的內(nèi)接正方形的？

【設(shè)計意圖】通過三個問題和板書引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，建立知識之間的整體聯(lián)系. 通過操作、猜想、證明、應(yīng)用等環(huán)節(jié)感悟知識的發(fā)生和發(fā)展過程，體會“從定性到定量”“從特殊到一般”的研究路徑，滲透類比、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力.

三、教學(xué)反思

習(xí)題課是中考復(fù)習(xí)中的一個重要環(huán)節(jié)，是知識回顧、整理及簡單應(yīng)用后主題的延續(xù)與拓展，挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題是促進學(xué)生深度學(xué)習(xí)的很好的素材，可以幫助學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，提高數(shù)學(xué)思維能力. 筆者認為習(xí)題課要達成深度學(xué)習(xí)的目標需要具備以下三個要素.

1. 選題源于教材，高于教材

當前，最常見的復(fù)習(xí)課是教師以“奇、特、巧、新”等為選題標準，通過“講解題，不講怎樣解題”“講解法，不講如何想到解法”的方式給學(xué)生灌輸技巧，最后總結(jié)為“解法—技巧”.“解法多的題” ≠ “好題”，那些與重要概念和性質(zhì)相關(guān)、反映數(shù)學(xué)本質(zhì)、體現(xiàn)基礎(chǔ)知識聯(lián)系性的題才是真正的“好題”. 好的解法應(yīng)追求把問題簡單地說清楚，并從中提煉基本結(jié)構(gòu)、思想方法，這樣才能真正做到一通百通. 本課題基于教材和中考情況，設(shè)置有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，以問題串的形式驅(qū)動課堂學(xué)習(xí)，將學(xué)生已有的知識推廣到一般三角形中，通過尺規(guī)作圖、求最值等問題，引發(fā)深度學(xué)習(xí). 浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）八年級下冊第19頁作業(yè)題第5題，考查了等腰直角三角形中求最大的正方形的面積，教材九年級上冊第149頁作業(yè)題第5題，考查了一般三角形中，已知底和高，運用相似三角形知識求內(nèi)接正方形的邊長. 學(xué)生在前期學(xué)習(xí)中，已經(jīng)對相關(guān)內(nèi)容有了初步的了解. 同時，該結(jié)構(gòu)也經(jīng)常作為壓軸題出現(xiàn)在中考試題中，如2019年浙江嘉興卷、浙江舟山卷. 同時，在廣東、山東、遼寧、天津的中考試題中均有出現(xiàn)，是中考中的?？?，也是學(xué)生考試答題的難點. 基于上述分析，筆者確定了“三角形的內(nèi)接正方形”的學(xué)習(xí)主題.

2. 課堂以生為本，學(xué)為中心

深度學(xué)習(xí)的內(nèi)涵要求課堂教學(xué)中要以生為本，以學(xué)為中心. 教學(xué)設(shè)計要站在學(xué)生的角度去設(shè)計問題，在教師的指導(dǎo)下，既要讓學(xué)生自然地獲得研究對象和思路，又要讓學(xué)生進行挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)，這樣才能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望. 本課題按照“從定性到定量”“從特殊到一般”的研究路徑，精心設(shè)計問題串，層層遞進，激發(fā)學(xué)生的求知欲，并將學(xué)習(xí)的思維引向深處. 尺規(guī)作圖是本節(jié)課的難點，筆者查閱資料，發(fā)現(xiàn)有圖15～17三種作法，均利用了位似來進行構(gòu)圖，但對于學(xué)生來說，幾乎難以想到. 筆者按照由易到難的原則，圖9中的正方形是學(xué)生容易想到的，通過算一算發(fā)現(xiàn)等底等高的三角形，等底邊上的內(nèi)接正方形邊長一樣，通過類比圖9，將其他圖形轉(zhuǎn)化成等底等高的直角三角形，從而巧妙地突破了本節(jié)課的難點. 在研究同一三角形中面積最大的正方形時，先研究直角三角形中的2個正方形，通過作差法比較大小，再類比遷移到銳角三角形中的3種情況，將學(xué)生的思維引向深處.

3. 一般觀念引領(lǐng)幾何學(xué)習(xí)

一般觀念指與核心概念和理論相關(guān)的研究問題的一般“套路”. 例如，如何抽象一個數(shù)學(xué)對象;怎樣研究一類數(shù)學(xué)對象. 幾何教學(xué)中可遵循“基本事實—概念—性質(zhì)—結(jié)構(gòu)”的公理化體系，按照“從定性到定量”“從特殊到一般”的研究路徑展開學(xué)習(xí). 本課題通過問題1，激活學(xué)生的已有知識，包括小學(xué)階段學(xué)習(xí)的圓中方、方中圓，九年級階段學(xué)習(xí)的三角形內(nèi)切圓和外接圓，從而自然引出本節(jié)課的研究對象. 從所學(xué)習(xí)的已有知識內(nèi)容中，包括定性上對內(nèi)接圖形存在性的討論，尺規(guī)作圖，定量計算長度和面積，為新的研究對象明確了研究方向和研究思路. 在教師的精心組織下，學(xué)生經(jīng)歷了操作、猜想、證明、應(yīng)用等環(huán)節(jié)，既自然地得到新的研究對象和研究思路，又進行了有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)，在運用特殊、類比、轉(zhuǎn)化等方法解決難題的過程中，經(jīng)歷了更深層次的思考，獲得了成功的體驗，感悟?qū)W習(xí)的一般方法. 通過習(xí)題課教學(xué)，學(xué)生在提高解題能力的同時，提高了發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力，體會研究問題的一般路徑，從中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，達成深度學(xué)習(xí).

參考文獻：

[1]FSR MARTON，R SALJO. On qualitative differences in learning：I—Outcome and process[J]. British Journal of Educational Psychology，1976（46）：4-11.

[2]何玲，黎加厚. 促進學(xué)生深度學(xué)習(xí)[J]. 現(xiàn)代教育，2005（5）：29-30.

[3]郭華. 深度學(xué)習(xí)及其意義[J]. 課程·教材·教法，2016，36（11）：25-32.

[4]章建躍. 如何使學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出有研究價值的問題[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2014（1 / 2）：7-10.

[5]章建躍，陳向蘭. 數(shù)學(xué)教育之取勢明道優(yōu)術(shù)[J]. 數(shù)學(xué)通報，2014，53（10）：1-7，66.A0835152-84DB-4BF2-B518-40FC70401A18