吳厚儀

【摘 要】數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)作為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，其形成和發(fā)展具有連續(xù)性和階段性，貫穿學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終。如何從初中階段開始逐步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，使學(xué)生逐漸學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象思維去發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題，為高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，這是一個(gè)值得深思的問題。本文以一節(jié)“全等三角形”習(xí)題課的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，探討探討如何在初中幾何課堂教學(xué)中更好地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);平面幾何;數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

數(shù)學(xué)是客觀現(xiàn)象抽象概括而逐漸形成的科學(xué)語言與工具，抽象性是數(shù)學(xué)的本質(zhì)屬性之一。因而，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中明確規(guī)定，義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課堂要培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維。同樣地，最新頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》提出，要發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，其中就包括數(shù)學(xué)抽象。數(shù)學(xué)抽象是指通過對(duì)數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的素養(yǎng)。主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語言予以表征。

由此可見，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的形成和發(fā)展具有連續(xù)性和階段性，貫穿其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的始終。數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是適應(yīng)學(xué)生終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的與數(shù)學(xué)有關(guān)的關(guān)鍵能力和思維品質(zhì)之一，能使學(xué)生養(yǎng)成在日常生活和實(shí)踐中運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象的思維方式思考并解決問題，學(xué)會(huì)把握事物的本質(zhì)，以簡(jiǎn)馭繁。本文從一節(jié)“全等三角形”習(xí)題課出發(fā)，探討如何在初中幾何課堂教學(xué)中更好地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

一、經(jīng)歷“再創(chuàng)造”過程，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》提倡反映數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用的過程應(yīng)該是“問題情境—建立模型—求解驗(yàn)證”的過程。本課例中，筆者將從“提出問題—?dú)w納猜想—證明猜想—得出結(jié)論—應(yīng)用模型—推廣延伸”六個(gè)環(huán)節(jié)開展數(shù)學(xué)活動(dòng)。

（一）提出問題

例1：如圖1，∠A=∠B=∠DEC =60°，求證：∠1=∠C，∠D=∠2。

變式1：如圖2， AB⊥BC，AB⊥AD，DE⊥EC，求證：∠1=∠C，∠D=∠2。

（二）歸納猜想

思考1：觀察圖1和圖2，它們有什么共同點(diǎn)？從中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

猜想1：如圖3，在△ADE和△BEC中，如果∠A=∠B=∠DEC ，那么∠1=∠C，∠D=∠2。

（三）證明猜想

證明猜想1（學(xué)生獨(dú)立完成證明）

（四）得出結(jié)論

結(jié)論：如圖3，在△ADE和△BEC中，如果∠A=∠B=∠DEC ，那么∠1=∠C，∠D=∠2。

師：你能給這一新發(fā)現(xiàn)的幾何模型取名嗎？給大家半分鐘進(jìn)行小組討論，為模型取個(gè)好名字。

生：這兩個(gè)三角形連在一起像兩座山峰，不如就叫“雙峰模型”吧！

師：非常形象的名字！大家喜歡這個(gè)名字嗎？好的，那么我們就給這一模型取名為“雙峰模型”。

【設(shè)計(jì)意圖】在“提出問題—?dú)w納猜想—證明猜想—得出結(jié)論”的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中，教師首先通過對(duì)比例1及變式1，引導(dǎo)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、分析和歸納圖形的特征，從中歸納并形成簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)猜想，然后幫助學(xué)生對(duì)所得猜想進(jìn)行嚴(yán)格證明，最后得出結(jié)論。在數(shù)學(xué)活動(dòng)中提高合情推理和演繹推理的能力的同時(shí)，學(xué)生逐步學(xué)會(huì)清晰地用數(shù)學(xué)語言歸納概括自己的想法;在嘗試數(shù)學(xué)抽象的初步過程有深刻體會(huì)的同時(shí)，學(xué)生逐漸學(xué)會(huì)從特殊到一般、從具體到抽象的思維方式，在潛移默化中不斷提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。另外，讓學(xué)生給所發(fā)現(xiàn)證明的幾何模型命名，學(xué)生能從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得極大的成就感，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自我效能感，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。

（五）應(yīng)用模型

練習(xí)1：如圖4，在△ABC中，∠B=∠C，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC上，且BD=CE，∠DEF=∠B，圖中是否存在和△BDE全等的三角形？說明理由。

練習(xí)2：如圖5，MN∥PQ，AB⊥MN，∠DEA=∠ECB，求證：DE⊥EC.

（六）推廣延伸

思考2：如果把猜想1的條件和結(jié)論互換，你能得到怎樣的命題？

猜想2：如圖3，如果∠1=∠C，∠D=∠2 ，那么∠A=∠B=∠DEC.

證明猜想2（學(xué)生獨(dú)立完成證明）

應(yīng)用模型2

練習(xí)：如圖6，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分別是PA，PB，AB上的點(diǎn)，且AM=BK， BN=AK，若∠MKN=44°，則∠P的度數(shù)為？

思考3：如果把圖3的△ADE和△BCE沿直線AB分別向左右兩邊平移一定距離，如圖4所示，此時(shí)結(jié)論是否依舊成立？

猜想3：如圖7，在△ADE和△BCF中，∠A=∠B=∠EGF.求證：∠1=∠C，∠2=∠D.

證明猜想3（學(xué)生獨(dú)立完成證明）

應(yīng)用模型3

練習(xí)：如圖8，∠A=∠ABC=90°，CE=BD，過點(diǎn)C作CF⊥BD，垂足為點(diǎn)F，延長(zhǎng)CF交AB于E.試證明：BE=AD。

【設(shè)計(jì)意圖】首先，通過將猜想1的條件和結(jié)論互換，得出猜想2這一逆命題并證明，不僅是對(duì)“雙峰模型”再建和完善的過程，更是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)形成的鞏固過程。然后，在學(xué)生能從圖3直接抽象出數(shù)學(xué)命題并證明其正確性的基礎(chǔ)上，通過對(duì)圖3進(jìn)行平移變換得到更復(fù)雜的關(guān)聯(lián)圖形圖4，引導(dǎo)學(xué)生從關(guān)聯(lián)圖形中抽象出數(shù)學(xué)命題并證明，將已知數(shù)學(xué)命題推廣延伸至更一般的情形，這不僅是對(duì)“雙峰模型”拓展和豐富的過程，更是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)形成的深化過程。總而言之，在“推廣延伸”環(huán)節(jié)中，學(xué)生再度經(jīng)歷“提出問題—?dú)w納猜想—證明猜想—得出結(jié)論”的活動(dòng)過程，加深了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)生成的體會(huì)，有助于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)和提升。

二、總結(jié)

（一）精心設(shè)計(jì)變式，激活學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維

在初中數(shù)學(xué)幾何課程中，相關(guān)平面圖形往往有多種位置與形狀，圖形變化的復(fù)雜性、多樣性和抽象性大大增加了學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的難度。因此在幾何內(nèi)容教學(xué)中采取變式教學(xué)顯得尤為重要。高質(zhì)量的變式設(shè)計(jì)是在初中數(shù)學(xué)幾何課堂中進(jìn)一步完善幾何知識(shí)體系建構(gòu)、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的基礎(chǔ)和保證。教師要從圖形的特征和數(shù)學(xué)命題的內(nèi)容出發(fā)，充分體現(xiàn)“觀察—思考—猜想—證明—應(yīng)用”這一數(shù)學(xué)知識(shí)的再創(chuàng)造、理解和應(yīng)用過程，展現(xiàn)圖形的變換過程和命題證明的思考過程。這一過程的展現(xiàn)可以通過教師在貫徹螺旋上升原則和化隱為顯原則的前提下，變換問題中的條件或結(jié)論，精心設(shè)計(jì)一系列由淺入深、環(huán)環(huán)相扣的變式，不斷地給學(xué)生提供比較、分析、歸納、綜合的機(jī)會(huì)，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生在不同的幾何問題情境中抽象概括出幾何對(duì)象的內(nèi)在聯(lián)系特征，將具體的幾何對(duì)象和內(nèi)容進(jìn)行歸類和“濃縮”，通過反復(fù)的體驗(yàn)實(shí)踐，保持學(xué)生積極有效的思維活動(dòng)，深化學(xué)生對(duì)幾何知識(shí)的認(rèn)識(shí)和理解，使學(xué)生養(yǎng)成運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象思維方式解決問題的習(xí)慣，學(xué)生的抽象思維能力在遞進(jìn)問題的探索中得到了發(fā)展。

（二）展開“再創(chuàng)造”過程，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象

著名教育家蘇霍姆林斯基曾說：“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，就是希望自己是一個(gè)探索者、發(fā)現(xiàn)者、研究者，而在兒童的精神世界中，這種需要特別強(qiáng)烈。”正如學(xué)生發(fā)現(xiàn)“雙峰模型”時(shí)內(nèi)心頗具成就感一樣，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，發(fā)現(xiàn)是一種樂趣，通過“再創(chuàng)造”過程展現(xiàn)習(xí)題的精彩，能夠激發(fā)學(xué)生主動(dòng)去發(fā)現(xiàn)去探究，享受探究學(xué)習(xí)的樂趣。而且，學(xué)生對(duì)通過自身抽象思維活動(dòng)自主獲得的知識(shí)比由旁人“填鴨式”硬塞的知識(shí)理解得更透徹，掌握得更迅速。因此，在幾何課堂中，教師要努力營(yíng)造輕松、愉悅的探究學(xué)習(xí)氛圍，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，激起學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲和表達(dá)欲，讓學(xué)生主動(dòng)經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的再創(chuàng)造過程，搞清楚知識(shí)的來龍去脈。在這一過程中，學(xué)生能夠親身體驗(yàn)過去的數(shù)學(xué)家們從特殊到一般的數(shù)學(xué)抽象思維過程，對(duì)數(shù)學(xué)的抽象本質(zhì)和通過數(shù)學(xué)抽象形成數(shù)學(xué)知識(shí)的過程有更深刻的理解，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的形成和發(fā)展。

（三）把握抽象程度，教學(xué)設(shè)計(jì)符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律

初中生的認(rèn)知發(fā)展正處于具體運(yùn)算階段向形式運(yùn)算階段過渡的關(guān)鍵期，這時(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的抽象思維、逆向思維等開始發(fā)展，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的演繹推理。因此，初中幾何教學(xué)要符合初中生的認(rèn)知規(guī)律，把握一個(gè)適當(dāng)?shù)摹岸取?，本著?yán)密性和量力性原則，以適合初中生的接受能力為宜，不應(yīng)為了發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)而過多研究復(fù)雜圖形問題。

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，貫穿在數(shù)學(xué)產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程中。數(shù)學(xué)抽象使得數(shù)學(xué)成為高度概括、表達(dá)準(zhǔn)確、結(jié)論一般、有序多級(jí)的系統(tǒng)。數(shù)學(xué)抽象的重要性地位可見一斑。教師要充分挖掘教學(xué)資源，在初中數(shù)學(xué)幾何課堂上讓學(xué)生經(jīng)歷探索知識(shí)的過程，產(chǎn)生數(shù)學(xué)思考的欲望，在實(shí)踐中體驗(yàn)知識(shí)形成的過程和內(nèi)在聯(lián)系，體會(huì)獲得知識(shí)的喜悅，在提高學(xué)生推理論證能力的同時(shí)，不斷潛移默化地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，真正學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)抽象思維去發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題。

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（責(zé)任編輯：周瑋凌）