唐萍

摘要：CPFS認(rèn)知結(jié)構(gòu)背景下的數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖構(gòu)建的教學(xué)實(shí)踐探究，旨在增強(qiáng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力。知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖可以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和核心能力的形成與發(fā)展;可以幫助學(xué)生理清所學(xué)知識(shí)脈絡(luò)，優(yōu)化系統(tǒng)思維;可以推動(dòng)學(xué)生親歷知識(shí)建構(gòu)過程，提升認(rèn)知水平;可以引導(dǎo)學(xué)生自省認(rèn)知不足之處，促進(jìn)深入理解。

關(guān)鍵詞：CPFS認(rèn)知結(jié)構(gòu);知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖;數(shù)學(xué)思維

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-9094（2020）10B-0053-04

現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，在影響學(xué)習(xí)的諸多因素中，認(rèn)知結(jié)構(gòu)是決定學(xué)習(xí)成效的一個(gè)關(guān)鍵和直接因素。本文主要探討在CPFS認(rèn)知結(jié)構(gòu)背景下，通過構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，培養(yǎng)和優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)系統(tǒng)思維。

一、內(nèi)涵闡釋

2003年南京師范大學(xué)喻平等在《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》上撰文，提出了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的CPFS結(jié)構(gòu)。文章認(rèn)為，數(shù)學(xué)理論體系的基本元素是概念和命題，CPFS結(jié)構(gòu)即概念域（Concept Field）、概念系（Concept System）、命題域（Proposition Field）、命題系（Proposition System）形成的結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確地刻畫了數(shù)學(xué)知識(shí)在個(gè)體頭腦中的組織形式。[1]概念和命題是數(shù)學(xué)知識(shí)的基石，知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖即把某一單元或某個(gè)專題所要掌握理解的概念或命題等，用連線、箭頭連接起來，清晰地呈現(xiàn)出知識(shí)點(diǎn)及它們之間的聯(lián)系。CPFS認(rèn)知結(jié)構(gòu)背景下的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖構(gòu)建，即根據(jù)學(xué)生CPFS認(rèn)知結(jié)構(gòu)的本質(zhì)特征，圍繞某個(gè)知識(shí)單元或?qū)ｎ}，以網(wǎng)絡(luò)圖構(gòu)建的方式呈現(xiàn)的教學(xué)規(guī)劃和方法策略。

二、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖的價(jià)值探尋

概念和命題通過推理組成了中學(xué)數(shù)學(xué)的邏輯體系。知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖的構(gòu)建過程就是梳理、獲得、組織、學(xué)習(xí)知識(shí)的過程，是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的重要途徑，也是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題能力的重要手段。知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖作為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一種策略，能使學(xué)生更深刻地理解知識(shí)形成與發(fā)展的過程，促進(jìn)學(xué)生的靈活運(yùn)用。

1.知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖可以幫助學(xué)生理清所學(xué)知識(shí)脈絡(luò)，優(yōu)化系統(tǒng)思維

“數(shù)學(xué)思維是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要體現(xiàn)，數(shù)學(xué)教學(xué)要注重學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、感悟數(shù)學(xué)的思維過程?！盵2]教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生對基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行梳理，理解各部分知識(shí)在發(fā)生發(fā)展過程中的橫向聯(lián)系和縱向聯(lián)系，理清知識(shí)之間的脈絡(luò)，在頭腦中形成合理的網(wǎng)絡(luò)狀知識(shí)結(jié)構(gòu)。這個(gè)過程可以使知識(shí)結(jié)構(gòu)化、層次化、網(wǎng)絡(luò)化，便于學(xué)生理解和掌握。

許多學(xué)生在問題分析的過程中，往往不能迅速有效地提取相關(guān)知識(shí)來解決問題，這就使得建構(gòu)有序的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)成為了初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)。學(xué)生在構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)圖的過程中，體會(huì)知識(shí)間的相互聯(lián)系，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的思想和方法，大大提高了學(xué)生在數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)中的效率，促進(jìn)學(xué)生形成良好高效的對內(nèi)調(diào)控的認(rèn)知策略。例如，在函數(shù)單元教學(xué)中，構(gòu)建如圖1的網(wǎng)絡(luò)圖，在學(xué)生的頭腦中建立起一個(gè)層次分明、脈絡(luò)清晰的函數(shù)單元知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，充分體現(xiàn)函數(shù)研究的方法和邏輯順序，這個(gè)過程可以強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維在學(xué)生頭腦中的認(rèn)識(shí)，優(yōu)化學(xué)生的系統(tǒng)思維能力。

2.知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖可以推動(dòng)學(xué)生親歷知識(shí)建構(gòu)過程，提升認(rèn)知水平

單元教學(xué)的核心思想是系統(tǒng)思維。通過知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖的構(gòu)建，學(xué)生直觀把握一個(gè)單元或主題的知識(shí)體系，構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)圖的過程就是一個(gè)持續(xù)優(yōu)化思維的過程。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中指導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖，能夠有效發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，優(yōu)化學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的策略，形成某類問題的解決思路，是一種高效的思維策略。

例如實(shí)數(shù)單元教學(xué)，對實(shí)數(shù)按不同的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類：從是否是有理數(shù)的角度看可以分成兩大類，如圖2;從符號(hào)看可以分成三大類，如圖3。在分類構(gòu)建的過程中讓學(xué)生舉例，再通過習(xí)題加以鞏固。通過綜合的分析、比較，有效地展示了數(shù)學(xué)思維的過程，提升了學(xué)生的認(rèn)知水平。這樣比單純靠記憶來學(xué)習(xí)更能促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行有意義的學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，知識(shí)運(yùn)用和提取的效率當(dāng)然也就更高。

3.知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖可以引導(dǎo)學(xué)生自省認(rèn)知不足之處，拓展深度理解

“數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的核心與邏輯起點(diǎn)，概念是數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)。問題解決往往催生新的數(shù)學(xué)概念，概念形成過程常常就是問題解決的過程?！盵3]教學(xué)中進(jìn)行知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖的構(gòu)建，可以用來檢測學(xué)生對概念的掌握和理解的程度，可以促進(jìn)學(xué)生自省認(rèn)知上的不足。教學(xué)中，“學(xué)生會(huì)遇到數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的生長點(diǎn)和銜接點(diǎn)、數(shù)學(xué)思想方法的轉(zhuǎn)折點(diǎn)、數(shù)學(xué)思維的癥結(jié)點(diǎn)，這些關(guān)節(jié)點(diǎn)、轉(zhuǎn)折點(diǎn)、癥結(jié)點(diǎn)都是典型的思維的生惑點(diǎn)，這些思維生惑點(diǎn)的解除必須通過發(fā)展認(rèn)知能力才能實(shí)現(xiàn)”[4]。例如，在代數(shù)式單元中，學(xué)生列出該單元的主要概念，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖，如圖4。在這個(gè)過程中，教師有目的地通過舉例，引導(dǎo)學(xué)生對易混淆和模糊的概念，如單項(xiàng)式的系數(shù)、次數(shù)，多項(xiàng)式的系數(shù)、項(xiàng)數(shù)等進(jìn)行判斷分析，在不斷的完善補(bǔ)充中自省認(rèn)知上的不足，拓展深度理解。

三、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖在教學(xué)實(shí)踐中的運(yùn)用

1.案例：二次函數(shù)的性質(zhì)

（1）教學(xué)目標(biāo)：熟練運(yùn)用公式法和配方法求出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸，并能運(yùn)用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)的圖像;能根據(jù)所給條件適當(dāng)選擇運(yùn)用一般式或頂點(diǎn)式求出二次函數(shù)的解析式;能結(jié)合圖像理解二次函數(shù)的增減性、最值等性質(zhì)。

（2）教學(xué)過程：

問題1：已知拋物線y=x2-2x-3

①說出該拋物線的開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)，并畫出該拋物線;

②填表總結(jié)二次函數(shù)的性質(zhì)。

問題2：已知二次函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)（-3，0）和（1，0），且有最大值為4，求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式。（要求：運(yùn)用二次函數(shù)的不同形式解決問題）

問題3：根據(jù)問題1和問題2的解決，構(gòu)建二次函數(shù)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖。

遵循“從特殊到一般，再從一般到特殊”的思想，構(gòu)建二次函數(shù)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖，如圖5。

2.感悟與思考

（1）知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖可以將課堂教學(xué)層次推進(jìn)，優(yōu)化解題方法

“問題”是課堂教學(xué)的“引子”，是教學(xué)生成的認(rèn)知?jiǎng)恿Γ瑔栴}解決是指學(xué)生個(gè)體在面對問題時(shí)，“引發(fā)認(rèn)知需要，在認(rèn)知需要的驅(qū)動(dòng)和導(dǎo)向下，使思維沿著認(rèn)知需要的方向運(yùn)行，由此不斷推動(dòng)個(gè)體知識(shí)的生成”[5]。在設(shè)計(jì)有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)時(shí)，涉及兩個(gè)重要環(huán)節(jié)，即讓學(xué)生明確學(xué)習(xí)任務(wù)的問題情境，以及可供學(xué)生進(jìn)行有效活動(dòng)的問題串。教學(xué)中要合理設(shè)置能啟發(fā)學(xué)生思考的有針對性和代表性的問題，幫助學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)。作為情境導(dǎo)入的問題1，圍繞二次函數(shù)的性質(zhì)這個(gè)核心內(nèi)容，結(jié)合學(xué)生的理解進(jìn)程設(shè)計(jì)問題，驅(qū)動(dòng)學(xué)生進(jìn)行層次性探索，構(gòu)建二次函數(shù)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖。對二次函數(shù)的頂點(diǎn)、增減性等核心概念加深了理解，同時(shí)鞏固了解決二次函數(shù)常用的基本方法如配方法、公式法。通過前后知識(shí)之間的聯(lián)系，教師在教學(xué)時(shí)進(jìn)行恰當(dāng)?shù)匿亯|，從特殊到一般、由易到難，將探究二次函數(shù)的性質(zhì)這一課堂教學(xué)活動(dòng)層次推進(jìn)，幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)，優(yōu)化學(xué)生的解題方法。

（2）知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖可以對數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行梳理，提高解題技能

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖將重要的概念和思想方法融合在一起，搭建了一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)場，讓學(xué)生親歷數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)過程。頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-h）2+k（a≠0）與一般式y(tǒng)=ax2+bx+c（a≠0）是初中數(shù)學(xué)教材重點(diǎn)研究的兩種形式，這兩種形式既有聯(lián)系也有區(qū)別，決定二次函數(shù)性質(zhì)的關(guān)鍵就是關(guān)系式中三個(gè)系數(shù)。問題2的解決，關(guān)鍵是如何建立解析式。而用待定系數(shù)法求拋物線的解析式是初中二次函數(shù)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要內(nèi)容，二次函數(shù)中許多問題的解決都是建立在正確求出解析式的基礎(chǔ)上，運(yùn)用交點(diǎn)式也可以解決這個(gè)問題。教學(xué)中，通過對二次函數(shù)性質(zhì)探究的活動(dòng)過程，將相關(guān)知識(shí)運(yùn)用網(wǎng)絡(luò)圖進(jìn)行梳理，完善了學(xué)生的解題思路和方法，提高了學(xué)生的解題技能。

四、結(jié)語

數(shù)學(xué)教學(xué)中，精心選擇的例題和練習(xí)題，結(jié)合教學(xué)任務(wù)選擇的適當(dāng)?shù)姆椒ú呗?，突出了概念和命題的本質(zhì)屬性，不僅僅是知識(shí)與技能的傳授，更是數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的潛移默化滲透。通過知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖構(gòu)建這一過程，除了梳理知識(shí)間的邏輯關(guān)系，學(xué)生更深刻地理解了知識(shí)的生成過程，逐步構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的CPFS認(rèn)知結(jié)構(gòu)，頭腦中的知識(shí)“網(wǎng)絡(luò)化”“立體化”，數(shù)學(xué)思維自然地生長與延伸，數(shù)學(xué)認(rèn)知不斷地豐富，有利于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1]趙躍.初中生函數(shù)概念的應(yīng)用水平及其CPFS結(jié)構(gòu)現(xiàn)狀調(diào)查及相關(guān)性研究[D].南京：南京師范大學(xué)， 2013：4.

[2]王亮亮.關(guān)注價(jià)值導(dǎo)向 突出知識(shí)本質(zhì) 體現(xiàn)思維廣度與深度 引導(dǎo)教學(xué)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2019（7）：29.

[3]羅海霞.數(shù)學(xué)“生成知識(shí)”教學(xué)怎么“教”[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2019（7）：37.

[4]黃曉學(xué).少教多學(xué)模式研究[M].天津：天津古籍出版社，2016：100.

[5]李祎.數(shù)學(xué)教學(xué)生成研究——一種基于認(rèn)知的觀點(diǎn)[D].南京：南京師范大學(xué)， 2007：37.

責(zé)任編輯：丁偉紅

The Construction of Junior High School Mathematical Knowledge Network Diagram under the Background of CPFS

Tang Ping

（Department of Education of Haizhou Education Bureau， Lianyungang 222000， China）

Abstract： The teaching practice exploration of the construction of mathematical knowledge network diagram under the background of CPFS cognitive structure aims to enhance students' ability to discover and ask questions， analyze and solve problems. The knowledge network diagram can promote the formation and development of students' mathematical thinking and core abilities; it can help students clarify the knowledge and optimize system thinking; it can promote students to experience the process of knowledge construction and improve their cognitive level; it can guide students to introspect their insufficient cognition， promoting in-depth understanding.

Key words： CPFS cognitive structure; knowledge network diagram; mathematical thinking