陳蒲漢

[摘 要] 學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念就是要習(xí)得這個(gè)概念的本質(zhì)屬性，且在腦中建立概念的體系. 針對(duì)概念所設(shè)計(jì)的系列問(wèn)題，要能夠揭示概念的本質(zhì)屬性，學(xué)生才能在這些問(wèn)題的引導(dǎo)下掌握這個(gè)概念，并把這個(gè)概念納入認(rèn)知結(jié)構(gòu)中.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)；問(wèn)題串；教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)設(shè)計(jì)是關(guān)于“教什么”和“怎么教”這兩個(gè)問(wèn)題的解決方案. 教學(xué)內(nèi)容包括教材的顯性知識(shí)以及其后的隱性知識(shí). 隱性知識(shí)包括數(shù)學(xué)的本質(zhì)、過(guò)程、思想和結(jié)構(gòu)四個(gè)方面，[1]而知識(shí)要通過(guò)學(xué)生本身的內(nèi)化才能進(jìn)入他們的認(rèn)知結(jié)構(gòu). 學(xué)生若遇到問(wèn)題，就會(huì)產(chǎn)生心理缺口，當(dāng)問(wèn)題得到解決，缺口就會(huì)彌合，表現(xiàn)為一種愉快的體驗(yàn)，而問(wèn)題是激發(fā)學(xué)生內(nèi)在動(dòng)機(jī)的最好素材.[2] 因此，教師要設(shè)計(jì)合適的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考、探索，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)規(guī)律和問(wèn)題解決的途徑，使他們經(jīng)歷知識(shí)形成的過(guò)程.[3] 問(wèn)題是架接于學(xué)生與新概念間的橋梁，是教師發(fā)揮其主導(dǎo)作用的工具. 那么，所設(shè)計(jì)的問(wèn)題就要針對(duì)相應(yīng)教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，學(xué)生在思考這些問(wèn)題時(shí)，才能更好地幫助他們理解相應(yīng)數(shù)學(xué)內(nèi)容，進(jìn)而形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).

數(shù)學(xué)概念教學(xué)的特點(diǎn)

學(xué)習(xí)者先客觀感知某類事物形成表象，再抽象概括出它們的本質(zhì)屬性，于是才形成學(xué)習(xí)者腦中的概念. 而表達(dá)概念要借助命名及定義，即揭示這一類事物的共同本質(zhì)屬性，并用精練的語(yǔ)言符號(hào)予以描述. 在學(xué)習(xí)概念過(guò)程中，學(xué)習(xí)者要不斷地識(shí)別區(qū)分事物的本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性，最終掌握本質(zhì)屬性. 如遇到新的概念，若學(xué)習(xí)者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中缺少與之相關(guān)的概念或觀念，則需要用概念形成的方式學(xué)習(xí)；而若學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中具備接受新概念的概念或觀念，則可以采用概念同化的方式學(xué)習(xí).

有意義學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)是，符號(hào)所代表的新知識(shí)與學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的適當(dāng)觀念建立非人為的和實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系.[4] “數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)就是要造就學(xué)生的良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，以滿足后續(xù)學(xué)習(xí)需要，最終提高學(xué)生的問(wèn)題解決能力. 良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的特征包括四個(gè)方面：①足夠多的觀念；②具備穩(wěn)定而又靈活的產(chǎn)生式；③層次分明的觀念網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)；④一定問(wèn)題解決策略的觀念.”[5]

概念的教學(xué)是要使學(xué)生在腦中形成相應(yīng)的表象，在腦中建構(gòu)起良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)——由反映概念屬性的觀念組成，而認(rèn)知結(jié)構(gòu)中觀念的多少、觀念的準(zhǔn)確與否、觀念的深刻程度是反映概念理解水平的重要因素.[6] 學(xué)生學(xué)習(xí)概念，并非單個(gè)概念，而是要把習(xí)得的概念納入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，而新的概念也會(huì)延伸、擴(kuò)充成某個(gè)體系. 因此，設(shè)計(jì)問(wèn)題串的一個(gè)目的就是幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中建立這樣的體系，也就是在設(shè)計(jì)問(wèn)題串時(shí)，需要從兩個(gè)角度考慮：概念體系和某個(gè)概念.

針對(duì)建立概念體系的問(wèn)題串設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)的概念間有著相互的聯(lián)系，如從屬關(guān)系、交叉關(guān)系、并列關(guān)系、對(duì)立關(guān)系等，教學(xué)中可以設(shè)計(jì)相應(yīng)的問(wèn)題，并且引導(dǎo)學(xué)生利用演繹、類比思想方法，建立概念體系，使概念縱橫貫通. 數(shù)學(xué)概念有的本身會(huì)延伸擴(kuò)充為一個(gè)體系，有的會(huì)串聯(lián)到另一些概念形成網(wǎng)絡(luò).

如函數(shù)的教學(xué)，函數(shù)的本質(zhì)屬性是一個(gè)關(guān)系f：A→B. 因此，需要針對(duì)這樣的本質(zhì)屬性進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì). 函數(shù)的教學(xué)內(nèi)容包括：①定義，即用語(yǔ)言或符號(hào)表達(dá)的本質(zhì)屬性；②表達(dá)形式，圖、表、解析式；③具備的性質(zhì)，單調(diào)性、最值、奇偶性等；④分類，二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等. 由此可知，函數(shù)概念的教學(xué)不是一蹴而就的，是需要圍繞函數(shù)本質(zhì)屬性來(lái)進(jìn)行整體設(shè)計(jì)的.

例如，可以設(shè)計(jì)這樣一系列的問(wèn)題：①如下的例子中，表達(dá)了什么樣的關(guān)系？有什么共同特點(diǎn)，請(qǐng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述；②可以用哪些形式表達(dá)函數(shù)呢？請(qǐng)從函數(shù)概念的角度，分析這些表達(dá)形式；③當(dāng)函數(shù)定義域的元素從小到大排序后，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值可能呈現(xiàn)什么變化？請(qǐng)用函數(shù)概念分析單調(diào)性（奇偶性）；④在學(xué)習(xí)某個(gè)基本初等函數(shù)時(shí)，可以設(shè)置問(wèn)題：請(qǐng)根據(jù)函數(shù)概念談?wù)剬?duì)這個(gè)函數(shù)的認(rèn)識(shí).

學(xué)生在這些問(wèn)題的引導(dǎo)下，可以從不同角度認(rèn)識(shí)函數(shù)的本質(zhì)，有助于學(xué)生理解函數(shù)的概念. 這個(gè)問(wèn)題串并非是在一兩個(gè)課時(shí)處理完，它們需要幾周的時(shí)間才能完成，甚至是更長(zhǎng)的時(shí)間. 這整個(gè)教學(xué)的過(guò)程，就是幫助學(xué)生建立概念體系的過(guò)程，設(shè)計(jì)的這些問(wèn)題旨在意識(shí)到這些新的概念是一個(gè)函數(shù)的體系，也就有利于學(xué)生把這些概念組織起來(lái)形成體系.

又如，復(fù)數(shù)概念的教學(xué). 復(fù)數(shù)的本質(zhì)是一個(gè)二元數(shù)，有大小和方向. 它屬于數(shù)系的擴(kuò)充，就會(huì)與實(shí)數(shù)有關(guān)系. 二元數(shù)的特性，又和點(diǎn)坐標(biāo)、向量有聯(lián)系. 它的方向性，可以與三角函數(shù)有聯(lián)系. 可以設(shè)計(jì)這樣的問(wèn)題系列：①?gòu)?fù)數(shù)a+bi（a，b∈R）與實(shí)數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別；②每一個(gè)有序數(shù)對(duì)（a，b）組成一個(gè)復(fù)數(shù)，這個(gè)特點(diǎn)和以前所學(xué)過(guò)的哪個(gè)知識(shí)類似；③根據(jù)復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、點(diǎn)及向量的關(guān)系，復(fù)數(shù)會(huì)有哪些運(yùn)算性質(zhì).

第一個(gè)問(wèn)題可以讓學(xué)生知道要兩個(gè)實(shí)數(shù)才能表示一個(gè)復(fù)數(shù)，并且有順序. 初步形成復(fù)數(shù)是一個(gè)二元數(shù)的觀念，也與實(shí)數(shù)、多項(xiàng)式的概念建立聯(lián)系. 第二、第三個(gè)問(wèn)題就是讓學(xué)生進(jìn)一步與以前所學(xué)過(guò)的概念建立聯(lián)系. 甚至可以讓學(xué)生根據(jù)其有方向的特點(diǎn)聯(lián)系到三角函數(shù)，而復(fù)數(shù)模又可以借助向量、點(diǎn)建立與圓的聯(lián)系.

學(xué)生在這些問(wèn)題的引導(dǎo)下，會(huì)從不同的角度認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)這個(gè)概念，更好地理解復(fù)數(shù)的本質(zhì)——二元數(shù). 也是在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生會(huì)把這個(gè)概念與原有的點(diǎn)、向量、實(shí)數(shù)、多項(xiàng)式、圓這些概念建立聯(lián)系，形成新的認(rèn)知網(wǎng)絡(luò).

針對(duì)某個(gè)概念的問(wèn)題串設(shè)計(jì)

每個(gè)數(shù)學(xué)概念有其內(nèi)涵與外延，學(xué)生習(xí)得概念，就是掌握它的本質(zhì)屬性，區(qū)分非本質(zhì)屬性. 學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中要包含一些例證和反例的觀念. 設(shè)計(jì)的問(wèn)題就是要引導(dǎo)學(xué)生歸納它的本質(zhì)屬性，積累一些例證及反例.

如函數(shù)定義的教學(xué)在舉例時(shí)，可分為兩部分，其一，提供例子，設(shè)計(jì)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生歸納其本質(zhì)屬性；其二，提供例證及反例深化概念的理解. 第一部分提出問(wèn)題：如下的例子中，表達(dá)了什么樣的關(guān)系？有什么共同特點(diǎn)？請(qǐng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述：①跑步時(shí)，路程與時(shí)間的關(guān)系（可用圖或式子表示）；②昨天的氣溫與時(shí)間的曲線圖；③我國(guó)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表；④小球上拋，高度與時(shí)間的關(guān)系.

根據(jù)學(xué)生的回答，適當(dāng)追問(wèn). 變量有范圍嗎，可以怎么表示？這兩變量是什么樣的關(guān)系？還有什么共同特點(diǎn)嗎？等等，這些圍繞著函數(shù)概念的問(wèn)題串，一步步地引導(dǎo)學(xué)生歸納出函數(shù)概念的本質(zhì)屬性.

在教學(xué)過(guò)程中，所預(yù)設(shè)的問(wèn)題并非一定要教師提出來(lái). 在請(qǐng)某同學(xué)回答該問(wèn)題后，教師可不急著評(píng)價(jià)，而把問(wèn)題拋給學(xué)生. 可以對(duì)其他同學(xué)說(shuō)：“你們有什么想法？”或問(wèn)：“這對(duì)嗎，你怎么想的？”“你對(duì)他的說(shuō)法，有什么疑惑嗎？”如此，學(xué)生可以相互討論，教師可適當(dāng)引導(dǎo)，使討論不偏離主線，那么學(xué)生通過(guò)自己提出一系列問(wèn)題及解答，認(rèn)識(shí)到函數(shù)概念的本質(zhì). 教師提出的問(wèn)題與學(xué)生的疑惑，組成逐步揭示概念本質(zhì)的問(wèn)題串.

高中數(shù)學(xué)中表達(dá)概念常見(jiàn)是給概念下定義，即揭示概念這一類事物的本質(zhì)屬性，并用精練的語(yǔ)言予以描述.[7] ■學(xué)生需要明白定義中詞語(yǔ)、句子、符號(hào)、式子所代表的內(nèi)在含義，并進(jìn)而領(lǐng)會(huì)概念的內(nèi)涵. 這個(gè)過(guò)程不能只是教師講解，也可以設(shè)計(jì)相應(yīng)問(wèn)題串幫助學(xué)生理解.

如導(dǎo)數(shù)幾何意義的教學(xué)，可以設(shè)計(jì)這樣的問(wèn)題：①圓的切線有什么特點(diǎn)？②什么是橢圓的切線，圓切線的特點(diǎn)，在橢圓還具備嗎？③不封閉的曲線，如拋物線，會(huì)有切線嗎？如何作出它的切線？④如何作任意曲線的切線？

圓的切線的特點(diǎn)：①切線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；②圓心到切線的距離等于半徑；③圓心與切點(diǎn)的連線垂直切線. 當(dāng)討論橢圓與它的切線時(shí)，容易發(fā)現(xiàn)橢圓與它的切線只有一個(gè)公共點(diǎn)，只有這個(gè)特點(diǎn)與圓類似. 如此，學(xué)生會(huì)知道哪些特點(diǎn)不是一般切線的本質(zhì)屬性. 而他們能直觀感知到一般曲線是可以作出切線的.

這時(shí)教師可以在黑板上畫(huà)一段曲線，請(qǐng)學(xué)生畫(huà)切線并口述作圖的方法，再讓其他學(xué)生討論他的作法. 若學(xué)生的作法是強(qiáng)調(diào)只有一個(gè)公共點(diǎn)，請(qǐng)有不同意見(jiàn)的學(xué)生說(shuō)出他的疑惑或是例子，又或教師提出反例——正弦函數(shù)圖像作切線，它和曲線不是只有一個(gè)交點(diǎn). 期間，可以引導(dǎo)學(xué)生注意到：雖然整體上可能會(huì)有多個(gè)公共點(diǎn)，但在某個(gè)局部范圍內(nèi)是只有一個(gè)公共點(diǎn)的. 這時(shí)再問(wèn)學(xué)生：在曲線上任取兩點(diǎn)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)向另一個(gè)點(diǎn)移動(dòng)，此時(shí)過(guò)這兩點(diǎn)的直線怎么變化？由此學(xué)生，可以知道切線的本質(zhì)屬性. 這時(shí)可以再提出問(wèn)題：結(jié)合導(dǎo)數(shù)與平均變化率的關(guān)系，當(dāng)這兩點(diǎn)無(wú)限接近時(shí)，割線的斜率與切線斜率有什么關(guān)系？這樣學(xué)生就很容易知道切線的幾何意義了.

問(wèn)題串設(shè)計(jì)的策略

設(shè)計(jì)的問(wèn)題并非為了提問(wèn)而設(shè)計(jì)，而是為了引導(dǎo)學(xué)生習(xí)得概念的本質(zhì). 問(wèn)題只是為了引導(dǎo)學(xué)生思考，從而習(xí)得這個(gè)概念. 在學(xué)習(xí)過(guò)程中，無(wú)論是教師預(yù)設(shè)的問(wèn)題，還是學(xué)生提出的問(wèn)題，都是這問(wèn)題串的一部分.

數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)就是要造就學(xué)生的良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu). 習(xí)得一個(gè)概念就是讓這個(gè)概念成為其認(rèn)知結(jié)構(gòu)的一部分. 所以，問(wèn)題串設(shè)計(jì)的策略可分為以下幾個(gè)方面：

（1）抓住概念本質(zhì)，分析其定義. 圍繞以下方面設(shè)計(jì)問(wèn)題：①定義中語(yǔ)言符號(hào)的作用；②具體化，即相對(duì)應(yīng)的例子或圖像等；②定義中相關(guān)知識(shí)點(diǎn).

（2）利用概念變式突出概念的本質(zhì)屬性. 提供具有概念本質(zhì)屬性的各種例子，以及非本質(zhì)屬性的各種例子，或者是一些反例. 再設(shè)計(jì)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生歸納共同點(diǎn)（本質(zhì)屬性），從而明確概念的關(guān)鍵屬性.

（3）實(shí)踐中運(yùn)用概念，即概念的具體化. 設(shè)計(jì)不同類型的問(wèn)題，再歸納可能的適用范圍，如此也有利于建構(gòu)概念體系.

（4）概念體系的建構(gòu). 概念間存在聯(lián)系，如：從屬關(guān)系、相鄰關(guān)系、并列關(guān)系等. 這時(shí)的“問(wèn)題”是為了引導(dǎo)學(xué)生整理、歸類所學(xué)概念，理清概念間的關(guān)系.

教學(xué)是以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo). 教師設(shè)計(jì)的問(wèn)題，為學(xué)生鋪設(shè)通往新知的橋梁，幫助學(xué)生建立良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu). 不同教師對(duì)于同一概念所設(shè)計(jì)的問(wèn)題是不盡相同的，即使同一位教師可能在不同時(shí)期對(duì)同一概念所設(shè)計(jì)的問(wèn)題也會(huì)不相同，但其目的都是服務(wù)于概念，都是為了讓學(xué)生更好地把握住概念的本質(zhì). 而要達(dá)到這樣的目的，就需要圍繞著概念的本質(zhì)設(shè)計(jì)問(wèn)題.

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